Справочный буклет "Выбор способа решения стереометрической задачи"

Выбор способа решения стереометрической задачи

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости в пространстве определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Задача 1. На рёбрах CD и BB₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 12 отмечены точки Р и Q соответственно, причём DP = 4, а B₁Q = 3. Плоскость APQ пересекает ребро CC₁ в точке М.

а) Докажите, что точка М является серединой ребра CC₁.

б) Найдите расстояние от точки С до плоскости APQ.

Решение

Способ 1 – решение Артёма Степченко

а) Докажите, что точка М является серединой ребра CC₁.

1) Проведём прямые через точки P и Q.

Пусть прямые АР и ВС пересекаются в точке R. Тогда точка М — точка пересечения прямых QR и СС₁.

Треугольники ARB и PRC подобны (по двум углам, т.к. угол R-общий, RBA = RCP),

значит ;

; RC=2BC=24.

2) Аналогично треугольники QRB и MRC подобны по двум углам,

значит ; . Значит, М — середина СС₁.

б) Найдите расстояние от точки С до плоскости APQ.

Расстояние от точки С до плоскости APQ равно высоте h пирамиды CPRM, опущенной из вершины С. Объём пирамиды CPRM, с одной стороны:

Расстояние от точки до плоскости

C другой стороны:

Значит, .

В треугольнике RPM по теореме Пифагора находим стороны:

По теореме косинусов

Откуда

Площадь треугольника RPM равна:

Следовательно,

Способ 2 (метод координат) – решение Саввы Тимонина

б) Найдите расстояние от точки С до плоскости APQ.

1) Введем прямоугольную систему координат с началом в точке С, и единичным отрезком равным 12 (ребро куба).

l(C;(APQ))-?

2) ,

где С()

и (APQ): Ax+Bx+Cz+D=0

Расстояние от точки до плоскости

Коэффициент D в уравнении плоскости мы можем принять за 1.

3) С(0;0;0) A(12;12;0) P(8;0;0) Q(0;12;9)

(APQ): Ax+By+Cz+D=0

A(12;12;0), зн. 12A+12B+0C+1=0 B =

P(8;0;0), зн. 8A+0B+0C+1=0 A =

Q(0;12;9), зн. 0A+12B+9C+1=0 C =

4) Зная значения A, B, C подставим их в формулу из действия 2

.

Ответ:.

Расстояние от точки до плоскости

Задача 2. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 5. На рёбрах SA, AB, BC взяты точки P, Q, R соответственно так, что PA = AQ = RC = 2.

а) Докажите, что плоскость PQR перпендикулярна ребру SD.

б) Найдите расстояние от вершины D до плоскости PQR.

Решение

Способ 1 – решение Екатерины Бредневой

а) Докажите, что плоскость PQR перпендикулярна ребру SD.

1)

SBD

(верно)

.

По теореме о пропорциональных отрезках PQ SB

2)

3)

SD-наклонная

DO-проекция

D-основание наклонной

по теореме о трех перпендикулярах

Расстояние от точки до плоскости

5)

6)

б) Найдите расстояние от вершины D до плоскости PQR.

Рассмотрим треугольник ASD

Ответ : 3,5.

Способ 2 (метод координат) – решение Екатерины Казаковцевой

а) Докажите, что плоскость PQR перпендикулярна ребру SD.

1) Введём систему координат с началом в точке O, тогда

O (0; 0; 0) ; Q (; - ; 0); R (- ;0); S (0; 0; ); P(; - ; )

Расстояние от точки до плоскости

AC=5 (диагональ квадрата)

OC=AC= (по свойству квадрата)

SO===

;  – направляющий вектор прямой SD

2) Q (; - ; 0); R (- ;0)

-3; 3; 0 – направляющий вектор прямой QR

SDQR, если

× (-3) + × 3 - × 0=0 (верно)

- + = 0 (верно)

б) Найдите расстояние от вершины D до плоскости PQR.

l (D; (PQR)) - ?

, где D(x0; y0; z0) и (PQR): Ax+By+Cz+D=0

D (; 0)

1) (PQR): Ax+By+Cz+D=0

R (- ;0), зн. - A + B + 0C+D=0 |×2

Q (; - ; 0), зн. A - B + 0C+D=0 |×2

P(; - ; ), зн. A - B + C+D=0 |×2

6A-6B=0

Расстояние от точки до плоскости

3 – 3 + 2C + 4 = 0

2C= – 4

1 – 5 + 2D = 0

2D = 4

(PQR): Ax + By + Cz + D=0

x + y –z + 2 = 0 – уравнение плоскости (PQR)

2) , где D (; 0)

l = = = 3,5

Ответ: 3,5

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми определяется длиной перпендикуляра, заключенного между параллельными плоскостями, которым принадлежат скрещивающиеся прямые.

Задача 3. Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Грань ACC₁A₁ является квадратом.

а) Докажите, что прямые CA₁ и AB₁ перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми CA₁ и AB₁, если AC = 4, BC = 7.

Решение

Способ 1 – решение Анны Мининой

а) Докажите, что прямые CA₁ и AB₁ перпендикулярны.

1) В₁С₁⊥С₁А₁, как катеты прямоугольного треугольника (В₁С₁А₁ = 90°);

2)  В₁С₁⊥С₁С, поскольку по условию это прямая призма (боковые ребра перпендикулярны плоскости основания, откуда следует, что все боковые грани являются (по условию) квадратами), В₁С₁С = 90°;

3) следовательно В₁С₁⊥(АСА₁) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости);

4)  А₁С⊥С₁А, как диагонали квадрата, и принадлежат (АСА₁);

5) Имеем, что В₁А − наклонная, АС₁ − проекция наклонной АВ₁ на (АСА₁), а ей перпендикулярна прямая А₁С (из пункта 4), тогда по теореме о трёх перпендикулярах АВ₁⊥СА₁.  

б) Найдите расстояние между прямыми CA₁ и AB₁, если AC = 4, BC = 7.

1) Пусть О − середина AC₁, тогда искомое расстояние равно расстоянию от точки О до прямой AB₁, поскольку прямая A₁C перпендикулярна AB₁C_1.

2) Проведем перпендикуляр от точки О на прямую AB₁ в тоску Н.

3) ∆ В₁С₁А ∆ АОН по двум углам,

т.к. А – общий,

В₁С₁А = АНО = 90°.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

4) Из подобия треугольников следует, что

.

5) По теореме Пифагора АС₁ = 4, как диагональ квадрата со стороной 4.

6) АО = 1/2 АС₁, т.к. точка О - середина С₁А (по свойству квадрата),

следовательно АО = 2.

7) В ∆ В₁С₁А:

В ∆ АOH: ОН = OA ·

ОН = .

Ответ: .

Способ 2 (метод координат) – решение Дарьи Пермяковой

а) Докажите, что прямые CA₁ и AB₁ перпендикулярны.

1. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке C, тогда

А(4;0;0); А₁(4;0;4); В₁(0; 7; 4); С(0;0;0)

{ – 4; 7; 4} и { 4; 0; 4}

2. , если cos = 0

cos

.

б) Найдите расстояние между прямыми CA₁ и AB₁, если AC = 4, BC = 7.

1. Пусть АС=а, ВС=b,

тогда С(0; 0; 0), 𝐴₁ (𝑎; 0; 𝑎) → 𝐶𝐴₁ (𝑎; 0; 𝑎) 𝐴(𝑎; 0; 0), 𝐵₁ (0; 𝑏; 𝑎) → 𝐴𝐵₁ (−𝑎; 𝑏; 𝑎)

2. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

3. Через прямую CA₁ проведем плоскость CA₁K , параллельную прямой AB₁. (CK || AB₁.)

4. Составим уравнение плоскости𝐴1𝐶𝐾: 𝐴1 (4; 0; 4), С(0; 0; 0), 𝐾(−4; 7; 4)

4𝑎 + 0 + 4𝑐 + 𝑑 = 0

0 + 0 + 0 + 𝑑 = 0

−4𝑎 + 7𝑏 + 4𝑐 + 𝑑 = 0

4𝑎 + 4𝑐 = 0

𝑑 = 0

−4𝑎 + 7𝑏 + 4𝑐 = 0

𝑎 = −𝑐

𝑑 = 0

−4 ∙ (−𝑐) + 7𝑏 + 4𝑐 = 0

𝑎 = −𝑐

𝑑 = 0

𝑏 = − С

5. Подставим найденные коэффициенты в уравнение плоскости:

− нормальный вектор плоскости расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой – это длина перпендикуляра, опущенного из любой точки первой прямой на плоскость. Т.е. нам нужно найти расстояние от любой точки прямой 𝐴𝐵₁ до плоскости 𝐴₁𝐶𝐾. Найдем расстояние от точки 𝐴(4; 0; 0) до плоскости 𝐴₁𝐶𝐾:

Ответ: .

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Задача 4. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все ребра равны 2. Точка M - середин ребра АА₁.

а) Докажите, что прямые МВ и В₁С перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми МВ и В₁С.

Решение

Способ 2 (метод координат) – решение Ангелины Полянской

а) Докажите, что прямые МВ и В₁С перпендикулярны.

1. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке Н – середина ребра АВ, тогда

М (0; -1; 1), В (0; 1; 0), С (), В₁ (0; 1; 2) .

{ 0; 2; – 1} и { ; – 1; – 2}

2. , если = 0

= 0 + 2 (– 1) + (– 1) = 0

б) Найдите расстояние между прямыми МВ и В₁С.

1. { 0; 2; – 1} – направляющий вектор прямой МВ

{ ; – 1; – 2} – направляющий вектор прямой

{ ; 0; 2} – направляющий вектор прямой

+

+

2. , если = 0

Расстояние между скрещивающимися прямыми

= + ( 2 + = 0

3. C, если = 0

= + ( + = 0

4. = = = =

Ответ: .

Расстояние между прямой и плоскостью

Расстояние между прямой и плоскостью

Расстояние между прямой и плоскостью определяется длиной отрезка перпендикуляра, опущенного из произвольной точки прямой на плоскость.

Задача 5. Расстояние между боковыми ребрами AA₁ и BB₁ прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ равно 5, а расстояние между боковыми ребрами AA₁ и CC₁ равно 8.

Найдите расстояние от прямой AA₁ до плоскости BC₁C, если известно, что двугранный угол призмы при ребре AA₁ равен 60°.

Решение:

Способ 1 – решение Олега Вавилова

1) Расстояние между ребрами  AA₁ и BB₁ то же, что и длина ребер A₁B и A₁B₁, тогда A₁B и A₁B₁ =5; расстояние между боковыми ребрами AA₁ и CC₁  то же, что и длина ребер A₁C и A₁C, тогда A₁C и В₁C=8;

А также угол BAC― линейный угол двугранного угла при ребре AA₁, то есть угол  BAC=60⁰.

Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью называется расстояние от произвольной точки прямой до плоскости. А расстоянием между точкой плоскостью называется длина перпендикуляра, проведенная из данной точке к плоскости.

Проведём высоту треугольника AH.

Тогда l (A₁A;BC₁C)=AH=||, так как AHBC, AHBB, AH (ABC), BC (BC₁C), BB₁ (BC₁C), (ABC) ( BC₁C) по определениям перпендикулярности плоскостей и прямой призмы.

2) По теореме косинусов:

S∆ABC =;

В то же время S_∆ABC =,

откуда АН = =

Расстояние между прямой и плоскостью

Способ 2 (метод координат) – решение Станислава Пешкова

Найдите расстояние от прямой AA₁ до плоскости BC₁C, если известно, что двугранный угол призмы при ребре AA₁ равен 60°.

1) Расстояние между ребрами AA₁ и BB₁ то же, что и длина ребер A₁B и A₁B₁, тогда A₁B и A₁B₁ =5;

расстояние между боковыми ребрами AA₁ и CC₁  то же, что и длина ребер A₁C и A₁C, тогда A₁C и В₁C=8.

Пусть MN проекция ребра BB на (AC₁C), тогда угол ANB=90⁰ (по определению), тогда в треугольнике ANB

AN = AB · sin A= , BN = AB · cos A = ,

CM = 8 – = ;

2) Введём прямоугольную систему координат с началом в точке N, тогда координаты A(0; - ;0),

A₁ (0; - ; h), B (;0;0), C (0;0), C₁ (0;h)

Уравнение плоскости BCC имеет вид: Ax+By+Cz+D=0.

Тогда при точках B (;0;0), C (0;0) и C₁ (0;h) справедливо:

Тогда уравнение BCC имеет вид:

Нормаль имеет координаты (;0)

3) Расстояние между точкой А плоскостью (ВС₁С) || выражается формулой

, где A, B, C – координаты нормали плоскости, а x, y, z – координаты точки. Тогда ||=

Ответ: АН =.

Угол между плоскостями

Угол между плоскостями

Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами.

Задача 6. Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ имеют длину 6. Точки M и N— середины рёбер AA₁ и A₁C₁соответственно.

а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB₁.

Решение:

Способ 2 (метод координат) – решение Никиты Даниленко

а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.

1. Введём прямоугольную систему координат с началом отсчёта в точке B.

2. Чтобы найти угол между прямыми, вычислим координаты направляющих векторов и .

Координата X точки M по теореме Пифагора равна: = 3, тогда B(0;0;0); M (3;3;3).

{3}

Т.к. N – середина A₁C₁, то координата Y этой точки равна . По аналогии с точкой M, координата X точки N равна .

N(;

{-;3}

3. По формуле = найдём угол между прямыми.

= = = 0

= 0, = 90

Угол между плоскостями

б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB₁.

1. Найдём координаты точек, образующих плоскости (BMN) и (ABB1).

B(0;0;0); A(3;3;0);

M (3;3;3); B(0;0;0);

N(; B1(0;0;6);

2. Найдём нормальные векторы (BMN) и (ABB1) по формуле:

ax + by + cz + d = 0

(BMN)

Пусть a = 1, то b = -, c = 2

{1;-;2};

(ABB1)

Пусть a = 1, то b = -

{1; -}

3. По формуле = найдём угол между плоскостями.

= = = =

Ответ: .