Производные и первообразные. Задания № 7 и № 12 ЕГЭ.

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .
Производной функции  в точке  называется предел

если этот предел существует.

Производная функции в точке характеризует скорость изменения этой функции в данной точке.

Геометрический смысл производной

Уравнение прямой, не параллельной оси Оу, можно записать в виде  Коэффициент k в этом уравнении называют угловым коэффициентом прямой. Он равен тангенсу угла наклона этой прямой к положительному направлению оси Ох.

Производная функции  в точке  равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в данной точке:

·     Если , то касательная составляет с положительным направлением оси Ох острый угол.

·     Если , то касательная составляет с положительным направлением оси Ох тупой угол.

·     Если , то касательная является горизонтальной прямой и  – критическая точка.

Геометрический смысл производной применяется при исследовании свойств функций.

Монотонность функции

Определение возрастающей и убывающей функции

Пусть  является дифференцируемой функцией на интервале  

Функция называется возрастающей (или неубывающей) на данном интервале, если для любых точек  таких, что , выполняется неравенство  

Функция называется  убывающей (или  невозрастающей) на данном интервале, если для любых точек   таких, что , выполняется неравенство  

 Функция  является строго возрастающей на интервале , если для любых точек  таких, что , выполняется неравенство  

Функция  является строго убывающей на интервале , если для любых точек  таких, что , выполняется неравенство  

Неубывающая функция может содержать участки строгого возрастания и интервалы, где функция является постоянной. Аналогично, невозрастающая функция может содержать участки строгого убывания и интервалы, где функция является постоянной.

Если функция  дифференцируема на интервале  и принадлежит к одному из четырёх рассмотренных типов (т.е. является возрастающей, строго возрастающей, убывающей или строго убывающей), то такая функция называется монотонной на данном интервале.

Критерии возрастания и убывания функции

·      Для того, чтобы функция была возрастающей на интервале , необходимо и достаточно, чтобы первая производная функции была неотрицательной всюду на данном интервале: .

·      Для того, чтобы функция была убывающей на интервале , необходимо и достаточно, чтобы первая производная функции была неположительной всюду на данном интервале: .

·     Если для всех  выполняется условие  всюду в интервале , кроме, возможно, лишь некоторых отдельных точек, в которых то функция является строго возрастающей.

·     Если для всех  выполняется условие  всюду в интервале , кроме, возможно, лишь некоторых отдельных точек, в которых то функция является строго убывающей.

Точки минимума, точки максимума и точки перегиба

Если функция   непрерывна в точке , а значение производной этой функции  меняется с положительного на отрицательное в этой точке, то  — точка максимума функции .

Если функция   непрерывна в точке , а значение производной этой функции  меняется с отрицательного на положительное в этой точке, то  — точка минимума функции .

Точки, в которых производная равна нулю  или не существует, называются критическими точками функции .

Внутренние точки области определения функции , в которых  могут быть точками минимума, точками максимума или точками перегиба.

Стоит отметить, что в точках экстремума  касательная существует и она будет параллельна оси Ох, а в точке перегиба  касательной  не существует.

Используя геометрический смысл производной, можно по графику функции найти производную в точке. Для этого необходимо провести касательную и отметить на ней две любые точки (удобнее брать точки с целыми координатами). Если  – координаты первой точки, а  – координаты второй точки, то производная в точке касания  равна .

Например, на рисунке изображён график функции , проведём касательную в точке . На касательной выбираем две точки  и . Тогда

.

Найдём производную в точке  алгебраическим способом и сравним результаты.

Результаты совпадают.

Уравнение касательной

Уравнение касательной к графику функции  в точке  имеет вид:

C помощью этой формулы найдём уравнение касательной к графику функции

  в точке .

.

Составляем уравнение касательной: .

Итак, уравнение касательной к графику данной функции имеет вид: .

Физический смысл производной

Если материальная точка движется прямолинейно и её координата изменяется в зависимости от времени по закону , то скорость этой точки равна производной координаты по времени: .

Ускорение материальной точки в равно производной скорости этой точки по времени: .

Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значений функции:

1. Найти производную функции.

2. Найти критические точки функции .

3. Определить

3. Определить, находятся ли в указанном отрезке критические точки функции.

4. Найти значения функции в точках  

5. Найти значения функции на концах отрезка.

6. Определить максимальное и минимальное значение функции в указанных точках.

Правила дифференцирования         (u, v – функции, С – const)

Дифференцирование сложной функции:         

Таблица производных и первообразных:

Функция	Производная	Первообразная
		-
		-
		-

ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИИ

Функция  называется первообразной для функции  на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка выполняется равенство:

Например, функция   является первообразной для функции  , т.к.

 

Основное свойство первообразной

Если   — первообразная для функции  на заданном промежутке, то функция  имеет бесконечно много первообразных, и все эти первообразные можно записать в виде , где  — произвольная постоянная.

Например,

функция   является первообразной для функции  так как

  

функция  является первообразной для функции  , так как

 ;

функция  является первообразной для функции  , так как

 

любая функция , где С — произвольная постоянная, и только такая функция, является первообразной для функции  .

Геометрический смысл множества первообразных

Графики любых первообразных для данной функции получаются один из другого параллельным переносом вдоль оси Оу.

Правила вычисления первообразных

1. Если  — первообразная для  а  — первообразная для  то            — первообразная для . Иными словами, первообразная суммы равна сумме первообразных.

2. Если  — первообразная для  и  — постоянная, то  — первообразная для . Иными словами, постоянный множитель можно выносить за знак производной.

3. Если F(x) — первообразная для  и  — постоянные, причём k ≠ 0, то                    — первообразная для   

Определённым интегралом от непрерывной функции  на конечном отрезке  (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. При этом употребляется запись .

Теорема Ньютона-Лейбница:

Если функция  непрерывна на отрезке  и  – первообразная функции на этом отрезке, то

Приведём примеры решения заданий ЕГЭ с производными и первообразными.

1. На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.

Решение. Т.к. угловой коэффициент прямой  равен нулю, то у касательной, параллельной этой прямой, будет такой же угловой коэффициент, т.е. . Производная в точке  равна угловому коэффициенту . Значит, . А это есть условие критических точек. Касательную с угловым коэффициентом, равным 0,  можно провести только в точках экстремума, т.е. в точках, где график функции меняет своё направление. Точки перегиба этому условию не соответствуют. Поэтому на данном графике искомых точек 4.

Ответ: 4

2. На рисунке изображён график производной функции f(x), определённой на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней.

Решение. Т.к. угловой коэффициент прямой   равен , то у касательной, параллельной этой прямой, будет такой же угловой коэффициент, т.е. . Производная в точке  равна угловому коэффициенту . Значит, . На рисунке изображён график производной функции, значит, ищем те точки, у которых ордината равна -2. Таких точек здесь 5.

Ответ: 5

3. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Решение. Производная в точке  равна угловому коэффициенту касательной в этой точке и тангенсу угла наклона этой касательной к положительному направлению оси Ох . Тангенс угла можно найти из прямоугольного треугольника, поэтому ищем на рисунке прямоугольный треугольник, содержащий нужный нам угол, причём вершинами этого треугольника выбираем точки с целыми координатами. В данном случае это будет треугольник с вершинами в точках . Т.к. тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему, то . Значит, .

Ответ: 2

4. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Решение. Решение данной задачи аналогично предыдущей, с той лишь разницей, что касательная составляет с положительным направлением оси Ох тупой угол. Значит, воспользуемся формулой приведения  , где  – острый угол, смежный с нужным нам углом. Выбираем прямоугольный треугольник с вершинами в точках .

 . Значит,  и, соответственно, 

Ответ: -0,25

5. На рисунке изображён график функции y = f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите f '(8).

Решение. Так как касательная проходит через начало координат, то она задаётся формулой: . Она касается графика функции в точке , значит,

. Зная, что , заключаем, что .

Ответ: 1,25

6. На рисунке изображён график производной функции y = f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику данной функции параллельна прямой  или совпадает с ней.

Решение. Угловой коэффициент прямой  равен 2, поэтому касательная имеет такой же угловой коэффициент, значит,

 . Т.к. на рисунке изображён график производной, то ищем точку с ординатой 2. Абсцисса этой точки равна 5, значит, .

Ответ: 5

7. На рисунке изображён график производной функции y = f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y = f(x) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

Решение. Так как касательная параллельна оси абсцисс, то её угловой коэффициент равен нулю, т.е. . Так как на рисунке изображён график производной функции, то ищем на графике точку с ординатой 0. Это точка с абсциссой -3.

Ответ: -3

8. Прямая  параллельна касательной к графику функции .  Найдите абсциссу точки касания.

Решение. Так как касательная параллельна прямой , то . Найдём производную данной функции:

Ответ: 0,5

9. Прямая   является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

Решение. Составим общий вид уравнения касательной для данной функции в точке .

Подставим найденные выражения для  и  в уравнение касательной:

.

Составляем систему уравнений:

Ответ: -1

10. Прямая   является касательной к графику функции . Найдите

Решение. Составим общий вид уравнения касательной для данной функции в точке :

. Составляем систему:

Ответ: 7

11. Прямая   является касательной к графику функции  . Найдите , учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Решение. Составим общий вид уравнения касательной для данной функции в точке :

. Составляем систему:

Ответ: -33

12. На рисунке изображён график производной функции ,  определённой на интервале .  Найдите промежутки возрастания функции  . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение. Функция возрастает на промежутке, если производная неотрицательна во всех точках этого промежутка. Так как на рисунке изображён график производной функции, то . Значит, функция возрастает при  Целыми на этом промежутке являются числа 2; 3; 4; 5. Найдём их сумму: .

Ответ: 14

13. На рисунке изображён график функции   определённой на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Решение. Т.к. , то функция возрастает (строго возрастает). Находим промежутки возрастания:                 . Целыми в этих промежутках являются числа: -2; -1; 5; 6. Всего четыре значения.

Ответ: 4

14. На рисунке изображён график функции  определённой на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

Решение. Точки экстремума – это  , т.е. абсциссы точек, в которых функция меняет своё направление. Это точки

. Найдём сумму абсцисс этих точек.

Ответ: 44

15. На рисунке изображён график  — производной функции  определённой на интервале  В какой точке отрезка  функция  принимает наибольшее значение?

Решение. Наибольшее значение функция может принимать на промежутках возрастания. Т.к. на рисунке представлен график производной, то функция возрастает, если , т.е. на промежутке . Раз функция возрастает, то большему значению  соответствует большее значение , т.е. наибольшее значение функция принимает в точке . Эта точка входит в заданный отрезок .

Ответ: -3

16. На рисунке изображён график производной функции  определённой на интервале  Найдите количество точек максимума функции  на отрезке

Решение. Точки максимума – это абсциссы точек, в которых функция меняет своё направление с возрастания на убывание, т.е. значения , в которых производная меняет знак с на . Т.к. на рисунке график производной, то точек перехода с на  две: . Но только .

Ответ: 1

17. На рисунке изображён график производной функции  определённой на интервале  Найдите количество точек экстремума функции  на отрезке

Решение. Точки экстремума – это , т.е. критические точки. Значит, . На рисунке график производной, значит,                     . Все они принадлежат заданному отрезку  Поэтому количество точек экстремума равно 5.

Ответ: 5

18. На рисунке изображён график производной функции  определённой на интервале  Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение. Т.к. на рисунке изображён график производной функции, то функция возрастает (не убывает), если . Значит,               . Найдём сумму целых чисел, входящих в эти промежутки: .

Ответ: -3

19. На рисунке изображён график производной функции  определённой на интервале  Найдите промежутки возрастания функции  В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение. Т.к. на рисунке изображён график производной функции, то функция возрастает (не убывает), если . Значит, . Длина первого промежутка равна 1, длина второго равна 6, длина третьего равна 1. Длина наибольшего отрезка равна 6.

Ответ: 6

20. На рисунке изображён график производной функции  определённой на интервале  Найдите точку экстремума функции  на отрезке

Решение. Точки экстремума – это , т.е. критические точки. Значит, . На рисунке график производной, значит,  . Эта точка принадлежит отрезку

Ответ: 4

21. На рисунке изображён график функции , определённой на интервале  Найдите количество точек, в которых производная функции  равна 0.

Решение. Точки, в которых производная равна нулю – это критические точки, т.е. точки, в которых функция меняет своё направление. Т.к. на рисунке изображён график самой функции, то ищем точки, в которых функция меняет своё направление с возрастания на убывание и с убывания на возрастание. Это точки с абсциссами . Всего их 5.

Ответ: 5

22. На рисунке изображён график функции   и отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Решение. Наименьшее значение производная принимает на тех промежутках, где функция убывает, т.е. . Из указанных точек только две принадлежат промежуткам убывания. Это точки с абсциссами . Выясним, в какой из них значение производной! (не функции) будет меньше. Для этого нам нужна касательная и её угловой коэффициент. Если провести касательные в этих точках, то касательная, проведённая в точке  имеет меньший угол наклона к положительному направлению оси Ох. Т.к. тангенс – функция возрастающая, то чем больше угол, тем больше значение тангенса. Учитывая, что , то наименьшее значение производной достигается в точке 4.

Ответ: 4

23. Функция  определена и непрерывна на отрезке  На рисунке изображён график её производной. Найдите точку , в которой функция принимает наименьшее значение, если  

Решение. На первый взгляд задача очень простая, и это расслабляет. На самом деле здесь есть острые подводные камни. Давайте разберёмся.

а) На рисунке изображён график производной функции и точки с абсциссами  не закрашены, хотя указан отрезок  Это означает, что значения функции в этих точках существуют, а производной в этих же точках не существует.

б)  Функция возрастает (не убывает) на промежутках, где , т.е. на отрезках                , а убывает (не возрастает), где , т.е. на отрезке . Значит, наименьшее значение функция принимает либо в левом  конце отрезка  т.е. в точке , либо в точке .

в) Определим, в какой из этих точек значение функции меньше. Т.к. на отрезке  функция возрастает, то большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. . По условию, , значит,  Тогда наименьшее значение функция принимает в точке .

г) Вот здесь есть нюанс. Следите за непрерывностью функции! Если бы функция имела в точке  разрыв, то это означало бы, что  могло быть меньше !  А это означало бы, что наименьшее значение функция могла бы принимать в точке . В данной задаче непрерывность задана на всём отрезке , т.е. на данном отрезке разрывов нет, поэтому, наименьшее значение функция принимает в точке .

Ответ: 3

24. Материальная точка движется от начального до конечного положения. На рисунке изображён график её движения. На оси абсцисс откладывается время в секундах, на оси ординат — расстояние от начального положения точки (в метрах). Найдите среднюю скорость движения точки. Ответ дайте в метрах в секунду.

Решение. Чтобы найти среднюю скорость движения точки, необходимо весь путь, пройденный за данное время, разделить на это время. Из рисунка .

Ответ: 1,6

25. На рисунке изображён график функции  — одной из первообразных функции  определённой на интервале . Найдите количество решений уравнения  на отрезке

Решение. Функция  определена на промежутке . По определению первообразной  . Значит, . На рисунке изображён график первообразной, значит,  в точках, где график меняет своё направление. Это точки с абсциссами:  Из всех этих точек только 10 принадлежат отрезку

Ответ: 10

26. На рисунке изображён график некоторой функции   (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите  где  — одна из первообразных функции 

Решение. Разность значений первообразной в точках 8 и 2 равна площади выделенной на рисунке трапеции.  Поэтому, используя формулу площади трапеции:

Ответ: 7

27. На рисунке изображён график функции  Функция  — одна из первообразных функции  Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение. Площадь выделенной фигуры вычисляется по формуле: . Тогда: 

Ответ: 6

28. На рисунке изображён график некоторой функции  Функция  — одна из первообразных функции  Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение. Учитывая, что  и, пользуясь формулой , найдём площадь фигуры, изображённой на рисунке.

Ответ: 4

29. На рисунке изображён график некоторой функции   Пользуясь рисунком, вычислите определённый интеграл 

Решение. Определённый интеграл от функции    по отрезку  – это площадь трапеции с вершинами в точках . Площадь этой трапеции равна сумме площадей прямоугольника и прямоугольного треугольника. Значит,

.

Ответ: 12

30. Найдите точку максимума функции .

Решение. Точка максимума – это критическая точка, при переходе через которую производная меняет знак с  на значит, . Найдём производную:

.     

Отметим эти точки на координатной прямой и определим знаки производной на получившихся промежутках:

При переходе через точку  производная меняет знак с  на значит,         

Ответ: -4

31. Найдите наименьшее значение функции   на отрезке .

Решение. Найдём производную функции:

.     

Отметим эти точки на координатной прямой и определим знаки производной на получившихся промежутках:

. ( нам не понадобится. Во-первых, это точка максимума, а во-вторых, она не входит в предложенный отрезок.) Функция непрерывна на всей области определения и при  она убывает, значит, чем больше х тем меньше y, поэтому . При  функция возрастает, значит, чем больше х, тем больше y, поэтому . Это означает, что наименьшее значение на отрезке  функция принимает именно в точке минимума. Найдём это значение функции:

.

Ответ: -54

32. Найдите точку максимума функции 

Решение. Область определения функции .

Найдём производную функции:

. 

Отметим эту точку на координатной прямой и определим знаки производной на получившихся промежутках, учитывая, что :

Значит,

Ответ: 4

33. Найдите точку минимума функции 

Решение. Область определения функции .

Найдём производную функции:

. 

Отметим эти точки на координатной прямой и определим знаки производной на получившихся промежутках, учитывая, что :

Ответ: -1

34. Найдите точку минимума функции

Решение. Найдём производную функции:

Отметим эти точки на координатной прямой и определим знаки производной на получившихся промежутках:

Ответ: 2

35. Найдите наименьшее значение функции  на отрезке

Решение. Область определения данной функции: .

Найдём производную функции:

Отметим эти точки на координатной прямой и определим знаки производной на получившихся промежутках:

 На отрезке  функция убывает, значит, . На отрезке  функция возрастает, значит, . Это означает, что наименьшее значение функция принимает в точке минимума.

.

Ответ: -6

36.  Найдите точку максимума функции .

Решение. Область определения данной функции: .

Найдём производную функции:

Отметим эти точки на координатной прямой и определим знаки производной на получившихся промежутках:

.

Ответ: 3

37. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке .

Решение. Найдём производную функции:

Заданному отрезку  принадлежит только одна точка .

. Используя рассуждения из предыдущих заданий, именно в этой точке функция принимает наибольшее значение на отрезке  .

Ответ: 12

38. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке

Решение. Найдём производную функции:

На отрезке  , то функция на этом отрезке возрастает, значит, наибольшее значение она принимает в точке .

Ответ: 5

Для примера решим несколько задач о нахождении наибольшего и наименьшего значений функции, а также точек минимума и максимума без использования производной.

39. Найдите точку минимума функции .

Решение. Найдём определения функции:

. Это означает, что точек пересечения графика данной функции с осью Ох нет. Учитывая, что ветви параболы направлены вверх , делаем вывод, что  при любом значении х. .

Значит, точкой минимума параболы является абсцисса её вершины. Найдём её:

. Так как исходная функция   возрастающая, то её точка минимума совпадает с точкой минимума подкоренного выражения.

Ответ: 3

40. Найдите наименьшее значение функции .

Решение. Найдём определения функции:

. Это означает, что точек пересечения графика данной функции с осью Ох нет. Учитывая, что ветви параболы направлены вверх , делаем вывод, что  при любом значении х.  .

Значит, наименьшее значение функция  достигает в точке минимума, которой является абсцисса вершины параболы. Найдём её:

. Тогда . Так как   является возрастающей функцией, то своё наименьшее значение принимает в той же точке, что и наименьшее значение подкоренного выражения. Значит, .

Ответ: 2

41. Найдите точку максимума функции .

Решение. Найдём определения функции:

Графиком функции  является парабола с вершиной в точке , ветви направлены вниз, т.к. , значит, свой максимум эта функция достигает в точке . Функция  возрастающая, т.к. основание логарифма больше 1, поэтому её точка максимума совпадает с точкой максимума подлогарифмической функции, т.е. с точкой  .

Ответ: 1

42. Найдите наименьшее значение функции .

Решение. Данная функция возрастающая, т.к. основание степени больше 1, значит, наименьшее значение принимает в точке минимума функции . Т.к.  – квадратичная функция, графиком является парабола, у которой ветви направлены вверх, то точкой минимума её будет абсцисса вершины параболы. Найдём её:

. Тогда наименьшее значение функции равно:

Ответ: 16

Краткое описание документа:

В данной разработке представлена вся необходимая теория для решения заданий № 7 и № 12 ЕГЭ: определения производной и первообразной, правила их вычисления, свойства. Приведены примеры решения 42 примеров. Материал будет полезен для повторения темы о производных и первообразных и для подготовки к ЕГЭ.