Шпенькова Н.М. Лабораторные работы по теме "Моделирование" МАОУ "СОШ №7" г.Гай

Лабораторная работа № 1

Модель неограниченного роста

Цель работы: Используя компьютерную модель неограниченного роста исследовать прирост массы живых организмов с течением времени.

Предположения:

Ø   прирост массы живых организмов за единицу времени пропорционален уже их имеющейся массе;

Ø   регулятором прироста выступает окружающая среда;

Ø   коэффициент размножения постоянен

Параметры модели:

Ø   начальная масса живых организмов М(0) = 1 т;

Ø   коэффициент размножения k:

Природная зона	Тундра	Тайга	Степь	Пустыня
Коэффициент k	0,6	1,8	1,2	0,8

Ø   время n.

Связь между параметрами модели задается соотношением:

М(n+1) = (1 + k) М(n)

Задача:

1)      Определить, через сколько лет масса растений в различных природных зонах превысит 100 т;

2)      Определить, через сколько лет масса растений в различных природных зонах превысит 1000 т, 10000 т (т.е. произойдет ее "удесятерение") ;

3)      Построить график зависимости массы растений от числа прошедших лет (для каждой природной зоны);

4)      Определить, через сколько лет масса растений в различных природных зонах превысит

массу Земли (5 976 000 000 000 000 000 000 т).

Ход работы:

	А	В	C	D	E	F
1	Природная зона	Год	Тундра	Тайга	Степь	Пустыня
2	Коэффициент размножения k		0,6	1,8	1,2	0,8
3	Начальная масса М(0)	0	1	1	1	1
4	Масса через 1 год	В3+1	C3*(1+C2)	D3*(1+D2)
5	Масса через 2 года	В4+1	C4*(1+C2)	D4*(1+D2)
6

1.        Загрузите электронную таблицу Excel и занесите в таблицу 2 исходные данные (они выделены цветом) и формулы.

2.       Измените формулы в блоке ячеек C4:D5 с учетом того, что номер строки в адресах некоторых ячеек должен быть абсолютным (неизменным при копировании в последующие строки).

3.       Занесите формулы в ячейки Е4 и F4.

Подготовленную таблицу в режиме отображения формул приложите к отчету.

4.       Последовательно скопируйте блок ячеек В4:F4 в последующие строки. Копирование прекратить, как только во всех четырех столбцах C, D, E и F возникнут числа, большие 100.

Для каждой природной зоны определите, через сколько лет масса растений превысит 100 т. Результаты запишите в отчет.

5.       С помощью электронной таблицы вычислить, через сколько лет масса растений в различных природных зонах превысит 1000 т и 10000 т.

Результаты запишите в отчет. Для каждой природной зоны сделайте вывод о времени, необходимом для увеличения массы растений в 10 раз.

6.       С помощью электронной таблицы вычислить, через сколько лет масса растений в различных природных зонах превысит массу Земли, равную 5 976 000 000 000 000 000 000 т.

Результаты запишите в отчет. Для каждой природной зоны сделайте вывод о времени, когда масса растений превысит массу Земли.

7.       С помощью электронной таблицы для каждой природной зоны построить график зависимости массы растений от числа прошедших лет.

Таблицу в режиме отображения значений и графики приложите к отчету.

Лабораторная работа № 2

Модель ограниченного роста

Цель работы: Используя компьютерную модель ограниченного роста исследовать прирост массы живых организмов с течением времени.

Предположения:

Ø  прирост массы живых организмов за единицу времени пропорционален уже их имеющейся массе;

Ø  существует некоторое предельное значение массы живых организмов;

Ø  коэффициент прироста массы живых организмов за единицу времени пропорционален разности между максимально возможным значением массы и массой, имеющейся к данному моменту времени.

Параметры модели:

Ø    начальная масса живых организмов М(0) = 1 т;

Ø    предельное значение массы живых организмов L = 11000 т.

Ø    коэффициент пропорциональности a в формуле для коэффициента прироста;

Ø    время n.

Связь между параметрами модели задается соотношением:

М(n+1) = М(n) + а М(n) (L - М(n))

k(n) = a (L - M(n))

а = k(n) / (L - M(n)),  т.е. при n=0 Þ  а = k(0) / (L - M(0))

Природная зона	Тундра	Тайга	Степь	Пустыня
Коэффициент k	0,6	1,8	1,2	0,8

Задача:

1)      Определить, через сколько лет масса растений в различных природных зонах превысит 100 т;

2)      Определить, через сколько лет масса растений в различных природных зонах превысит 1000 т; 10 000 т (т.е. произойдет ее "удесятерение")

3)      Построить график зависимости массы растений от числа прошедших лет (для каждой природной зоны);

Ход работы:

1.       Загрузите электронную таблицу Excel и занесите в таблицу  исходные данные (они выделены цветом) и формулы:

	А	В	C	D	E	F
1	Природная зона	Год	Тундра	Тайга	Степь	Пустыня
2	Коэффициент размножения k		0,6	1,8	1,2	0,8
3	Предельное значение массы L		11000	11000	11000	11000
4	Коэффициент a
5	Начальная масса М(0)	0	1	1	1	1
6	Масса через 1 год	B5+1	C5+C4*C5*(C3-C5)	D5+D4*D5*(D3-D5)
	Масса через 2 года	B6+1

2.       Измените формулы в блоке ячеек C4:D5 с учетом того, что номер строки в адресах некоторых ячеек должен быть абсолютным (неизменным при копировании в последующие строки).

Подготовленную таблицу в режиме отображения формул приложите к отчету.

3.       Последовательно скопируйте блок ячеек В4:F4 в последующие строки. Копирование прекратить, как только во всех четырех столбцах C, D, E и F возникнут числа, большие 100.

Результаты занесите в отчет. Сравните с результатами предыдущей практической работы и сделайте выводы.

4.       С помощью электронной таблицы вычислить, через сколько лет масса растений в различных природных зонах превысит 1000 т и 10000.

Результаты занесите в отчет. Сравните с результатами предыдущей практической работы и сделайте выводы.

5.       С помощью электронной таблицы для каждой природной зоны построить график зависимости массы растений от числа прошедших лет.

Таблицу в режиме отображения значений и графики приложите к отчету.

Лабораторная работа № 3

Границы адекватности модели неограниченного роста

Цель работы: Найти границы адекватности модели неограниченного роста.

Предположения и параметры моделей:

Всякая модель имеет ограниченную область адекватности, и за пределами этой области она перестает удовлетворительно отражать свойства моделируемого объекта. Модель неограниченного роста остается адекватной, пока масса живых организмов достаточно мала по сравнению с предельно допустимой массой этих организмов в данных природных условиях.

Параметры модели неограниченного роста: начальная масса М(0), коэффициент прироста k, предельное значение массы L, число лет n, масса живых организмов через n лет М(n); связь между параметрами модели определяется формулой:

М(n+1) = (1 + k) М(n)

Параметры модели ограниченного роста: начальная масса М_о(0), коэффициент прироста k, число лет n, масса живых организмов через n лет М_о(n); связь между параметрами модели определяется формулой:

М_о(n+1) = (1+ k (L – М_о(n))/(L - M(0)) ) М_о(n)

Поскольку М_о(0)= М(0), то нетрудно подсчитать, что М_о(1)= М(1), но вот уже М_о(2)< М(2). И чем дальше, тем больше будет различие между значениями М_о и М. Будем считать модель неограниченного роста адекватной, если разница М – М_о составляет не более 10% от М_о.

Экспериментально установлено, что предельное значение массы L образует геометрическую прогрессию относительно границы адекватности n, т.е. L= b×2^n-1, где  b – некоторый коэффициент.

Т.к. 2=1+k, то L= b×(1+k) ^n-1. Отсюда  b = L /×(1+k) ^n-1

Компьютерные эксперименты показали, что моделью неограниченного роста можно пользоваться с уровнем погрешности в 10% при выполнении условия L ³ 8×(1+k) ^n-1. Выражение для n полученное при решении показательного неравенства, показывает, как долго можно пользоваться моделью неограниченного роста при заданных  (предельного уровня массы живых организмов) и (коэффициента ежегодного прироста):

n £ 1+lg(0,125L)/lg(1+k)

Задание: При начальной массе М(0)=1:

1)      Найти границу адекватности n при k=1,8 и L=11000.

2)      Исследовать, как граница адекватности n зависит от величины k (L=11000; k=1,8; 1,2; 1)

3)      Исследовать, как граница адекватности n зависит от величины L (k=1; L= 5500; 11000; 22000; 44000)

4)      Исследовать, как коэффициент b зависит от k (L=5000; k=1; 1,2; 1,5; 2)

Ход работы:

1.       Загрузите электронную таблицу Excel и занесите в таблицу  исходные данные и формулы (при занесении формулы в ячейку Е2 используйте функцию).

	A	B	C	D	E
1	k		L		b
2	Год (n)	Неограниченный рост	Ограниченный рост	Отклонение, в %	D1/СТЕПЕНЬ((1+В1);А3-1)
3	0	1	1	0
4	А3+1	(1+В1)*В3	(1+В1*(D1-C3)/(D1-C3))*C3	(B4-C4)/C4*100
5	А4+1	(1+В1)*В4	(1+В1*(D1-C4)/(D1-C3))*C4	(B5-C5)/C5*100

2.       Измените формулы в блоке ячеек В4:С5 с учетом того, что номер строки в адресах некоторых ячеек должен быть абсолютным (неизменным при копировании в последующие строки).

Подготовленную таблицу в режиме отображения формул приложите к отчету.

3.       Занесите в ячейку В1 значение коэффициента прироста k=1,8, в ячейку D1 – значение предельной массы живых организмов L=11000.

4.       Последовательно копируя блок ячеек А4:D4 в последующие строки найдите, в какой год отклонение превзойдет границу 10%. Результаты занесите в отчет.

5.       Найдите границу адекватности n при L=11000 и различных k, равных: 1,8; 1,2 и 1.

Результаты занесите в отчет. Сделайте выводы об изменении границы адекватности n с уменьшением k.

6.       Найдите границу адекватности n при k=1 и различных L, равных: 5500; 11000; 22000 и 44000.

Результаты занесите в отчет. Сделайте вывод о виде зависимости значения предельной массы живых организмов L относительно границы адекватности n..

7.       Найдите коэффициент b при L=5000 и различных k, равных: 1; 1,2; 1,5; 2. В ячейке Е2 вместо А3 вставляйте значение года n (или соответствующий номер ячейки), когда отклонение превзойдет границу 10%.  Убедитесь, что во всех случаях b приблизительно одинаково.

Результаты занесите в отчет. Сделайте выводы о том, зависит ли коэффициент b от коэффициента прироста k .

Лабораторная работа № 4

Метод половинного деления

Цель работы: Найти значение корня уравнения методом половинного деления.

Задача: Найти значение корня уравнения:

     Вариант №1.             x⁵ - 4x² + x -2 = 0,  с точностью d=0,001

     Вариант №2.             x³ - 3x + 3 = 0,  с точностью d=0,0005

     Вариант №3.             2^х = 3х,  с точностью d=0,002

     Вариант №4.             cos(x) = х,  с точностью d=0,005

Ход работы:

1.      Загрузите электронную таблицу Excel и занесите в таблицу исходные данные в выделенные цветом ячейки (в ячейке D1 укажите исследуемую функцию) и необходимые формулы (в вычисляемые ячейки C2, D2, E2).

	A	B	C	D	Е	F
1	a	b	(a+b)/2	f(x)=	b-a	d
2

Подготовленную таблицу в режиме отображения формул приложите к отчету.

2.      Определите отрезок [ a; b ] длиной 1, значения на концах которого, образуют "вилку" для корня уравнения.

Результат занесите в отчет. Укажите значение функции на концах отрезка.

3.      Вставьте найденные значения a и b в ячейки A2 и B2 соответственно.  

4.      Методом половинного деления найдите значение корня уравнения с заданной точностью d.

Результаты занесите в отчет. Сделайте выводы.