Программа элективного курса "замечательные неравенства" 10 - 11 класс

Пояснительная записка.

Настоящая рабочая программа элективного курса «Замечательные неравенства, их обоснование и применение» для 10-11 класса составлена на основе авторской программы С.А. Гомонова элективного курса «Замечательные неравенства, их обоснование и применение». Курс представляет углубленное изучение теоретического материала и даёт широкие возможности повторения, обобщения курса алгебры и основ анализа. Предлагаемый курс дополняет базовую программу по математике, позволяя учащимся пройти путь от способов решения простых числовых неравенств, встречающихся в школьной программе до обоснования замечательных неравенств Коши–Буняковского, Чебышева и др.

Актуальность изучения курса

Неравенства играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математики, без них не может обойтись ни физика, ни математическая статистика, ни экономика. Полученные навыки решения этих неравенств необходимы учащимся для успешной сдачи ЕГЭ и дальнейшего обучения в высших учебных заведениях. Данный курс имеет прикладное и общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления учащихся, исследовательских навыков. Материал курса позволяет показать учащимся как красоту и совершенство, так ложность и изощренность математических методов.

Целью данного курса является изучение избранных классов неравенств с переменными и научное обоснование методов их получения, а также выход на приложения изученного материала. Такими вначале будут решения примеров на установление истинности простейших числовых неравенств, а к завершению усвоения курса – рассуждения, требующие уметь находить неравенства, помогающие справиться с данным конкретным заданием.

Задачи курса:

- закрепление основ знаний о неравенствах и их свойствах;

- расширение представления о неравенствах;

- формирование умений решать неравенства с переменными;

- повышение общей математической культуры;

- развитие логического мышления обучающихся

Формы организации учебного процесса

Предполагаемая форма проведения занятий – лекционно-семинарская. Большую часть материала курса можно преподнести в проблемном стиле, предлагая учащимся обдумать, каким методом решить ту или иную задачу. Отчасти такой проблемный подход реализован и в учебном пособии. Учитывая большую важность данного курса для выбравших его учащихся, необходимо очень четко фиксировать, в

том числе и на доске, рассматриваемые в каждый конкретный момент методы решения задач.

Данный элективный курс является безоценочным.

Требования к уровню подготовки учащихся.

Знать:

• определение числового неравенства и его свойства;

• определение средних величин и их свойства;

Уметь:

• правильно употреблять математическую терминологию;

• работать с литературными источниками, находить и использовать информацию в бумажных и электронных изданиях;

• исследовать функцию на выпуклость, вогнутость;

• находить наибольшее и наименьшее значения функции с помощью замечательных неравенств;

• применять неравенства при решении статистических и оптимизационных задач.

Курс рассчитан на 33 часа в 10-11 классах, в т. ч. 15 часов в 10 классе и 18 часов в 11 классе.

Ожидаемые результаты:

В результате изучения курса, учащиеся будут:

• знать избранные классы неравенств с переменными;

• знать научное обоснование методов их получения на уровне школьной математики;

• решать примеры на установление истинности простейших числовых неравенств, встречающихся на вступительных экзаменах в ВУЗы;

• смогут проводить рассуждения, требующие уметь находить неравенства, помогающие справиться с данным конкретным заданием.

Содержание учебного материала

Часть I. Замечательные неравенства (15 ч)

1.Числовые неравенства и их свойства.

Понятие положительного и отрицательного действительного числа, число нуль. Основные законы сложения и умножения действительных чисел. Свойства суммы и произведения положительных чисел. Понятие «больше» для действительных чисел, его геометрическая интерпретация и свойства. Понятия «меньше», «не больше», «не меньше» для действительных чисел и их свойства. Числовые неравенства.

Простейшие свойства числовых неравенств. Монотонность функции и числовые неравенства.

2. Основные методы установления истинности числовых неравенств.

Сравнение двух чисел – значений числовых выражений «по определению», путем сравнения их степеней, путем сравнения их с промежуточными числами, метод введения вспомогательной функции, метод использования «замечательных» неравенств и некоторые другие. Примеры.

3. Основные методы решения задач на установление истинности неравенств с переменными.

Частные случаи неравенств Коши. Их обоснования и применение. Краткое введение. О применении неравенств с параметрами и об умении подбирать, сочинять неравенства с параметрами

Неравенство-следствие. Равносильные неравенства. Методы установления истинности неравенств с переменными: метод «от противного», метод анализа, метод синтеза, метод подстановки, метод использования тождеств, метод введения вспомогательных функций, метод понижения степеней. Примеры.

4. Метод математической индукции и его применение к доказательству неравенств. Неравенство Коши для произвольного числа переменных.

Индукция вообще и применение её в математике, схема её применения. Некоторые модификации метода математической индукции. Примеры.

5. Неравенство Коши-Буняковского. Его применений к решению задач.

Формулируется и обосновывается теорема, устанавливающая соотношение Коши- Буняковского. Геометрическая интерпретация неравенства. Векторный вариант записи этого неравенства.

6. Неравенства подсказывают методы их обоснования.

1. Метод Штурма. Примеры.

2. Использование симметричности, однородности цикличности левой и правой частей неравенств;

3. Геометрические неравенства, устанавливающие соотношения между длинами сторон треугольника.

Часть II. Средние величины: их свойства и применение (18ч.)

7. Средние величины в школьном курсе математики, физики. Многообразие «средних».

• Среднее арифметическое, геометрическое, гармоническое и квадратическое и соотношения между ними в случае двух параметров. Геометрическая интерпретация.

• Среднее арифметико-геометрическое Гаусса и среднее арифметико-гармоническое, их существование и свойства.

• Симметрические средние. Теорема Мюрхерда. Круговые неравенства и методы их доказательства.

• Среднее арифметическое взвешенное и его свойства. Координаты центра масс конечной системы материальных точек.

• Средние степенные и средние взвешенные степенные и их свойства. Примеры. Вывод неравенства Коши-Буняковского с помощью тождества Лагранжа.

• Среднее арифметическое взвешенное и его свойства. Координаты центра масс конечной системы материальных точек.

• Средние степенные и средние взвешенные степенные и их свойства. Примеры.

8. Неравенство Чебышева и некоторые его обобщения.

Введение. Исторический экскурс. П.Л. Чебышев и его научное наследство.

• Неравенство Чебышева: простейший вариант и его обобщение, порожденное понятием одномонотонной последовательности.

• Неравенства, обобщающие как неравенство Чебышева, так и неравенство Коши-Буняковского.

Глава 9. Генераторы замечательных неравенств.

Перечисляются основные способы получения замечательных неравенств, как ранее изученные, так и совершенно новые:

Глава 10. Применение неравенств.

Задачи на оптимизацию. Поиск наибольшего и наименьшего значения функции с помощью замечательных неравенств.

Учебно-тематическое планирование

18

Итого:

33

Календарно-тематический план

Сравнение двух действительных чисел

Сравнение двух положительных действительных чисел путём сравнения с единицей их отношения

Сравнение действительных чисел с помощью сравнения их степеней

Метод сравнение двух чисел с помощью нахождения «промежуточного» для них числа

Метод применения замечательных неравенств

Решение задач, иллюстрирующих перечисленные методы и не только их

знать

правила сравнения чисел и уметь применять их при решении конкретных задач,

определение возрастающей и убывающей функции,

уметь применять свойства монотонности при сравнении чисел

- умение определять наиболее рациональные способы и последовательность действий,

- умение обобщать

Основные методы установления истинности числовых неравенств

Основные методы решения задач на установление истинности неравенств с

переменными.

Понятие неравенства с параметрами и его решения.

Неравенство - следствие. Равносильные неравенства.

Опровержимые неравенства.

Основные методы решения задач на установление истинности неравенств с переменными.

Частные случаи неравенства Коши, их обоснование и применения

- знать определение понятия неравенства с переменными, его решения и нерешения, равносильных неравенств, области определения неравенства,

-умение иллюстрировать эти понятия примерами

-умение комбинировать известные средства для решения новых проблем,

-умение использовать компоненты доказательства,

-умение анализировать,

- умение обобщать

Основные методы решения задач на установление истинности неравенств с

переменными.

Частные случаи неравенства Коши, их обоснование и применение.

Метод математической индукции и его применение к доказательству неравенств. Неравенство Коши для произвольного числа переменных.

«Полная» индукция – метод перебора всех вариантов и её применение к решению задач. Аксиома, принцип и метод математической индукции

и их применение при доказательстве неравенств с переменными.

Теоремы о сравнениях соответствующих членов

двух последовательностей

Неравенство Коши для произвольного числа переменных и его применение к решению задач

-знать метод перебора всех вариантов при доказательстве неравенств с переменными и уметь его применять,

-знать аксиому математической индукции и неравенство Коши,

-уметь использовать принципы математической индукции и неравенство Коши при решении задач

-умение использовать компоненты доказательства,

-умение анализировать и синтезировать

Метод математической индукции и его применение к доказательству неравенств. Неравенство Коши для произвольного числа переменных.

Метод математической индукции и его применение к доказательству неравенств. Неравенство Коши для произвольного числа переменных.

Метод математической индукции и его применение к доказательству неравенств. Неравенство Коши для произвольного числа переменных.

Неравенство Коши-Буняковского и его применение к решению задач.

Неравенство Коши - Буняковского иусловия его реализации в варианте равенства. Тождество Лагранжа

Векторный вариант записи неравенство Коши – Буняковского

Применение неравенства Коши – Буняковского к решению задач

- знать неравенство Коши- Буняковского,

- уметь применять его при решении задач,

-умение использовать компоненты доказательства,

-умение анализировать и синтезировать,

-умение обобщать

Неравенство Коши-Буняковского и его применение к решению задач.

Неравенства подсказывают методы их обоснования

Метод выравнивания значений переменных

Метод выравнивания значений переменных и метод раздвигания значений переменных

Использование для доказательств неравенств с переменными свойства симметричности функций Использование для доказательства неравенств с переменными свойства однородности функций. Условные тождества

Некоторые методы доказательства циклических неравенств

Простейшие приёмы установления геометрических неравенств

Условные тождества и условные неравенства

- иметь представление о методах доказательства неравенств с переменными,

-знать определение симметрической функции и симметричного неравенства,

-уметь использовать эти свойства при доказательстве неравенств

-умение использовать компоненты доказательства,

-умение комбинировать известные средства для решения новых проблем,

- умение определять наиболее рациональные способы и последовательность действий,

Неравенства подсказывают методы их обоснования

Неравенства подсказывают методы их обоснования

Неравенства подсказывают методы их обоснования

11 класс

Средние степенные величины, соотношения между ними и другие источники замечательных неравенств

Средние арифметическое, геометрическое, гармоническое и квадратическое в случае двух и большего числа параметров. Соотношения между ними. Соотношения между средними арифметическим, геометрическим, гармоническим и квадратическим в общем случае.

Геометрическая интерпретация средних величин. Четыре средних линий трапеции. Среднее арифметико-геометрическое Гаусса. Симметрическое среднее.

Круговые неравенства, методы их доказательства и опровержения

Средние арифметическое взвешенное и его свойства. Средние степенные, их свойства и применение. Средние взвешенные степенные, их свойства и применение. Решение задач

- знать определение средних величин: среднее арифметическое, геометрическое, гармоническое, квадратическое и симметрическое в случае двух и большего числа параметров и соотношения между ними.

- уметь находить средние величины по алгоритму

- умение классифицировать,

-умение сравнивать,

- умение определять причинно- следственные отношения компонентов объекта,

-умение анализировать и синтезировать,

Соотношения между средними арифметическим, геометрическим, гармоническим и квадратическим

Геометрическая интерпретация средних величин

Средние степенные, их свойства и применение

Неравенство Чебышева, его доказательство и простейшие обобщения

Введение. Исторический экскурс.

П.Л. Чебышев и его научное наследство.

Неравенство Чебышева: простейший вариант и его обобщение, порожденное понятием одномонотонной последовательности.

Неравенства, обобщающие как неравенство Чебышева, так и неравенство Коши-Буняковского.

- знать неравенство Чебышева,

-уметь применять его при решении задач,

- уметь работать с научной и исторической литературой,

-уметь составлять сообщение о жизни и научной деятельности учёного

-умение анализировать,

-умение использовать в соответствии с учебной задачей аналитическое чтение,

-умение создавать сообщение

Дальнейшие обобщения неравенства Чебышева и неравенства Коши-Буняковского

Решение задач на применение обобщений неравенства Чебышева

Решение задач на применение обобщений неравенства Чебышева

Генераторы замечательных неравенств. Линейная и квадратичная функции и неравенства с переменными

Перечисляются основные способы получения замечательных неравенств, как ранее изученные, так и совершенно новые:

-знать и уметь использовать свойства линейной и квадратичной функции для решения неравенств,

-знать неравенство треугольника и, теорему косинусов и определённый интеграл и уметь их использовать для обоснования и получения неравенств,

умение комбинировать известные средства для решения новых проблем,

- умение определять наиболее рациональные способы и последовательность действий,

Линейная и квадратичная функции и неравенства с переменными

Неравенства геометрического происхождения

Неравенства и определённый интеграл, методы трапеций и треугольников

Применение неравенств.

Неравенства в финансовой математике

Неравенства в финансовой математике

Задачи на оптимизацию. Поиск наибольшего и наименьшего значения функции с помощью замечательных неравенств.

знать о применениях замечательных неравенств в теоретических и прикладных исследованиях,

умение комбинировать известные средства для решения новых проблем,

Неравенства в финансовой математике

Задачи на оптимизацию

Задачи на оптимизацию

Решение задач на максимум и минимум с помощью замечательных неравенств

Решение задач и заслушивание докладов

ПЕРЕЧЕНЬ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИХ СРЕДСТВ ОБУЧЕНИЯ

Основная литература

1. Гомонов С.А. Учебное пособие «Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения». – М.: Дрофа, 2006.

2. Гомонов С.А. Методические рекомендации к учебному пособию «Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения». – М.: Дрофа, 2006.

3. Сборник задач по математике для поступающих во втузы: Учеб.пособие / В.К.Егерев, Б,А.Кордемский, В.В.Зайцев и др.; Под ред. М.И. Сканави. – 1999

4. Элективные курсы в профильном обучении: Образовательная область «Математика» /Министерство образования РФ – Национальный фонд подготовки кадров. – М.: Вита-Пресс, 2004

Дополнительная литература

1. Беккенбах Э., Беллман Р. Введение в неравенства. – М.: Мир, 1965

2. Н.М.Седракян, А.М.Авоян. Неравенства. Методы доказательства. – М.: Физматлит, 2002