Решение задач на концентрацию.

МОУ    Школа с.Белоярск

Решение задач на концентрации.

Учитель математики

Бахрина Татьяна Ильинична

Решение задач на концентрации.

В школьном курсе математики мало внимания уделяется задачам на смеси, сплавы, концентрации растворов. Эти задачи включены в варианты ЕГЭ по предмету и вызывают большие затруднения у выпускников.

Приведем старинный способ решения задач на смешивание веществ из арифметики Магницкого.

Задача 1. Как смешать масла?

У некоторого человека были продажные масла: одно ценою 10 гривен за ведро, другое же 6 гривен за ведро. Захотелось ему сделать из этих двух масел, смешав их, масло ценою 7 гривен за ведро. Какие части этих двух масел нужно взять, чтобы получить ведро масла стоимостью 7 гривен?

Друг под другом пишутся стоимости имеющихся масел, слева от них и примерно посередине – стоимость масла, которое должно получиться после смешивания. Соединив написанные чиста черточками получим такую картину:

                 6

      7

 10

Меньшую цену вычтем из цены смешанного масла, и результат поставим справа от большей цены. Затем из большей цены вычтем цену смешанного масла, а то, что останется, напишем справа от меньшей цены. Получится такая картина:

                 6                3

      7

10           

Из нее делается заключение, что дешевого масла нужно взять втрое больше, чем дорогого, т.е. для получения одного ведра масла ценою 7 гривен нужно взять дорогого масла 1/4 ведра, а дешевого 3/4 ведра.

Предложенный способ позволяет легче запомнить последовательность действий при решении задач на смешивание и добиться автоматизма при выполнении самих действий..

Вот одна из современных задач на смешивание.

Задача 2. Имеется два раствора 68% и 78% серной кислоты. Сколько надо взять каждого раствора серной кислоты, чтобы получить 100 граммов 70% раствора серной кислоты?

Решение. По изложенному выше способу имеем:

                68               8

70

78          

Таким образом, надо взять 80 граммов 68% и 20 граммов 78% растворов серной кислоты.

Старинный способ решения задач на смешивание двух веществ всегда позволяет получить правильный ответ.

В самом деле, предположим, что смешиваются два вещества – первое стоимостью a гривен за фунт и второе b гривен за фунт. Желательно же получить вещество стоимостью с гривен за фунт. Будем считать, что а меньше b. Ясно, что если с больше b или с меньше а, то задача не разрешима (смешивая дешевые вещества дорогое не получишь). Поэтому можно считать, что с больше a, но меньше b. Смешаем 1 фунт первого вещества и g фунтов второго. В результате получится 1+g фунтов вещества стоимостью a+bg гривен. Один фунт смеси должен стоить с гривен. Значит, должно выполняться равенство  a+bg=c(1+g). Отсюда находим g=(c-a):(b-c).

Вещества нужно мешать в отношении  или (b-c):(c-a). Но именно это отношение и дает старинный способ:

                a                b-c

      c

 b                c-a

Рассмотрим решение задач из сборника М.Л. Галицкого по алгебре для 8-9 классов с углубленным изучением математики.

Задача 3.(10.26) Смешали 10% и 25% растворы соли и получили 3 кг 20% раствора. Какое количество каждого раствора в килограммах было использовано?

Решение:

                            10%                  5              частей

20% (3 кг)

  25%                    частей

 – 10%-ого раствора.

 – 25%-ого раствора.

Ответ: 1 кг; 2 кг.

Задача 4. (10.27) Имеются два сплава золота и серебра. В одном сплаве количество этих металлов находится в отношении 2:3, а в другом – в отношении 3:7. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 8кг нового сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 5:11?

Используем для решения этой задачи старинный метод из арифметики Магницкого.

В первом сплаве золота 2 части из 5-ти,  = 0,4 = 40%.

Во втором сплаве золота 3 части из 10-ти,  = 0,3 = 30%.

В третьем сплаве золота 5 частей из 16-ти,  = 0,3125 = 31,25%.

                            30%                  8,75        = 0,875

   31,25%

   40%                  = 0,125

8∙0,875 = 7кг – сплава, в котором золото и серебро находятся в отношении 3:7

8∙0,125 = 1кг – сплава, в котором золото и серебро находятся в отношении 2:3

Ответ: 1 кг; 7 кг.

Задача 5 (из текста ЕГЭ). Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%?

Решение:    (пресная вода)

  0%                  3,5         = 0,7

        1,5%

                          5% (30кг)           = 0,3

0,3 – 30 кг

0,7 – х кг

 = 70 кг – пресной воды.

Ответ: 70 кг.

Изложенный в статье метод Магницкого позволяет сократить время для решения задач данного типа, решать трудные задачи всем учащимся, которые знают действие с обыкновенными дробями.

Задачи на концентрации из текстов ЕГЭ.

1.     Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля в 5% и 40%. Сколько нужно взять каждого из этих сортов, чтобы получить 140т стали с содержанием никеля 30%?

2.     Сколько чистого спирта нужно добавить к 735г 16%-ого раствора йода в спирте, чтобы получился 10%-ный раствор?

3.     Имеется два сплава, в одном из которых содержится 20%, а в другом 30% олова. Сколько нужно взять первого и второго сплава, чтобы после их сплавления вместе получилось 10кг нового сплава, содержащего 27% олова?

4.     Имеется два сплава, в одном из которых содержится 30%, а в другом 50% золота. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 10 кг первого, чтобы после сплавления получить сплав, содержащий 42% золота?

5.     Сплав золота и серебра содержит 20% золота. Какую массу сплава и массу чистого золота нужно взять для получения 80 кг нового сплава, содержащего 50% золота?

6.     Кусок железа с медью массой 30 кг содержит 45% железа. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный сплав содержал 30% железа?

7.     Имеется два сплава золото и серебро. В одном сплаве количество этих металлов находится в отношении 1:2, в другом 2:3. Сколько граммов нужно взять каждого сплава, чтобы получить 19г сплава, в котором золото и серебро в отношении 7:12.

8.     Некоторый сплав состоят из двух металлов, входящих в отношении 1:2, а другой содержит те же металлы в отношении 2:3. Сколько частей каждого сплава нужно взять, чтобы получить третий сплав, содержащий те же металлы в отношении 17:27?

9.     Сколько граммов нужно взять 20%-ого и 32,1%-ого растворов соляной кислоты, чтобы приготовить 242г 26,7%-ого раствора?

Ответы:     1. 40; 100.  2. 411.        3. 3; 7.

                    4. 15.          5. 50; 30.    6. 15.

                    7. 9; 10.      8.  .    9. 108г; 134г.

Краткое описание документа:

Решение задач на концентрации. В школьном курсе математики мало внимания уделяется задачам на смеси, сплавы, концентрации растворов. Эти задачи включены в варианты ЕГЭ по предмету и вызывают большие затруднения у выпускников. Нужно научить учащихся использовать наличный запас знаний, применяя различные «хитрости» и «правдоподобные рассуждения» для получения ответа наиболее простым и понятным способом.