Реферат "Методика математического моделирования на компьютере"

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. Е. ЕВСЕВЬЕВА»

Факультет физико-математический

Кафедра физики, информационных технологий и методик обучения

РЕФЕРАТ

МЕТОДИКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ НА КОМПЬЮТЕРЕ

Выполнила:

студентка группы МДФ-119

Бутылова Т. В.

Проверила:

кандидат физико-математических наук

Кормилицына Т. В.    

Саранск 2022

Содержание

Введение. 3

1. Понятие и разновидности моделей. 4

2. Математическая модель. 5

3. Компьютерная модель. 6

4. Этапы компьютерного математического моделирования. 7

5. Пример математического моделирования с помощью программы MS Excel 10

Заключение. 13

Введение

Математическое и компьютерное моделирование в самых различных областях науки и техники является одним из основных способов получения новых научных знаний и технологических решений.

В настоящее время складываются основы новой методологии научных исследований – математического моделирования и вычислительного эксперимента. Сущность этой методологии состоит в замене исходного объекта его математической моделью и исследовании современными вычислительными средствами математических моделей.

1. Понятие и разновидности моделей

Издавна человек использует модели. Это важно при изучении сложных процессов или систем, создании новых устройств или сооружений. Использование ее началось еще в глубокой древности. Особо бурное развитие моделирование получило в XX веке. Обычно модель более доступна для исследования, чем реальный объект.

Модель является некоторым материальным или идеальным (мысленно представляемым) объектом, заменяя объект-оригинал, сохраняя его характеристики, важные для конкретного случая.

Процесс построения модели называют моделированием. Все способы моделирования можно разделить на три большие группы:

1.    Вербальные (текстовые) модели;

2.    Математические модели;

3.    Информационные модели.

2. Математическая модель

Математическая модель – это приближенное описание объекта моделирования, выраженное с помощью математической символики.

Мнение о том, что математическое моделирование связанно только с моделированием на ЭВМ ошибочно. На самом деле его история уходит далеко в средние века. Создание ЭВМ дало большой толчок в развитии этой отрасли. Стало доступным моделирование более сложных процессов, с большим числом переменных и исходов, так же облегчив вычислительные операции. Сейчас же сложно представить моделирование без компьютерного анализа. Реализованная на компьютере математическая модель называется компьютерной математической моделью, а проведение целенаправленных расчетов с помощью компьютерной модели называется вычислительным экспериментом.

В современном мире математическое моделирование занимает одно из ведущих позиций практически во всех направлениях.

Целями математического моделирования могут быть разные вещи:

1.    Для понимания устройства, структур, свойств, взаимодействий объекта;

2.    Для управления объектом и оптимизации его;

3.    Для прогнозирования последствий взаимодействия с объектом и на него.

Приведем примеры вышеописанных задач. Примером для первой задачи может быть моделирование солнечной системы, изучение взаимодействий планет друг на друга и на Солнце. Для второго случая подойдет ситуация с запуском ракеты, когда мы определяем скорость и нужную точку отброса разгонной части. Третью задачу может отражать изучение влияния человека на выбросы углекислого газа и прочих фреонов в атмосферу и последующая ответная реакция природы.

3. Компьютерная модель

Предметом изучения информатики являются методы и технологии информационного моделирования с помощью компьютера – компьютерное моделирование.

Компьютерной моделью называют модель, построенную для исполнителя, ориентированного на вычислительное устройство. Это не особый вид модели, а способ изучения известных моделей с помощью компьютера.

Компьютерная математическая модель – это программа, реализующая расчеты состояния моделируемой системы по ее математической модели.

Математическое моделирование – это связь между объектами в виде математических соотношений. При этом информационные объекты представляются в виде математических объектов.

Пример. Модель равноускоренного движения:

 В основу классификации математических моделей можно положить различные принципы. Можно классифицировать модели по отраслям наук. Можно классифицировать по применяемому математическому аппарату. Если исходить из общих задач моделирования в разных науках безотносительно к математическому аппарату, наиболее естественна такая классификация:

1.    Дескриптивные (описательные) модели;

2.    Оптимизационные модели;

3.    Многокритериальные модели;

4.    Игровые модели.

4. Этапы компьютерного математического моделирования

Первый этап – определение целей моделирования. Эти цели могут быть различными:

1.    Модель нужна для того, чтобы понять, как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром (понимание);

2.    Модель нужна для того, чтобы научиться управлять объектом (или процессом) и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях (управление);

3.    Модель нужна для того, чтобы прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект (прогнозирование).

Второй этап: определение входных и выходных параметров модели; разделение входных параметров по степени важности влияния их изменений на выходные. Такой процесс называется ранжированием, или разделением по рангам.

Третий этап: построение математической модели. На этом этапе происходит переход от абстрактной формулировки модели к формулировке, имеющей конкретное математическое представление. Математическая модель – это уравнения, системы уравнений, системы неравенств, дифференциальные уравнения или системы таких уравнений и пр.

Четвертый этап: выбор метода исследования математической модели. Чаще всего здесь используются численные методы, которые хорошо поддаются программированию. Как правило, для решения одной и той же задачи подходит несколько методов, различающихся точностью, устойчивостью и т. д. От верного выбора метода часто зависит успех всего процесса моделирования.

Пятый этап: разработка алгоритма, составление и отладка программы для ЭВМ – трудно формализуемый процесс. Из языков программирования многие профессионалы для математического моделирования предпочитают FORTRAN: как в силу традиций, так и в силу непревзойденной эффективности компиляторов (для расчетных работ) и наличия написанных на нем огромных, тщательно отлаженных и оптимизированных библиотек стандартных программ математических методов. В ходу и такие языки, как PASCAL, BASIC, С, – в зависимости от характера задачи и склонностей программиста.

Шестой этап: тестирование программы. Работа программы проверяется на тестовой задаче с заранее известным ответом. Это – лишь начало процедуры тестирования, которую трудно описать формально исчерпывающим образом. Обычно тестирование заканчивается тогда, когда пользователь по своим профессиональным признакам сочтет программу верной.

Седьмой этап: собственно, вычислительный эксперимент, в процессе которого выясняется, соответствует ли модель реальному объекту (процессу). Модель достаточно адекватна реальному процессу, если некоторые характеристики процесса, полученные на ЭВМ, совпадают с экспериментально полученными характеристиками с заданной степенью точности. В случае несоответствия модели реальному процессу возвращаемся к одному из предыдущих этапов.

Компьютерная реализация моделей может быть осуществлена:

1.    С помощью табличного процессора (MS Excel);

2.    Путем создания программ на традиционных языках программирования, а также на их современных версиях;

3.    С помощью специальных пакетов прикладных программ для решения математических задач.

Основные этапы разработки и исследования моделей на компьютере

1.    Построение описательной информационной модели

2.    Формализация модели (формальный язык)

3.    Преобразование в компьютерную модель: запись алгоритма на языке программирования; использование одного из приложений (электронных таблиц).

1.    Проведение компьютерного эксперимента (запуск программы, сортировка или поиск данных, построение графиков и диаграмм).

2.    Анализ полученных результатов и корректировка исследуемой модели.

5. Пример математического моделирования с помощью программы MS Excel

Задача. Из трех продуктов 1,2,3 составляют смесь. В состав смеси должно входить не менее 6 единиц химического вещества А, 8 единиц – вещества В и не менее 12 единиц вещества С. Структура химических веществ приведена в следующей таблице:

Таблица 1

Составьте наиболее дешевую смесь.

Решение:

Добавим 2 столбца количество и сумма. В столбец Количество поставим свое значение. Сумму найдем, умножив количество на стоимость 1 единицы продукта.

Таблица 2

Для нахождения поиска решений введем ограничения.

Таблица 3

Введем строку Смесь и найдем состав.

Таблица 4

С помощью поиска решения найдем наиболее дешевую смесь.

Таблица 5

Рис. 1. Параметры поиска решения

Таблица с формулами

Заключение

Суть вычислительного эксперимента наиболее полно отражается в триаде модель – алгоритм – программа. Для исследуемого объекта строится математическая модель (набор моделей), которые исследуются численными методами на компьютере. Для предварительного исследования математических моделей используются традиционные методы прикладной математики. Данные расчетов анализируются, сопоставляются с данными экспериментальных исследований, проводится уточнение математической модели и т. д.

Методология вычислительного эксперимента сложилась при решении наиболее крупных научно-технических проблем, которые ставит перед нами жизнь. Активное внедрение идей математического моделирования, которое является интеллектуальным ядром информатизации общества, позволит поднять уровень научных исследований в естественнонаучных и гуманитарных областях.

Список использованных источников

1.    Информационные технологии и вычислительные системы: Высокопроизводительные вычислительные системы. Математическое моделирование. Методы обработки информации / Под ред. С. В. Емельянова. – М.: Ленанд, 2012. – 100 c.

2.    Труды ИСА РАН: Параллельные вычисления. Математическое моделирование. Интеллектуальные системы и технологии. Методы и модели в экономике. Информатика сообществ. Методологические проблемы системного анализа / Под ред. С. В. Емельянова. – М.: Красанд, 2013. – 144 c.

3.    Труды ИСА РАН: Математическое моделирование. Математические модели в экономике. Численные методы. Оценка эффективности инвестиционных проектов. / Под ред. С. В. Емельянова. – М.: Красанд, 2014. – 112 c.

4.    Информационные технологии и вычислительные системы: Математическое моделирование. Вычислительные системы. Нанотехнологии. Прикладные аспекты информатики / Под ред. С. В. Емельянова. – М.: Ленанд, 2012. – 108 c.

5.    Информационные технологии и вычислительные системы: Обработка информации и анализ данных. Программная инженерия. Математическое моделирование. Прикладные аспекты информатики / Под ред. С. В. Емельянова. – М.: Ленанд, 2015. – 104 c.