Соотношения в прямоугольном треугольнике (геометрия, 8 класс)

Соотношение углов и сторон в прямоугольном треугольнике

Цели урока:

·       Образовательные: ввести понятие тригонометрических функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника;  формировать умение выражать стороны прямоугольного треугольника по известным стороны и тригонометрические функции углов,

·       Развивающие: развивать интерес к математике и ее истории;  ознакомить с методами вычисления тригонометрических функций углов и компьютерным набором этих функций, развивать пространственное воображение, продемонстрировать связь математики с другими науками.

·       Воспитательные: воспитывать у учащихся аккуратность, умение слушать, высказывать свое мнение; культуру поведения.

Тип урока:   комбинированный 
оборудование:    интерактивная доска, диск с файлами, таблицы для заполнения,  тесты "проверь себя", макет пирамиды Хеопса.

Ход урока.

I.       Организационная часть.

II.    Актуализация опорных знаний.

1.                  Как называются стороны прямоугольного треугольника?

2.                  Сформулируйте теорему Пифагора.

3.                  Чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника со сторонами  3 см и 4 см?  Как называется такой треугольник?

4.                  Какой треугольник называется равнобедренным? Какие свойства он имеет?

III. Мотивация учебной деятельности.

Рассмотрим такие примеры:

1. Под вашим окном растет дерево, на верхушку которого нельзя добраться. Как найти высоту этого дерева, если вы можете определить любой угол, и расстояние по земле к дереву.

2. В древние времена люди не имели возможности определять большие расстояния, например, между звездами, планетами. Однако они могли найти угол между небесными телами на небесной сфере. Поэтому в древнем мире астрономия перед геометрией поставила проблемный вопрос: научиться сопоставлять углы и стороны треугольника. Так появился раздел математики, который называется тригонометрией.

IV. Объяснение нового материала.

1. С помощью опорных схем ввести понятие синуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике.

2. Решение упражнений по готовым рисунками (устно): найти синус, тангенс и котангенс угла?.

 3. По определению отношения сторон можно вычислять неизвестные катеты и гипотенузу треугольника при наличии данных об одной из сторон и угол. 

Для примера использования этих правил-схем вернуться к решению задачи о дерево (решается учеником у доски)

стороны треугольника			Сведения об угле
a	b	c
2 см	cos? = 0.5
		6? 3 дм	sin? =
3 дюймов			сtg? =

5. Закрепление новых знаний. 1. Работа в парах.  Заполнить таблицу. Каждая пара выбирает соответствующий уровень.

1 уровень

стороны треугольника			Сведения об угле
a	B	C
	cos? = 0,5
10 × 15 дм	10 дм		sin? = 0,25
	9 дюймов		tg? = 3

2 уровень

2. Сверить ответы получены в группах с ответами, записанными на доске.

3. Обратить внимание учащихся на то, что значение синуса, тангенса и котангенса зависит только от градусной меры углов, а не зависит от сторон и размещения треугольника. 

4. Для различных градусных мер углов прямоугольного треугольник составлены таблицы синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Первые такие таблицы появились во II в. до н.э. в трудах известного астронома Гиппарха с Никее. А самой известной является "Четырехзначная таблица" Брадиса. В наше компьютеризированное время можно находить значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов с помощью калькуляторов и компьютерных программ.

5. Задача о пирамиде Хеопса. 

Наибольшей среди египетских пирамид является пирамида Хеопса. Площадь ее основания около 54 000 кв.м. Каждый, кто приезжает посмотреть на них, мечтает подняться на вершину пирамиды. Понятно, что турист выберет кратчайший путь - по высоте боковой грани. (демонстрируется модель правильной четырехугольной пирамиды). Боковая грань - равнобедренный треугольник, тангенс угла при основании которого равна 1,6.За сколько времени турист поднимется на вершину пирамиды Хеопса, если он будет двигаться со скоростью 0,5 км / ч.

Коллективно составляется план решения задачи, а затем каждый ученик самостоятельно ее решает.

1) Зная площадь основания пирамиды (квадрата), найти сторону основания пирамиды, является основой равнобедренного треугольника. 
2) Найти длину пути туриста - высоту треугольника, используя соответствующее правило. 
3) Перевести скорость в м / мин. и найти время подъема.

7. Для учеников, которые ранее справятся с решением задачи предложить решить тестовые задания по теме урока (как дополнительная упражнение):

1) Синусом угла называется отношение:

а) противоположного катета к гипотенузе 
б) прилежащего катета к гипотенузе 
в) прилежащего катета к противоположному катета 
г) противоположного катета к прилежащего катета.

2) Чтобы определить неизвестный катет, прилегающий к данному угла, надо найти:

а) произведение гипотенузы на синус угла 
б) произведение гипотенузы на косинус угла 
в) частное от деления другого катета на тангенс угла 
г) частное от деления другого катета на котангенс угла.

3) Как можно определить неизвестную сторону прямоугольного треугольника?

а) по периметру 
б) по теореме Фалеса 
в) по теореме Пифагора Самосского 
г) по египетским треугольником

4) Значение синуса зависит от:

а) сторон треугольника 
б) возможностей калькулятора 
в) размещение треугольника 
г) градусной меры угла.

5) В равнобедренном прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен:

а) 1, 
б) 2 
в) 0,5 
г) недостаточно данных для определения ответы

6) Найти высоту параллелограмма, проведенную к большей стороны, если меньшая сторона 10 см, а синус угла между сторонами параллелограмма равна 0,4.

а) 40 см, 
б) 4 см, 
в) 0,04 см, 
г) другой ответ

VI. Итог урока.

1. Задание на развитие внимания. Учащимся предлагаются рисунок прямоугольного треугольника с числовыми данными, который демонстрируется в течение 5-7 секунд. После этого он закрывается, а ученикам предлагается за ним определить синус, тангенс угла.

2. Рефлексия.

- Что на уроке было самым важным? 
- Что было самым интересным? 
- Что было самым сложным? 
- Над чем следует поработать дома?