Решение простейших тригонометрических неравенств

• 1 слайд

  Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск
  Алгебра и начала анализа, 10 класс.
  Решение простейших тригонометрических неравенств.
  0
  

• 2 слайд

  Под простейшими тригонометрическими неравенствами понимают неравенства вида:
  ,где t – выражение с переменной, a.
  Под знаком “” следует понимать любой из четырёх знаков неравенств: <, >, , .
  

• 3 слайд

  Для решения тригонометрических неравенств необходимо уметь работать с тригонометрическим кругом:
  sint
  cost
  t
  x
  y
  0
  1
  0
  1
  sint - ордината точки поворота
  cost - абсцисса точки поворота
  (под «точкой поворота» следует понимать – «точку единичной тригонометрической окружности, полученной при повороте на t радиан от начала отсчета»)
  

• 4 слайд

  x
  y
  0
  1
  0
  1
  –1
  –1
  a  1
  a  –1
  Аналогично, неравенство sint<a , при a–1 также не имеет решений.
  Неравенство sint>a, при a 1 не имеет решений.
  На окружности не существует точек поворота, ординаты которых больше единицы.
  На окружности не существует точек поворота, ординаты которых меньше минус единицы.
  

• 5 слайд

  x
  y
  0
  1
  0
  1
  –1
  –1
  a  1
  a  –1
  Если знак неравенства нестрогий, то неравенство sint  a, при a 1 выполняется, при
  Аналогично, неравенство sinta , при a–1 будет верное, если
  
  

• 6 слайд

  x
  y
  0
  1
  0
  1
  t=arcsina
  t=–arcsina
  a
  –1
  –1
  2
  Если a(–1;1), то неравенство sinta выполняется либо на дуге (>, ),
  A
  D
  B
  C
  либо на дуге (<, ).
  Выбор скобок в записи ответа зависит от знака неравенства
  Дугу CBA можно записать в виде промежутка [(arcsina+2n; –arcsina+2n)], n,
  а дугу ADC – в виде промежутка [(–arcsina+2k; arcsina+2+2k)], k,
  

• 7 слайд

  Пример. Решите неравенство sin(2x–3)>–0,5.
  x
  y
  0
  1
  0
  1
  –1
  –1
  Решение. Выполняем рисунок:
  или
  Ответ:
  

• 8 слайд

  x
  y
  0
  1
  0
  1
  –1
  –1
  a  –1
  a  1
  Для неравенство cost>a, при a 1 и cost<a, при a –1 проведите рассуждения самостоятельно (под руководством учителя).
  tØ
  

• 9 слайд

  x
  y
  0
  1
  0
  1
  –1
  –1
  a  1
  a  –1
  Если знак неравенства нестрогий, то неравенство cost  a, при a 1 выполняется, при
  Аналогично, неравенство costa , при a–1 будет верное, если
  
  

• 10 слайд

  x
  y
  0
  1
  1
  –1
  –1
  2
  Если a(–1;1), то неравенство costa выполняется либо на дуге (>, ),
  A
  D
  B
  C
  либо на дуге (<, ).
  В первом случае
  Во втором,
  Выбор скобок в записи ответа зависит от знака неравенства
  0
  t=arccosa
  t=–arccosa
  a
  

• 11 слайд

  Пример. Решите неравенство .
  x
  y
  0
  1
  0
  1
  –1
  –1
  Решение. Выполняем рисунок:
  или
  Ответ:
  

• 12 слайд

  x
  y
  1
  0
  1
  –1
  0
  линия тангенсов
  a
  Так как E(tg)=, то неравенство tgta всегда имеет решение.
  –1
  Значению tgt=a соответствуют числа t (величины углов поворота в радианной мере), попадающие в две точки тригонометрического круга.
  t=arctga+π
  t=arctga
  Для неравенств tgt>a или tgta получаем две дуги.
  Обе они могут быть записаны в виде промежутка:
  Для неравенств tgt<a или tgta получаем две дуги.
  0
  Обе они могут быть записаны в виде промежутка:
  Выбор скобок в записи ответа зависит от знака неравенства
  

• 13 слайд

  t=arcctga+π
  x
  y
  1
  0
  1
  –1
  0
  линия котангенсов
  a
  –1
  Проследите за ходом решения и выведите общие формулы для неравенств:
  Так как E(tg)=, то неравенство сtgta всегда имеет решение.
  0
  ctgt>a
  ctgta
  ctgt<a
  ctgta
  t=arcctga
  

• 14 слайд

  Пример. Решите неравенство
  x
  y
  1
  0
  1
  –1
  0
  линия тангенсов
  –1
  0
  Решение. Применив к левой части неравенства формулу тангенса разности, получим равносильное неравенство:
  
  Выполняем рисунок.
  Получаем:
  Ответ: