Работа над комбинаторными задачами в начальной школе.

(с методическими указаниями)

                        Сборник комбинаторных задач с методическими указаниями

Задача 1. У кассы кинотеатра стоят четверо ребят. У двух из них сторублевые купюры, у других двух – пятидесятирублевые. (Учитель вызывает 4 учеников к доске и дает им модели купюр). Билет в кино стоит 50 рублей. В начале продажи касса пуста. (Учитель вызывает «кассира» и дает ему «билеты»). Как должны расположиться ребята, чтобы никому не пришлось ждать сдачи?

Методические указания: для решения задачи целесообразно разыграть сценку, с помощью которой можно найти два возможных варианта решения:

1)      50 рублей, 100 рублей, 50 рублей, 100 рублей;

2)      50 рублей, 50 рублей, 100 рублей, 100 рублей.

Если ученики нашли варианты в том порядке, в котором они представлены в электронном варианте «Сборника…», то можно открывать в процессе нахождения. Если порядок вариантов не совпадает, следует только проверить по электронному варианту.

Задача 2.  В парке 4 пруда. Было решено засыпать песком дорожки между ними так, чтобы можно было пройти от одного пруда к другому кратчайшим путем, т.е. не нужно было идти в обход. Покажите, какие дорожки будут сделаны.

Методические указания: учитель обсуждает с учениками возможные варианты, после чего ответы проверяются с помощью электронного варианта «Сборника…».

            Задача 3. 4 парусника готовились к соревнованиям. У каждого был свой корабль. Судьи решили, что надо раскрасить паруса, чтобы парусники были видны издалека, и было ясно, кто из спортсменов идет впереди, кто запаздывает. Покажите, как по-разному раскрасили паруса, если было всего две краски?

Методические указания: после прочтения задачи учитель может повесить заготовленные заранее модели парусников на доску, чтобы учащимся было легче сориентироваться в ситуации.

 Далее учитель обсуждает с учениками возможные варианты, после чего ответы проверяются с помощью электронного варианта «Сборника…».

Таким образом, на подготовительном этапе создается положительная мотивация и эмоциональная подготовка учащихся к дальнейшему решению комбинаторных задач.

На основном этапе учащиеся знакомятся с разными способами решения комбинаторных задач.

На данном этапе решаются задачи четырех видов:

v  задачи, решаемые методом организованного перебора;

v  задачи, решаемые с помощью таблиц;

v  задачи, решаемые с помощью графов;

v  задачи, решаемые с помощью дерева возможных вариантов.

Для начала мы предлагаем ознакомить учащихся с методом организованного перебора. При решении данных задач важно обучить детей выполнять перебор не хаотически, а соблюдая определенную последовательность перебора всех вариантов решений.

Задача 4. На каждом флажке должны быть полоски разного цвета: синяя, красная, белая. Раскрась флажки так, чтобы они отличались друг от друга. Сколько разных флажков ты раскрасил? Можете ли вы указать способ позволяющий назвать число флажков, не производя непосредственного их подсчёта?

         Методические указания: Ответ на вопрос задачи предполагался после выполнения следующей работы. Этот же ответ предполагается и ответ на вопрос учителя.

         Один цвет позволяет, очевидно, сделать один флажок (учитель открывает на слайде в электронном варианте «Сборника…» одну полоску, предупредив учащихся о том, что начинаем с красного цвета). Вторую цветную полоску можно приложить к этому флажку двумя способами при условии, что каждый цвет мы хотим использовать только один раз. Вторую полоску мы прикладываем сверху или снизу (также пользуясь электронным вариантом «Сборника…»):

Как можно добавить к этим цветным полоскам третью? Мы помещаем её либо сверху, либо снизу, либо посередине, между двумя первыми полосками. Так, из трёх разноцветных полосок можно составить всего 2*3=6 флажков.

Задача 5. Прямоугольник состоит из трех квадратов. Сколькими способами можно раскрасить эти квадраты тремя красками: красной, зеленой и синей?

            Методические указания: при решении данной задачи можно предложить учащимся организовать перебор с помощью раскрашивания квадратов, предварительно установив порядок.

1.            Пусть первый квадрат раскрашен красным цветом, тогда остальные квадраты можно раскрасить двумя способами: синим и зеленым, зеленым и синим.

2.            Пусть первый квадрат раскрашен зеленым цветом, тогда остальные квадраты можно раскрасить двумя способами: красным и синим, синим и красным.

3.            Пусть первый квадрат раскрашен синим цветом, тогда остальные квадраты можно раскрасить двумя способами: красным и зеленым, зеленым и красным. В результате получаем всего 6 способов.

            При этом квадраты можно открывать постепенно на слайде электронного варианта «Сборника…», тем самым, контролируя ответы учеников.

            Задача 6. У Миши 6 яблок. Из них 4 красных и 2 зеленых. Миша съел 3 яблока. Какого цвета могли быть яблоки? Сколько вариантов у тебя получилось?

            Методические указания: в данной задаче важно обратить  внимание учащихся, что порядок яблок значения не играет, результат будет тот же, если поменять яблоки местами. Начинать решение следует с очевидного варианта – яблок одинакового цвета (как это показано на слайде электронного варианта «Сборника…»).

            Задача 7. В магазине продают воздушные шары: красные, желтые, зеленые, синие. Какие наборы можно составить из двух разных шаров? Сколько наборов у тебя получилось?

            Методические указания: следует обратить внимание учащихся на то, что при выборе двух шаров не имеет значения, какой из них находится справа, а какой слева. Но при расположении шаров необходимо пользоваться организованным перебором

            Задача 8. Представь, что у тебя 10 тюльпанов: 3 желтых,
2 оранжевых, 5 красных. Какие разные букеты из трех тюльпанов ты можешь составить?

            Методические указания: как и в предыдущей задаче, следует обратить внимание учащихся, что при выборе трех цветов не имеет значения порядок расположения в букете.

            Задача 9. На цветочной клумбе сидели шмель, жук, стрекоза, бабочка и муха. Два насекомых улетели. Какие пары насекомых могли улететь?

            Методические указания: пары насекомых удобнее  располагать в столбики, как это показано в электронном варианте «Сборника…». Начинать перечисление пар насекомых следует в порядке их следования в тексте задачи, тогда вариант решения учеников совпадет с решением в электронном варианте «Сборника…».

            Задача 10. Перечислите все двузначные числа, в записи которых встречаются цифры 0, 1, 2.

            Методические указания: в электронном варианте «Сборника…» предлагается два способа решения данной задачи. На уроке следует первым открыть тот вариант для проверки, который предложили учащиеся. Далее следует задать вопрос: как можно по-другому расположить эти  числа? Проверить ответ учащихся можно, открыв второй способ решения.

Далее мы предлагаем ознакомить учащихся с другим способом решения комбинаторных задач – с помощью таблиц.

Перед тем, как знакомить учащихся с новым способом решения комбинаторных задач, необходимо актуализировать знания детей о таблицах, выделить существенные признаки таблиц и сформулировать определение понятия «таблица», например такое: таблица – это перечень сведений, числовых данных, приведенных в определенную систему и разнесенных по графам (строкам и столбцам).

            Задача 11. Запиши в нужные клетки таблицы следующие числа: 23, 32, 11, 31, 22, 33, 13. Какие числа нужно записать в оставшиеся клетки?

ед. д.	1	2	3
1
2
3

            Методические указания: перед решением данной задачи необходимо вспомнить с учащимися разрядный состав чисел, используемых в решении задачи.  Проверку решения можно осуществить при помощи электронного варианта «Сборника…», открывая постепенно числа в таблице.

            Задача 12. Проверь, правильно ли заполнена таблица?

ед. д.	5	9
2	25	92
7	75	97
1	15	91

            Методические указания: как и перед решением предыдущей задачи необходимо вспомнить с учащимися разрядный состав чисел, используемых в решении задачи.  Проверку решения можно осуществить при помощи электронного варианта «Сборника…», открывая числа в таблице по столбикам.

            Задача 13. Для изготовления двуцветных ручек на фабрике использовали красные, желтые, зеленые и синие стержни. Сколько различных видов двуцветных ручек выпускала фабрика? Заполни таблицу и проверь свой ответ. Обведи зеленым цветом клетки таблицы, в которых записаны возможные наборы двуцветных ручек.

            Методические указания: при решении задачи сначала необходимо разгадать правило, по которому составлена  таблица и заполнить ее до конца. Составленную таблицу соотнести с условием задачи. Далее обвести зеленым цветом только клетки, в которых показаны ручки разных цветов. Проверку осуществлять постепенно с помощью электронного варианта «Сборника…».

            Задача 14. В одной деревне по сложившейся традиции мужчин называют каким-либо из следующих имен: Иван, Петр, Василий и Михаил. Проживают в этой деревне 15 мужчин. Может ли оказаться так, что в деревне нет мужчин с одинаковым именем и отчеством?

            Методические указания: для удобства записи данных в таблицу нужно подвести учеников к мысли о том, что имена и отчества можно записывать кратко, используя только первую букву имени и отчества.

            Задача 15. У Миши 4 ручки разного цвета  и 3 блокнота разного размера. Сколько различных наборов из ручки и блокнота сможет составить Миша? Реши задачу, составив таблицу.

            Методические указания: в основе решения данной задачи лежит правило произведения: «Если объект А можно выбрать m  способами, а другой объект В можно выбрать k способами, то объект «А и В» можно выбрать m ∙ k  способами». Учащимся данное правило не сообщается.

            Задача 16. У Кати 2 кофты и 3 юбки – все разного цвета. Может ли Катя в течение 7 дней недели надевать каждый день разные костюмы?

            Методические указания: особенность данной задачи в том, что прежде чем ответить на вопрос, необходимо составить и заполнить таблицу, а затем сравнить числа: количество костюмов, которые получили в результате заполнения таблицы с количеством дней. Только после такой работы можно ответить непосредственно на вопрос задачи.

            Задача 17. В танцевальном кружке занимаются пять девочек: Женя, Маша, Катя, Юля и Даша и 5 мальчиков: Олег, Вова, Стас, Андрей и Иван. Сколько различных танцевальных пар можно составить? Заполни таблицу и проверь свой ответ.

            Методические указания: эту задачу можно дать учащимся в качестве домашнего задания. Таким образом, давая возможность самим составить и заполнить таблицу. В классе можно проверить правильность выполнения с помощью электронного варианта «Сборника…».

Далее мы предлагаем ознакомить учащихся с новым способом решения комбинаторных задач – с помощью графов. Ознакомление учащихся с понятием «граф» можно осуществить с помощью Задачи 18.

Задача 18. Пятеро друзей встретились после каникул и обменялись рукопожатиями. Каждый, здороваясь, пожал руку. Сколько всего было сделано рукопожатий?

            Методические указания: для начала необходимо выяснить с учащимися, как можно обозначить каждого человека (быстрее и удобнее изображать людей точками, которые располагаются примерно по кругу, чтобы записи были понятными и наглядными). Рукопожатия удобно обозначить черточками. Сначала составить рукопожатия одного человека (точку соединить со всеми остальными), потом перейти к другому человеку. Проведенные линии помогут увидеть, с кем он уже поздоровался, а с кем нет. Составить недостающие рукопожатия. Так действовали до тех пор, пока все не поздоровались друг с другом.

            На слайде в электронном варианте «Сборника…» друзья изображены человечками, а не точками с целью наглядно показать решение задачи.

Задача 19. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4?

            Методические указания: при решении данной задачи важно подвести учащихся к мысли о том, что связи между объектами могут обозначаться не только линиями, но и стрелками. Это происходит в том случае, когда нужно показать направление действия или правильную последовательность в изображении объектов.

Целесообразно также сравнить получившийся граф с графом из задачи 18: общее – объекты обозначаются точками; различное – связи между объектами могут обозначаться прямыми линиями и стрелками; во втором графе используется «петля» для обозначения двузначного числа, состоящего из двух одинаковых цифр.

Задача 20. Миша, Вася, Катя и Лиза поздравили друг друга с Новым годом, подписав открытки. Покажи красным цветом стрелки, которые показывают, кому Миша подписал открытки, а синим – кто подписал Мише.

Методические указания: при решении этой задачи имена можно обозначить первой буквой, изобразить граф, изображая поздравления стрелками. После стрелки обвести соответствующим цветом.

Проверять решение можно как постепенно, открывая поэтапно стрелки, так и целиком открыв весь граф на слайде электронного варианта «Сборника…».

Задача 21. Из каждой пары чисел 63, 9, 7, 70 составь всевозможные суммы. Выбери граф, который соответствует данному заданию.

Методические указания: цель данной задачи – формировать умение читать граф. Стрелочка вокруг каждого числа обозначает, что к данному числу прибавляют то же число.

Задача 22. Соедини линией каждое задание с графом, который ему соответствует.

1. Используя цифры 4, 5, 6, запиши все возможные двузначные числа.

2. Используя цифры 4, 5, 6, запиши двузначные числа, которые меньше 50.

3. Используя цифры 4, 5, 6, запиши двузначные числа, которые больше 50.

            Методические указания: перед решением данной задачи необходимо вспомнить с учащимися, что обозначают стрелки и петли у графа.

         Задача 23. Рассмотри граф.

Подчеркни те задания, которые ему соответствуют.

Из каждой пары чисел 18, 36, 54 составь все возможные:

а) суммы;                              б) разности;

в) произведения;                  г) частные,

значение которых ты можешь вычислить.

            Методические указания: см. Методические указания к задаче 22.

            Задача 24. Шесть девочек взяли напрокат двухместную лодку. Построй граф, на котором будет показано, как девочки катались парами.

            Методические указания: см. Методические указания к задаче 22. Важно обратить внимание учащихся на то, что при построении графа надо ставить не стрелки, а линии.

            Задача 25. Сколько разностей можно составить из чисел 30, 25, 17, 9, если для их составления брать два числа? Проверь свой ответ, изобразив граф.

            Методические указания: данную задачу надо сначала решить методом организованного перебора, подсчитать количество разностей, а затем построить соответствующий граф. Проверить получившееся решение можно с помощью электронного варианта «Сборника…».

            Далее мы предлагаем познакомить учащихся с применением одной из разновидностей графа – деревом возможных вариантов при решении комбинаторных задач.

            Задача 26. Нарисуй башенки, которые «зашифрованы», для этого пройди по всем возможным путям от верхней точки до нижних.

верхний кубик

средний кубик

нижний кубик

            Методические указания: можно дать возможность учащимся самим, без помощи учителя, нарисовать башенки, а затем лишь проверить, открывая постепенно решение на слайде электронного варианта «Сборника…». См. также методические указания к задаче 27.

            Задачу 26 и задачу 27 целесообразно предлагать учащимся на одном уроке.

            Задача 27. Какое число зашифровано в выделенном пути?
Покажи путь, в котором зашифровано число 5571.

                                                                                                   единицы тысяч

 

                                                                                                         сотни

 

                                                                                                        десятки

                                                                                                        единицы

            Методические указания: проанализировав новый вид графа, важно подвести учащихся к выводу, что они отличаются по структуре от ранее изученных графов: предложенные схемы отражают определенную последовательность, которая начинается строго с определенного объекта.

С детьми выясняется, что данный вид графа, если его перевернуть будет похож на дерево, на котором растут ветки с листьями. Наше дерево  отличается тем, что растет сверху вниз, потому что так удобнее располагать объекты в нужной последовательности. Такой вид графа называется деревом возможных вариантов.

Далее с детьми следует проанализировать структуру дерева возможных вариантов: дерево возможных вариантов начинается строго с определенного объекта (красный кубик является верхним для всех изображенных башенок, цифра 5 обозначает первый разряд при чтении показанных на дереве чисел), такой объект в структуре дерева называется корнем дерева; дерево возможных вариантов показывает последовательности вариантов выбора объектов (определенный порядок расположения кубиков в башенках и цифр, из которых состоят четырехзначные числа), они называются ветвями дерева.

Задача 28. Миша решил в воскресенье навестить дедушку, своего друга Петю и старшего брата Володю. В каком порядке он может организовать визиты? Сколько вариантов получилось?

Методические указания: в данной задаче речь идет о числе перестановок Р3 = 1 ∙ 2 ∙ 3 = 6, т.е. о выполнении трех визитов в разной последовательности. В качестве корня дерева возможных вариантов выступает Миша, который совершает визиты.

Задача 29. В класс пришли четыре новых ученика Миша, Вася, Катя, Лиза. С помощью дерева возможных вариантов покажи, все возможные варианты расположения четырех учеников за одной партой. Сколько вариантов выбора у него будет?

Методические указания: в отличие от предыдущей задачи корнем дерева возможных вариантов будет точка, а не кто-то из новых учеников. Важно обратить на это внимание учащихся. Для наглядности на слайде в электронном варианте «Сборника…» мы использовали в качестве корня дерева возможных вариантов картинку учителя, что равнозначно точке в письменном варианте решения задачи.

Задача 30. Сосчитай, сколько слов содержится в заклинании волшебника, если слова начинаются с букв Ш или Ц, второй буквой могут быть О, И, Е, а оканчиваться слова могут буквами Р, К, Х.

Методические указания: как и в предыдущей задаче, корнем дерева возможных вариантов будет точка, а не какая-то из букв. На это важно обратить внимание учащихся. В электронном варианте «Сборника…» мы в качестве корня дерева возможных вариантов использовали картинку волшебника, равнозначную точке в письменном варианте решения задачи.

Задача 31. Петя, Вася, Катя, Лиза и Миша должны участвовать в конкурсе чтецов. В каком порядке дети выступят, если Миша будет выступать первым, а за ним пойдут Катя и Лиза?

Методические указания: важно проконтролировать порядок расположения чтецов при записи учащимися, поэтому целесообразно постепенно открывать решение на слайде в электронном варианте «Сборника…».

Задача 32. Из цифр 9, 7, 5, 0 составляют все возможные трехзначные числа, в которых нет одинаковых цифр. Сколько среди чисел, меньше 900?

          Методические указания: при решении задачи следует рассуждать так: «Если числа меньше 900, то первой цифрой в числе может быть 7 или 5, поэтому ставим 2 точки. Сначала составим все числа с первой цифрой 7. При этом второй цифрой может быть либо 9, либо 5, либо 0 (проводим линии, ставим три точки). Если первая цифра 7, вторая– 9, то третьей могут быть 5 или 0. Если первая цифра 7, вторая – 5, то третьей могут быть 9 или 0. Если первая цифра 7, вторая–  0, то третьей могут быть 5 или 0». Аналогичные рассуждения с первой цифрой 5.

Таким образом, на основном этапе дети учатся решать комбинаторные задачи разными способами.

            На этапе отработки умений выполнять организованный перебор предлагается решать комбинаторные задачи разными способами (методом организованного перебора, с помощью таблиц, с помощью графов), тем самым, с одной стороны, закрепляя умение решать такие задачи с помощью различных приемов перебора, с другой – осуществляя действие самоконтроля, являющееся необходимым компонентом учебной деятельности.

            Задача 33. Поставь между цифрами один или несколько знаков арифметических действий и скобки так, чтобы получились верные равенства.

а) 3     3     3     3 = 10

б) 3     3     3     3 = 111

в) 3     3     3     3 = 4

г) 3     3     3     3 = 5

д) 3     3     3     3 = 7

е) 3     3     3     3 = 8

ж) 3     3     3     3 = 9

з) 3     3     3     3 = 3

и) 3     3     3     3 = 6

к) 3     3     3     3 = 1

Методические указания: задачу можно предложить в качестве домашнего задания.

         Задача 34. Сколько различных завтраков, состоящих из 1 напитка и 1 вида выпечки, можно составить из чая (ч), кофе (к), булочки (б), печенья (п) и вафель (в)?

     1. Пользуясь условными обозначениями, составь таблицу, соответствующую условию задачи. Сколько завтраков у тебя получилось?

     2. Заполни схему дерева возможных вариантов в соответствии с условием задачи. 

 

                                                                                                        Схема

Напитки

 

Выпечка

Сколько завтраков у тебя получилось?

     3. Дострой граф так, чтобы он соответствовал условию задачи.

Сколько завтраков у тебя получилось?

4. Сравни ответы, которые у тебя получились в пунктах 1, 2, 3.

         Методические указания: задача предлагается для проверки умения решать комбинаторные задачи разными способами, поскольку наглядно показывает уровень сформированности умения выполнять организованный перебор. Задача позволяет учащимся осуществлять действие самоконтроля. На решение данной задачи отводится 10 – 15 минут от урока.

         Задача 35. Шесть семей уехали отдыхать в разные города. Приехав к месту отдыха, они поговорили друг с другом по телефону. Сколько звонков было сделано?

         1. Закончи построение графа, соответствующего данной задаче.

                     1

                                   2

6                                         3 

        5                   4 

2. Используя построенный граф, ответь на вопросы: «Сколько звонков сделала

а) первая семья _________,

б) вторая семья _________,

в) третья семья _________,

г) четвертая семья ________,

д) пятая семья _________,

е) шестая семья __________».

         3. Обведи на графе красным цветом стрелки, обозначающие разговор между

а) третьей и пятой семьями;

б) первой и четвертой семьями;

в) второй и третьей семьями.

         4. Ответь на вопрос задачи.

         5. Проверь свой ответ, составив таблицу, соответствующую данной задаче.

         Методические указания: см. Методические указания к задаче 34.

         Задача 36. Поставь скобки так, чтобы получились верные равенства.

а) 8 + 40 : 8 – 3 ∙ 2 = 0

б) 8 + 40 : 8 – 3 ∙ 2 = 28

в) 8 + 40 : 8 – 3 ∙ 2 = 24

         Методические указания: см. Методические указания к задаче 33.

         Задача 37.

         1. Выполни задание.

        На отрезке АВ поставь три точки и обозначь их буквами М, К, Е.

                                                          В

                              А

     2. Ответь на вопрос: «Сколько новых отрезков получилось?»

     3. Проверь свой ответ, достроив граф.

         Объясни, почему на этом графе не нужно ставить стрелки.

4. Запиши в таблицу все новые отрезки.

	А	В	М	К	Е
А	–	–	АМ
В
М
К
Е

         Сколько клеток ты заполнил?

         Методические указания: задачу можно предложить в качестве домашнего задания к уроку контроля и оценки знаний по теме «Отрезок» как нестандартную задачу.

         Таким образом, можно научить детей решать комбинаторные задачи разными способами, выбирать рациональный способ перебора, а также осуществлять действие самоконтроля, решая задачи разными способами.

Использованная литература

1.      Белокурова Е.Е. Методика обучения школьников решению комбинаторных задач //Начальная школа, 1994, №12.

2.      Белокурова Е.Е. Некоторые комбинаторные задачи в начальном курсе математики //Начальная школа, 1992, №1.

3.      Белокурова Е.Е. Обучение решению комбинаторных задач с помощью таблиц и графов //Начальная школа, 1995, №1.

4.      Белокурова Е.Е. Характеристика комбинаторных задач //Начальная школа, 1994, №1.

5.      Истомина Н.Б., Виноградова Е.П. Учимся решать комбинаторные задачи. Тетрадь для учащихся 1 – 2 классов четырехлетней начальной школы. – Смоленск: Ассоциация XXI век, 2005.

6.      Истомина Н.Б., Виноградова Е.П., Редько З.Б. Учимся решать комбинаторные задачи. Тетрадь по математике для учащихся 3 класса. – Смоленск: Ассоциация XXI век, 2005.

7.      Истомина Н.Б., Виноградова Е.П. Учимся решать комбинаторные задачи. Тетрадь для учащихся 4 класса четырехлетней начальной школы. – Смоленск: Ассоциация XXI век, 2004.

8.      Медведева О.С. Развитие комбинаторного стиля мышления при обучении математике. //Методика преподавания математики в средней школе. Свердловск, 1991.

9.      Медведева О.С. Решение задач комбинаторного характера как средство развития мышления учащихся 5-6 классов: Автореф. Дис. …канд. пед. наук. – М., 1990.

10.  Мелхорн Г., Мелхорн Х.Г. Гениями не рождаются. Общество и способности человека. //Книга для учителя. – М., 1989.

11.  Солнышко С.В. Использование комбинаторных задач при обучении математике //Начальная школа, 1994, №1.

12.  Стойлова Л.П. Способы решения комбинаторных задач. //Начальная школа, 1994, №1.

Краткое описание документа:

Представлен сборник комбинаторных задач, которые можно использовать в начальной школе.

Применяя предложенные рекомендации, можно научить детей решать комбинаторные задачи разными способами, выбирать рациональный способ перебора, а также осуществлять действие самоконтроля, решая задачи разными способами.