Разработка урока по геометрии на тему "Подготовка к ОГЭ. Произвольный треугольник (стороны)"

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 45

Разработка урока- тренинга по теме

«Подготовка к ОГЭ. Произвольный треугольник (стороны)»,

геометрия, 9 класс.

Автор: учитель математики

первой  категории

МАОУ СОШ №45 г. Калининграда

Борисова Алла Николаевна.

г. Калининград

2017 – 2018 учебный год

Автор – Борисова Алла Николаевна

Образовательное учреждение – муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 45 города  Калининграда

Предмет – математика (геометрия)

Класс – 9

Тема – «Подготовка к ОГЭ. Произвольный треугольник (стороны)»

Учебно-методическое обеспечение:

·        Геометрия, 7 - 9: учебник для общеобразовательных учреждений/ Л. С. Атанасян и др., - 17 - е изд., - М.: «Просвещение», 2016 г.

·         ОГЭ 2018. Математика. 50 вариантов. Типовые тестовые задания/И. Р. Высоцкий - М.: «Экзамен», 2018 г.

·        Я сдам ОГЭ! Модульный курс. Математика. Практикум и диагностика./ И. В. Ященко, С. А. Шестаков, - М.: «Просвещение», 2017 г.

Данные о программах, в которых выполнена мультимедийная составляющая работы - Microsoft Office Power Point 2010

Цель: повторить знания по теории геометрии, продолжить работу по решению геометрических задач по теме «Треугольник (стороны) для подготовки к ОГЭ.

Задачи урока:

Образовательные:

·        повторить знания по теории геометрии по теме «Треугольник»;

·         продолжить работу по подготовке к ОГЭ;

·        проверка знаний и их коррекция.

Развивающие:

·        развитие внимания, мышления, наблюдательности, активности;

·        развитие математической речи;

·        развитие умений анализировать свои ошибки;

·        развитие умений применять полученные знания на практике.

Воспитательные:

·        воспитывать дисциплинированность, высокую работоспособность и организованность;

·        воспитание познавательной активности, культуры общения, ответственности;

·        привить учащимся навыков самостоятельной работы;

·        воспитывать умение проводить оценку и самооценку знаний и умений.

Оборудование и материалы для урока: проектор, экран, презентация для сопровождения урока.

Тип урока: урок - тренинг.

Структура урока:

№ n/n	Название этапа урока	Время
1	Организационный момент.	1 мин
2	Проверка теоретических знаний.	10 мин
3	Решение задач по готовым чертежам.	14 мин
4	Самостоятельное решение задач.	18 мин
5	Подведение итогов урока.	2 мин

Ход урока.

I.  Организационный момент.

Учащимся сообщается тема урока и цели, подчеркивается актуальность данной темы при сдаче ОГЭ (слайд №1).

II. Актуализация знаний учащихся

1) Проверка теоретических знаний (слайды № 2 - 8).

  

2) Учащиеся выполняют теоретический тест по выбору верных утверждений (прототип задания № 20 ОГЭ) (слайд №9).

III. Решение задач по готовым чертежам. Фронтально.

 (слайды № 10 - 16).

IV. Самостоятельное решение задач.

I уровень. Работают самостоятельно по карточке (по необходимости пользуются помощью учителя или соседа по парте). Двое учащихся работают на откидной доске. После окончания работы взаимопроверка.

Приложение 1.

1. В треугольнике ABC известно, что AC=12, BM — медиана, BM=11. Найдите AM.
2. Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AB равна 24, сторона BC равна 13, сторона AC равна 26. Найдите MN.
3. Прямая, параллельная стороне AC  треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N  соответственно, AB=28, AC=24, MN=18. Найдите AM.
4. Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC  соответственно. Отрезки AN и CM  пересекаются в точке O, AN=21, CM=15. Найдите OM.
5. В треугольнике ABC угол A равен 60°, угол B равен 45°, BC=7√6. Найдите AC.
6. Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 66° и 84°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 15.
7. В треугольнике АВС  известно, что AB=8, BC=10, AC=12. Найдите  cos ∠ABC.

II уровень.

Решают задачи повышенного уровня сложности из второй части ОГЭ.

Работают в группах. При необходимости учитель даёт  консультации. Затем решения оформляются на доске.

Приложение 2.

№ 1. (Задание 26). Биссектриса СМ треугольника ABC делит сторону АВ на отрезки AM = 5 и MB =10. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку С, пересекает прямую АВ в точке D. Найдите CD.

№ 2. (Задание 26). В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 8. Найдите стороны треугольника ABC.

Решение.

№ 1.

По свойству биссектрисы треугольника

Углы DCA и DBC равны по свойству    угла между касательной и хордой (см. рис.). Следовательно, треугольники DAC и DCB подобны по двум углам.

Из этой системы уравнений находим, что CD = 10.                          Ответ: 10.

№ 2.

1. По условию задачи биссектриса BE и медиана AD пересекаются под прямым углом. Следовательно, в треугольнике ABD BO – медиана, и треугольник ABD равнобедренный с основанием AD. Тогда AO=OD=4.

Если медиана с биссектрисой пересекаются под 90 градусов, то в точке пересечения биссектриса делится в отношении 3:1, считая от вершины, следовательно, .

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB, в котором известны два катета AO и BO. По теореме Пифагора найдем гипотенузу AB:

.

Так как BD=AB, а BC=2BD=2AB, то

.

3. Вычислим длину отрезка AE из прямоугольного треугольника AOE по теореме Пифагора:

По свойству биссектрисы треугольника можно записать, что

,

откуда

и сторона AC равна

.

Ответ: .

V. Подведение итогов урока.  

Что запомнилось на уроке?

Какие проблемы возникли?

Выставление отметок за урок.  

VIII. Домашнее задание.

И. В. Ященко, С. А. Шестаков «Я сдам ОГЭ!», стр. 286, домашняя работа 112, дополнительно № 1, 2 (для II уровня учащихся)

Приложение 3.

II уровень:

1. Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM=4 и MB=8. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD.

2. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 40. Найдите стороны треугольника ABC.

• 1 слайд

  Произвольный треугольник
  (вычисление длин)
  
  
  
  2018 г.
  

• 2 слайд

  Признаки равенства треугольников. 
  
  Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
  Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
  Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
   
  Повторение теории
  

• 3 слайд

  Неравенство треугольника и следствия из него. 
  
  1. Сумма двух сторон треугольника больше его третьей стороны.
  2. Против большего угла треугольника лежит большая сторона.
  3. Против большей стороны треугольника лежит больший угол.
  4. Гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета.
  5. Если из одной точки проведены к прямой перпендикуляр м наклонные, то
  1)перпендикуляр короче наклонных
  2) большей наклонной соответствует большая проекция и наоборот.
  Повторение теории
  

• 4 слайд

  Признаки подобия треугольников. 
  
  1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
  2. Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
  3. Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого, то треугольники подобны.
  Повторение теории
  

• 5 слайд

  Средняя линия треугольника. 
  
  Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника.
  
   Теорема о средней линии треугольника. 
  
  Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и равна её половине.
  
  
  Повторение теории
  

• 6 слайд

  Теоремы о медианах треугольника
  
  1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.
   
  2. Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный
   
  3. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы
  Повторение теории
  

• 7 слайд

  Повторение теории
  Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. 
  Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около треугольника
   Теорема о высотах треугольника. 
  Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.
   Теорема о биссектрисах треугольника. 
  Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.
   Свойство биссектрисы треугольника. 
  Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам
  

• 8 слайд

  Метрические соотношения в треугольнике
  Теорема синусов
  C
  В
  А
  b
  с
  а
  Теорема косинусов
  Следствие из теоремы косинусов
  Следствие из теоремы синусов
  Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.
  

• 9 слайд

  Какие из следующих утверждений верны?
  1) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними
  2) У двух подобных треугольников соответствующие стороны равны
  3) Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, делит основание на две равные
  4) Каждая сторона треугольника меньше разности двух других сторон
  5) Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8
  Ответ: 1345.
  6) Любые два равнобедренных треугольника подобны.
  

• 10 слайд

  Ответ: 5.
  № 1. Прямая, параллельная стороне AC треугольника 
  ABC, пересекает стороны AB и BC в точках  M и N соответственно, AB=9, AC=18, MN=8. Найдите AM.
  
  

• 11 слайд

  Ответ: 63.
  № 2. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH . Известно, что AC = 84 и BC = BM. Найдите AH.
  
  
  

• 12 слайд

  Ответ: 12.
  № 3. В треугольнике ABC угол A равен 45°, угол B равен 60°, BC=4√6. Найдите AC
  
  
  

• 13 слайд

  Ответ: 14.
  № 4. Углы B и C треугольника ABC равны соответственно
  65° и 85°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 14.
  
  
  
  

• 14 слайд

  Ответ: 3.
  № 5. В треугольнике ABC известно, что АВ=5, ВС=7,
  cos∠ABC=13/14. Найдите АC.
  
  
  
  

• 15 слайд

  Ответ: 0,875.
  № 6. В треугольнике ABC известно, что AB=6, BC=8, 
  AC=4. Найдите cos∠ABC.
  
  
  
  

• 16 слайд

  Ответ: 24.
  № 7. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны. Найдите BC, если АВ=12.