Различные способы решения систем уравнений.Математическая разработка к НОУ.

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Школа №77»

Сормовского района г. Нижнего Новгорода.

Различные способы решения систем уравнений.

Нижний Новгород 2020

Содержание

Введение…..……………………………………………………2 стр.

1.Метод исключения одной из неизвестных………....………3 стр.

2.Метод алгебраических преобразований уравнений……….5 стр.

системы…………………………………………………………

3.Метод замены переменных………………………………….7 стр.

4.Системы однородных уравнений……………………..…….9 стр.

5.Метод Крамера……………………………………………...11 стр.

6.Матричный метод ………….…………………...………….17 стр.

7.Метод Гаусса …………………………………………….…20 стр.

8.Применение решения систем уравнений………………….24 стр.

9.Заключение …………………………………………………33 стр.

10.Список литературы……………………………………..…34 стр.

Введение

Одной из важнейших и наиболее распространённых задач вычислительной математики является задача решения систем алгебраических уравнений. К ним часто приходят при исследовании самых различных проблем науки и техники, в частности, приближенное решение дифференциальных уравнений обыкновенных и в частных производных сводится к решению алгебраических систем. Число неизвестных n может достигать нескольких десятков, сотен и даже тысяч. К решению систем линейных уравнений сводятся такие группы задач:

- задачи механики (статические, теплотехнические);

- задачи из геодезии, связанные с построением карт на основании данных геодезической съемки;

- системы линейных уравнений – основной аппарат при нахождении значений коэффициентов в эмпирических формулах;

- задачи приближенного решения уравнений, имеющих большое распространение в высшей математике;

- системы линейных уравнений широко используются в области физики и смежных с ней наук: теории относительности, атомной физике, при составлении прогнозов погоды и т. д.

Перечисленные задачи не исчерпывают всех случаев использования систем уравнений, но обнаруживают, насколько часто приходится сталкиваться при решении задач математики и естествознания с необходимостью исследовать и точно или приближенно решить систему линейных уравнений.

В данной работе рассматриваются методы решения систем уравнений. Приведены задачи, решения которых производились согласно приведенным в работе методам.

1.Метод исключения одной из неизвестных

Метод исключения неизвестных позволяет последовательно сводить решение данной системы к решению системы (или совокупности систем), содержащей на одну переменную меньше. Этот метод последовательного исключения основан на очевидном утверждении, что система уравнений

равносильна системе уравнений

и аналогично для большего числа переменных.

Пример 1.1 Решить систему

Решение. Левые части уравнений системы содержат одни и те же комбинации неизвестных. Умножим уравнения на подходящие множители с тем, чтобы исключить из системы одно из неизвестных. Сложив второе уравнение с первым, умноженным на -3. В результате получаем уравнение .

Решим данное уравнение путем замены.

Пусть xy = t, тогда , t₁=2, t₂=9.

Таким образом, исходная система распадается на системы:

 и

В первом случае находим x²=1.  Если  x=1 то y=2 , а если x=-1, то y=-2.

Во втором случае, исключая , получаем x²=-209. Поэтому вторая из двух последних систем не имеем действительных решений.

Ответ: {(1;2),(-1;-2)}.

2.Метод алгебраических преобразований уравнений системы

Уравнения системы можно складывать, вычитать, умножать на число, перемножать, делить, соблюдая при этом возможность выполнения таких операций. Заметим, что следствие системы, получаемое в результате алгебраических преобразований, содержит все решения исходной системы, и, кроме того, оно может содержать лишние корни.

Поэтому: 1) если следствие не имеет решений, то и исходная система не имеет решений; 2) если решениями следствия окажутся действительными числа, то их нужно подставить в исходную систему и проверить, являются ли они ее корнями; 3) если решениями следствиями окажутся алгебраические выражения, то их нужно рассматривать совместно с уравнениями исходной системы. В этом случае получим равносильную систему или совокупность систем.

Пример 2.1 Решить систему

Решение.    

   

    Ответ: {(1; 1), (-1,8; -0,6)}

Пример 2.2

Решите систему

Упростим первое уравнение системы: ,

.

Тогда исходная система примет вид:

Далее получаем:

     и  

Решая каждую систему методом алгебраического сложения, получаем ответ.

Ответ:

3.Метод замены переменных

Метод замены неизвестных основан на следующем утверждении.

Пусть дана система уравнений  и пусть система  имеет k различных решений .

Тогда система (1) равносильна совокупности  k систем

                 

Пример 3.1 Решить систему

Решение.

Произведем замену. Пусть Тогда

Складывая уравнения, получим    

Преобразуем первое уравнение:

        

Ответ: {(1; 1)}

Пример 3.2 Решите систему

Рассмотрим первое уравнение системы.

Пусть , тогда . Это уравнение имеет единственный корень , так как функция, стоящая в левой части уравнения возрастающая, а функция убывающая. Значит, если и есть корень у уравнения, то только один.

 , тогда ,  или .

не удовлетворяет условию .

Значит, .

Ответ: .

4.Системы однородных уравнений

Система двух уравнений с двумя переменными вида

называется однородной (левые части обоих уравнений однородные многочлены степени n от двух переменных).

Однородные системы решаются комбинацией двух методов: линейного преобразования и введения новых переменных.

Пример 4.1 Решить систему  

Решение. Первое уравнение системы однородное. Заметим, что если положить y=0 то из однородного уравнения 3x²+xy-2y²=0 находим x=0. Но пара чисел (0;0) не удовлетворяет второму уравнению системы, поэтому y≠0 и, следовательно, обе части однородного уравнения 3x²+xy-2y²=0 можно разделить на y² (это не приведёт к потере корней).

Получим  и , откуда находим, что  или , т.е. x= - y или .

   

Ответ:

5.Метод Крамера.

Метод Крамера применяется для решения систем алгебраических уравнений, в которых число неизвестных переменных равно числу уравнений и определитель основной матрицы отличен от нуля.

Разберем решения нескольких примеров.

Пример.

Найдите решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Решение.

Основная матрица системы имеет вид . Вычислим ее определитель по формуле :

Так как определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то СЛАУ имеет единственное решение, и оно может быть найдено методом Крамера. Запишем определители и . Заменяем первый столбец основной матрицы системы на столбец свободных членов, и получаем определитель . Аналогично заменяем второй столбец основной матрицы на столбец свободных членов, и получаем .

Вычисляем эти определители:

Находим неизвестные переменные x₁ и x₂ по формулам :

Выполним проверку. Подставим полученные значения x₁ и x₂ в исходную систему уравнений:

Оба уравнения системы обращаются в тождества, следовательно, решение найдено верно.

Ответ:

.

5.1Пример.

Найдите решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Решение.

Основная матрица системы имеет вид . Вычислим ее определитель по формуле :

Так как определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то СЛАУ имеет единственное решение, и оно может быть найдено методом Крамера. Запишем определители и . Заменяем первый столбец основной матрицы системы на столбец свободных членов, и получаем определитель . Аналогично заменяем второй столбец основной матрицы на столбец свободных членов, и получаем .

Вычисляем эти определители:

Находим неизвестные переменные x₁ и x₂ по формулам :

Выполним проверку. Подставим полученные значения x₁ и x₂ в исходную систему уравнений:

Оба уравнения системы обращаются в тождества, следовательно, решение найдено верно.

Ответ:

.

5.2 Пример.

Решите методом Крамера систему линейных уравнений , где a и b – некоторые действительные числа.

Решение.

Вычислим определитель основной матрицы системы:

Определитель отличен от нуля, следовательно, можно применить метод Крамера.

Находим неизвестные переменные

Рекомендуем проверить полученные результаты.

Ответ:

.

6.Матричный метод

Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.
Метод удобен для решения систем невысокого порядка.
Метод основан на применении свойств умножения матриц.
Несмотря на ограничения возможности применения данного метода и сложность вычислений при больших значениях коэффициентов, а также систем высокого порядка, метод может быть легко реализован на ЭВМ.

Дана система уравнений: 

Составим матрицы:   A = ;             B = ;      

     X = .

Систему уравнений можно записать:
A*X = B.

Сделаем следующее преобразование: A^-1*A*X = A^-1*B,

т.к.   А^-1*А = Е, то  Е*Х = А^-1*В
Х = А^-1*В
Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.

            Пример 6.1 Решить систему уравнений:

Х = , B = , A =
Найдем обратную матрицу А^-1.
D = det A = 5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.

M₁₁ =  = -5;                  M₁₂ =  = 1;                   M₁₃ =    = -1;
M₂₁ =                M₂₂ =                     M₂₃ =
M₃₁ =                  M₃₂ =                     M₃₃ =

                     A^-1= ;

Cделаемпроверку:
A*A^-1 = =E.

Находим матрицу Х.
Х = = А^-1В = * =  .

Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3.

7.метод Гаусса

Метод Гаусса является самым универсальным и эффективным и заключается в последовательном исключении переменных.

Пример 7.1

Необходимо решить систему:

Решение:

Прямой ход.

Представим исходную систему в следующем виде:

На каждом этапе решения будем располагать с правой стороны расширенную матрицу, эквивалентную системе уравнений. Расширенная матрица представляет собой несколько иную
форму записи исходной системы уравнений. Это позволит нам вести решение более наглядно.

Исключим переменную x₁ из последнего уравнения.

Для удобства переведем систему уравнений в целые числа, для этого умножим коэффициенты
первого уравнения на 3, а коэффициенты второго уравнения на -2:

Умножим коэффициенты первого уравнения на -1.

Обычно, данное преобразование системы выполняется в уме и не указывается при решении.

Прибавим получившееся уравнение ко второму уравнению.

Первое уравнение при этом не изменится в исходной системе.

Обратный ход.

Рассмотрим второе уравнение получившейся системы:

Рассмотрим первое уравнение получившейся системы:

Найдем значение переменной x₁

Найдем значение переменной x₂, подставив найденное значение x₁.

Ответ:

8.Применение решения систем уравнений.

А) в неравенствах:

Пример 8.1

Из неравенств  следует, что каждая из трех дробей левой части не больше

,     ,     .

Поэтому сумма трех дробей равняться 9 может только в том случае, когда

        Ответ: -3

Пример 8.2    

1)

Б) в тригонометрии:

Пример 8.3

Ответ: 1,8

Пример 8.4

.

Ответ:

Пример 8.5

,

В) в показательных уравнениях:

Пример 8.6

.

Г) в логарифмических уравнениях:

Пример 8.7

.       

Ответ: 4

Пример 8.8

1)  

2)   

Ответ: 2; 2,5

Пример 8.9    

1).  

2). 

Заключение

Изучив различные методы решения систем уравнений, я убедился, что используя описанные мной методы, упрощают техническую часть решения, что приведет к более быстрому решению систем уравнений, что так важно в условиях ограниченного времени на ЕГЭ.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

•         Азаров А.И., Барвенов С.А., Федосенко В.С., Шибут А.С. Системы алгебраических уравнений. Текстовые задачи. Справочное пособие для абитуриентов и школьников. 1998.

•         Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 11 класса. Учеб.пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики. 4-е изд. - М.: Просвещение, 1995.

•         Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Учеб.пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. курса математики. М.: Просвещение, 1992.

•         Самусенко А.В., Казаченок В.В. Математика: Типичные ошибки абитуриентов. 2-е изд., испр. - Мн.: Выш. шк., 1995.

•        Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике: Решение задач. Учеб.пособие для 11 класса средней школы. - М.: Просвещение, 1991.