Системы счисления: двоичная, восьмеричная, десятичная, шестнадцатеричная

«Системы счисления: двоичная, восьмеричная, десятичная, шестнадцатеричная».

Автор: Гребенников Александр Николаевич
Должность: учитель информатики

Учебное заведение: ГБОУ школа – интернат № 67
Населённый пункт: Пушкинский район Санкт–Петербурга
Наименование материала: статья
Тема: «Системы счисления: двоичная, восьмеричная, десятичная, шестнадцатеричная».

Системы счисления: двоичная, восьмеричная, десятичная, шестнадцатеричная.

Система счисления – это способ записи чисел. Обычно, числа записываются с помощью специальных знаков – цифр (хотя и не всегда). Если вы никогда не изучали данный вопрос, то, по крайней мере, вам должны быть известны две системы счисления – это арабская и римская. Следует отметить, важную роль нуля. «Открытие» этой цифры в истории человечества сыграло большую роль в формировании позиционных систем счисления.

Каждая позиционная система использует определенный алфавит цифр и основание. В позиционных системах счисления основание системы равно количеству цифр (знаков в ее алфавите) и определяет, во сколько раз различаются значения цифр соседних разрядов числа.

 В первой используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (10 цифр) - это позиционная система счисления. А во второй – I, V, X, L, C, D, M (1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000) - это непозиционная система счисления.

В позиционных системах счисления количество, обозначаемое цифрой в числе, зависит от ее позиции, а в непозиционных – нет.

Например:

11 – здесь первая единица обозначает 10, а вторая – 1.
I I – здесь обе единицы обозначают единицу.

Основание системы счисления – это количество знаков, которое используется для записи цифр.

Разряд - это позиция цифры в числе. Разрядность числа - количество цифр, из которых состоит число (например, 362 - трехразрядное число, 1001101 - восьмиразрядное число). Разряды нумеруются справа на лево (например, в числе 793 семёрка занимает первый разряд, а тройка - третий).

Итак, в позиционной системе счисления числа записываются таким образом, что каждый следующий (движение справа на лево) разряд больше другого на степень основания системы счисления.

456, 567, 678 – здесь цифра 6 в первом случае обозначает 6, во втором – 60, а в третьем – 600.

XXV, XVI, XII – здесь, где бы ни стояла цифра X, она везде обозначает десять единиц. Другими словами, величина, обозначаемая знаком X, не зависит от его позиции.

В мире наиболее распространены позиционные системы счисления. Помимо знакомой всем с детства десятичной (где используется 10 цифр от 0 до 9), в технике широкое распространение нашли такие системы счисление как двоичная (используются цифры 0 и 1), восьмеричная (используются 8 цифр от 0 до 7),  шестнадцатеричная (используются 16 цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F).

Сложение, умножение и другие математические операции в позиционных системах счисления выполнить легче, чем в непозиционных, т.к. математические операции осуществляются по несложным алгоритмам (например, умножение в столбик, сравнение двух чисел). 

Одно и тоже число (значение) можно представить в различных системах счисления. Представление числа при этом различно, а значение остается неизменным.

Системы счисления
Десятичная	Двоичная	Восьмеричная	Шестнадцатеричная
0	0000	0	0
1	0001	1	1
2	0010	2	2
3	0011	3	3
4	0100	4	4
5	0101	5	5
6	0110	6	6
7	0111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

Двоичная система счисления.

Почему двоичная система счисления так распространена?

Двоичной системой счисления люди начали пользоваться очень давно. Древние племена Австралии и островов Полинезии использовали эту систему в быту. Так, полинезийцы передавали необходимую  информацию, выполняя два вида ударов по барабану: звонкий и глухой. Это было примитивное представление двоичной системы счисления.

Дело в том, что двоичная система счисления – это язык вычислительной техники. Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе. Если это десятичная система, то придется создать такое устройство, которое может быть в десяти состояниях. Это сложно. Проще изготовить физический элемент, который может быть лишь в двух состояниях (например, есть ток или нет тока). Это одна из основных причин, почему двоичной системе счисления уделяется столько внимания. Поэтому для кодирования информации в компьютере вместо привычной десятичной системы счисления используется двоичная система счисления.

В двоичной системе счисления используются всего две цифры 0 и 1. Другими словами, двойка является основанием двоичной системы счисления. (Аналогично у десятичной системы основание 10.)

Чтобы научиться понимать числа в двоичной системе счисления, сначала рассмотрим, как формируются числа в привычной для нас десятичной системе счисления.

В десятичной системе счисления мы располагаем десятью знаками-цифрами (от 0 до 9). Когда счет достигает 9, то вводится новый разряд (десятки), а единицы обнуляются и счет начинается снова. После 19 разряд десятков увеличивается на 1, а единицы снова обнуляются. И так далее. Когда десятки доходят до 9, то потом появляется третий разряд – сотни. 

Двоичная система счисления аналогична десятичной за исключением того, что в формировании числа участвуют всего лишь две знака-цифры: 0 и 1. Как только разряд достигает своего предела (т.е. единицы), появляется новый разряд, а старый обнуляется.

Для обозначения системы счисления, в которой представляется число, используют нижний индекс, указывающий основание системы. Например, 11011 ₂   —  число в двоичной системе счисления.

Цифры в двоичном числе являются коэффициентами его представления в виде суммы степеней с основанием ₂, например:

  2   1   0

101 ₂ =1⋅2 ² +0⋅2 ¹ +1⋅2 ⁰ .

 В десятичной системе счисления это число будет выглядеть так:

  2   1   0 

110 ₂ =4+0+1=5 .

 Для перевода целого десятичного числа в двоичную систему счисления нужно последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 2  до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в двоичной системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.

Пример:

Переведём десятичное число 15 в двоичную систему счисления. Рассмотренную выше последовательность действий (алгоритм перевода) можно изобразить так:

15	2
-14	7	2
1	-6	3	2
	1	-2	1
		1

Получили 15 ₁₀ =1111 ₂.

Попробуем считать в двоичной системе:
 0 – это ноль
 1 – это один (и это предел разряда)
 10 – это два
 11 – это три (и это снова предел)
 100 – это четыре
 101 – пять
 110 – шесть
 111 – семь и т.д.
Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную.

Не трудно заметить, что в двоичной системе счисления длины чисел с увеличением значения растут быстрыми темпами. Как определить, что значит вот это: 10001001? Непривычный к такой форме записи чисел человеческий мозг обычно не может понять сколько это. Неплохо бы уметь переводить двоичные числа в десятичные. 

В десятичной системе счисления любое число можно представить в форме суммы единиц, десяток, сотен и т.д. Например:

1567 = 1000 + 500 + 60 + 7

Можно пойти еще дальше и разложить так:

  3   2   1   0

1567 ₁₀= 1 * 10³ + 5 * 10² + 6 * 10¹ + 7 * 10⁰

Посмотрите на эту запись внимательно. Здесь цифры 1, 5, 6 и 7 - это набор цифр из которых состоит число 1567. Все эти цифры поочередно умножаются на десять возведенную в ту или иную степень. Десять – это основание десятичной системы счисления. Степень, в которую возводится десятка – это разряд цифры за минусом единицы.

Аналогично можно разложить и любое двоичное число. Только основание здесь будет 2:

 6   5   4   3   2   1   0

1000101₂ = 1*2⁶ + 0*2⁵ + 0*2⁴ + 0*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰

Если посчитать сумму составляющих, то в итоге мы получим десятичное число, соответствующее 10001001:

1*2⁶ + 0*2⁵ + 0*2⁴ + 0*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 64 + 0 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1 = 69₁₀

Т.е. число 10001001 по основанию 2 равно числу 69 по основанию 10. Записать это можно так:

1000101₂ = 69₁₀

Восьмеричная система счисления

Итак, современное «железо понимает» лишь двоичную систему счисления. Однако человеку трудно воспринимать длинные записи нулей и единиц с одной стороны, а с другой – переводит числа из двоичной в десятичную систему и обратно, достаточно долго и трудоемко. В результате, часто программисты используют другие системы счисления: восьмеричную и шестнадцатеричную. И 8 и 16 являются степенями двойки, и преобразовывать двоичное число в них (так же как и выполнять обратную операцию) очень легко.

В восьмеричной системе счисления используется восемь знаков-цифр (от 0 до 7). Каждой цифре соответствуют набор из трех цифр в двоичной системе счисления:

 000 – 0
 001 – 1
 010 – 2
 011 – 3
 100 – 4
 101 – 5
 110 – 6
 111 – 7

Для преобразования двоичного числа в восьмеричное достаточно разбить его на тройки (триады) и заменить их соответствующими им цифрами из восьмеричной системы счисления. Разбивать на тройки нужно начинать с конца, а недостающие цифры в начале заменить нулями. Например:

2²2¹2⁰

 4   2  1                                                4 2 1  4 2 1   4 2 1     (Складываем цифры над единицами)

1110101₂ = 1 011 101 = 001 110 101 = 1 6 5 = 165₈

Т.е число 1011101 в двоичной системе счисления равно числу 165 в восьмеричной системе счисления. Или 1110101₂ = 165₈.

Обратный перевод. Допустим, требуется перевести число 103₈ (не заблуждайтесь! 100 в восьмеричной системе – это не 103 в десятичной) в двоичную систему счисления.

2²2¹2⁰

 4   2  1                        4 2 1   4 2 1   4 2 1      (1=421, 0=421, 3=42+1  зелёные – 0, красные – 1)

103₈ = 1 0 3 = 001 000 011 = 001000011 = 1000011₂ 

Перевод восьмеричного числа в десятичное можно осуществить по уже знакомой схеме:

  2    1    0

672₈ = 6 * 8² + 7 * 8¹ + 2 * 8⁰ = 6 * 64 + 56 + 2 = 384 + 56 + 2 = 442₁₀
      2    1    0

100₈ = 1 * 8² + 0 * 8¹ + 0 * 8⁰ = 64₁₀

Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления, так же как и восьмеричная, широко используется в компьютерной науке из-за легкости перевода в нее двоичных чисел. При шестнадцатеричной записи числа получаются более компактными.

В шестнадцатеричной системе счисления используются цифры от 0 до 9 и шесть первых латинских букв – A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15). 

При переводе двоичного числа в шестнадцатеричное, первое разбивается на группы по четыре разряда (тетрады), начиная с конца. В случае, если количество разрядов не делится нацело, то первая четверка дописывается нулями впереди. Каждой четверке соответствует цифра шестнадцатеричной системе счисления:

Например:

2³2²2¹2⁰                  

 8  4   2   1                           8 4 2 1  8 4 2 1    8 4 2 1      (Складываем цифры над единицами)

 _11011010101 = 0110 1101  0101 = 6 13 5 = 6D5

Если потребуется, то число 6D5 можно перевести в десятичную систему счисления следующим образом (D следует заменить на соответствующее данному символу число в десятичной системе счисления – это 13):

   2    1    0

6D5₁₆ = 6 * 16² + 13 * 16¹ + 5 * 16⁰ = 6 * 256 + 208 + 5 = 1749₁₀

Максимальное двухразрядное число, которое можно получить с помощью шестнадцатеричной записи - это FF.

1    0

FF₁₆ = 15 * 16¹ + 15 * 16⁰ = 240 + 15 = 255 

255 – это максимальное значение одного байта, равного 8 битам: 1111 1111 = FF. Поэтому с помощью шестнадцатеричной системы счисления очень удобно кратко (с помощью двух цифр-знаков) записывать значения байтов. Внимание! Состояний у 8-ми битного байта может быть 256, однако максимальное значение – 255. Не забывайте про 0 – это как раз 256-е состояние