Решение задач координатным методом

  КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Основная задача механики – определить положение тела в любой момент времени. Для определения положения тела в пространстве в тот или иной момент времени выбирается тело отсчета, которое может быть неподвижным относительно Земли или двигаться. С телом отсчета связывают какую-либо систему координат и часы, как систему времени. Система координат и часы образуют систему отсчета. Координаты положения тела определяются с помощью уравнений движения, которые в общем виде записываются так:

 или в проекциях

x=x_{0 + V0 t +}

y = y_{0 +}

z = z_{0 +}V_ot +

Решение задач с помощью уравнений движения особенно эффективно при использовании компьютера, так как достаточно в уравнение подставить соответствующие величины, компьютер же по заданной программе решит заданное уравнение или систему уравнений.

В общем случае в уравнение входят векторные величины и, следовательно, проекции их на оси координат могут быть как положительными так и отрицательными.

Пример :

Из точки А с высоты 45 м свободно падает тело. Одновременно из точки В, расположенной на 21 м ниже точки А, вертикально вверх бросается второе тело. Определить скорость бросания второго тела, если на землю они падают одновременно.

 

 Из условия падения первого тела находится время падения

                        t =

C

Vo

Второе тело   t₁ = V_o/g    движется вверх, поднимаясь на высоту  ВС =    и  падает затем с высоты  ОС = Н – h + ВС, для получения ответа нужно решить довольно сложное уравнение:

 =  .

2.С использованием  уравнения   движения  решение задачи будет таким: пусть ось Х направлена вверх и начало координат на земле. Тогда уравнения движения тел будут

                                              Х_А = Н -  

                                              X_B = H – h  + V_o t - .

Так как через  t  секунд оба тела оказались на земле, т.е. в точке  О, координата которой равна нулю, получим два уравнения :

                                             0 = Н -  

                                              0 = H – h + V_o t - .

Из первого находим  t, сравнивая первое и второе уравнения, получаем

                            h = V_o t ,

где только одно неизвестное.

3.Если воспользоваться принципом независимости движения, можно получить ответ сложением векторов :

Перемещение первого тела  А определяется вектором  Н = g t²/2.

Перемещение второго тела – В определяется геометрической суммой векторов  V_o t  направленного вверх  и вектора  g t²/2 , направленного вниз, т.е. gt² /2 - V_ot = H – h . Подставляя вместо  Н ↔  gt² / 2 , получаем   h = V_o t .

4. Более интересным является решение задачи в системе  отсчета, связанной с телом А. Относительно тела А тело В движется равномерно со скоростью  V_о  и проходит расстояние  h  за время, равное времени, за которое земля, движущаяся с ускорением  g без начальной скорости, проходит  Н, т.е.45 м, следовательно       t = = 3 с   и         V_о= 21 м / 3 с = 7 м/с.

    При расчетах движения тел в плоскости иногда удобно оси координат выбрать так, чтобы и ускорение свободного падения имело проекции на обе оси.

Пример: Определить дальность полета тела, брошенного горизонтально со скоростью v на склоне горы, уклон которой α.

 Если оси координат выбрать традиционно ось Х горизонтально и ось Y вертикально, то уравнения движения

                                                                                                                                                                                     у = CA – g t² / 2  , х  =  vt

В

С

A         V                        Через t с тело упало в точку В, т.е. у = 0. Тогда

                                t =, но АС =  ,а                АВ =   и АВ=, откуда  и                                                                                 

			Если ось х направить по склону горы, а ось у перпендикулярно ей, то уравнения будут  x = v × Cos α +            Y = v × Sin α -

 

При падении тела на склон у = 0. Определим из этого t = и подставив в первое уравнение, находим  х =  

По горизонтали перемещение определится вектором АВ=Vt, за это же время падение по вертикали определится вектором ВС=. В результате тело окажется в точке С. Все величины образуют прямоугольный треугольник

В

Используя принцип независимости движения эту задачу можно решить так:

			С

 

  , откуда  и   AC =  =

 Задачи для самостоятельного решения

1.     Тело свободно падает с высоты h. В тот же момент другое тело брошено с высоты H (H>h) вертикально вниз. Оба тела на землю упали одновременно. Определить начальную скорость бросания второго тела.

2.     Из лифта, опускающегося равномерно в некоторый момент выпал кирпич. Сколько времени кирпич падал на землю, если в момент его падения, лифт находился на высоте h=20м?

3.     Из вертолета, равномерно поднимающегося вверх со скоростью 4 м/с, на высоте 200 м вертикально вверх со скоростью 10 м/с брошено тело. Через сколько времени и на какой высоте от земли встретятся вертолет и брошенное тело? Какую скорость будет иметь тело относительно земли и вертолета?

4.     С высоты h на наклонную плоскость с углом наклона α падает упругий мяч. На каком расстоянии от места первого падения мяч упадет на плоскость второй, третий и т.д. раз

5.     С какой скоростью должен вылететь снаряд , чтобы поразить ракету, стартующую вертикально вверх с ускорением а. Выстрел производится под углом α, расстояние от пушки до места старта ракеты L.

Краткое описание документа:

Уравнения движения тел в курсе физики средней школы записываются уже на первых уроках кинематики, но, как показывает опыт, редко используются при решении задач. Использование уравнений движения, принципа независимости движений, движущихся систем отсчета способствует развитию воображения. Использование уравнений особенно эффектно при использовании ЭВМ