Статья на тему: "Матрицы и квадратичные формы над полями малых размерностей"

Матрицы и квадратичные формы над полями малых размерностей

Линейная алгебра, в частности, изучает общие свойства векторных пространств над произвольными полями, в том числе и над конечными. Необходимость изучения векторных пространств над полями малой характеристики обусловлено их приложениями в теории помехоустойчивости [23].

Имеется правило, посредством которого любым двум элементам векторного пространства и ставится в соответствие элемент поля, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначаемое символом . Указанное правило подчинено следующим четырем аксиомам: для произвольных элементов

переместительное свойство или симметрия.

распределительное свойство.

для любого элемента поля .

, если ненулевой элемент; , если нулевой элемент [21].

Известно, что скалярное произведение есть билинейная форма, соответствующая положительно определенной форме, и любая такая форма может быть принята за скалярное произведение [20]. Также известно, что всякая квадратичная форма над конечным полем представляет нуль, если только число ее переменных не менее трех. Представлять нуль, - значит, что квадратичная форма обращается в нуль на некотором ненулевом векторе. Этот факт приведен в виде задачи в [9].

Возникает вопрос, можно ли задать скалярное произведение в виде квадратичной формы над конечным полем по модулю 5 и существуют ли отличия? Исследование данного вопроса будет проводиться на двумерном пространстве, т.к. одномерное пространство рассматривать не имеет смысла.

Для начала выпишем все вектора в двумерном пространстве по модулю 5:

(0; 0)

(0;-2)

(0;-1)

(0;1)

(0;2)

(-2;0)

(-1;0)

(1;0)

(2;0)

(-2;-2)

(-1;-2)

(1;-2)

(2;-2)

(-2;-1)

(-1;-1)

(1;-1)

(2;-1)

(-2;1)

(-1; 1)

(1; 1)

(2; 1)

(-2; 2)

(-1; 2)

(1; 2)

(2; 2)

Рассмотрим полярную квадратичную форму, которая представлена симметричной билинейной формой и задается формулой , где матрица квадратичной формы, причем [20].

Для начала выпишем все вырожденные матрицы:

.

Несложно проверить, что квадратичная форма, заданная при помощи данных матриц тоже будет вырождена, из этого выходит, что таким способом нельзя задать скалярное произведение.

В ходе дальнейших вычислений было выявлено, что не все невырожденные матрицы задают положительно определенную квадратичную форму. Так, например, следующая матрица: которая задает квадратичную форму вида , при подстановке вектора обращает квадратичную форму в нуль. Далее, покажем те невырожденные матрицы, которые определяют квадратичную форму, представляющую нуль.

Ниже указаны матрицы и вектор, на котором она вырождается:

В данном случае, невозможно ввести скалярное произведение, так как существует ненулевой вектор, на котором квадратичная форма обращается в нуль. Но приводя квадратичные формы, заданные данными матрицами, к нормальному виду можно заметить, следующую особенность, что сигнатуры у всех равны нулю.

Пример приведения квадратичной формы к нормальному виду, заданной матрицей : .

Пользуясь методом Лагранжа, выделяется полный квадрат:

.

Производя замену , приводится нормальный вид: . Положительных индексов инерции в данной квадратичной форме: , отрицательных индексов инерции: , тогда сигнатура .

Теперь подставим вектор в квадратичную форму .

В ходе дальнейших вычислений были найдены матрицы, которые нельзя привести к нормальному виду и задать сигнатуру, но существуют вектора, на котором они вырождаются, все результаты приведены в Таблице 1.

Таблица 1

Невырожденные матрицы, вырожденные квадратичные формы

Квадратичные формы, которые определяются оставшимися невырожденными симметрическими матрицами, не обращаются в нуль.

Ниже перечисленные квадратичные формы не имеют нормального вида, а, следовательно, и сигнатуры. В таблице 2 приведен их канонический вид.

Таблица 2

Невырожденные матрицы, невырожденные квадратичные формы

Действительно, у данных квадратичных форм нет нормального вида, так как не является квадратичным вычетом по модулю , в отличие от поля нулевой характеристики, где из любого неотрицательного числа извлекается квадратный корень. Так, что они имеют только канонический вид. Приведение квадратичной формы к каноническому виду осуществляется по методу Лагранжа, здесь отличий никаких не возникает.

Исходя из изложенного материала, можно сделать следующие выводы:

1. Все квадратичные формы имеют канонический вид.

2. Любую квадратичную форму по модулю 5 можно привести к каноническому виду, как и в поле нулевой характеристики.

3. Не все квадратичные формы по модулю 5 можно привести к нормальному виду.

4. Не все квадратичные формы по модулю 5 имеют сигнатуру.

5. Невырожденные матрицы, задающие квадратичные формы, которые вырождаются, на некотором векторе, имеют нулевую сигнатуру.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах – М.: Высшая школа, 1986. – 304 с.

2. Икрамов, Х.Д. Задачник по линейной алгебре – М.: Наука, Физмат, 1975. – 322 с.

3. Lagrange. Oeuvres t.III p.695.

4. Курош, А. Г. Курс высшей алгебры – М.: Главная редакция физико-математической дитературы, 1968. – 431 с.

5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии – М.: Главная редакция физико-математической литературы,1980. – 176 с.

6. Пачев У.М., О распределении приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм с условием делимости первых коэффициентов по классам вычетов.// Чебышевский сборник, 2013. Том 14. Выпуск 2. с. 139-150.

7. Малышев А. В., Пачев У. М. Об арифметике матриц второго порядка // Зап. науч. сем. ЛОМИ. 1980. Т. 93. с. 43-86.

8. Калинина Е.А., Хитров Г.М. Особенности векторного пространства упорядоченных (0,1)-наборов из n элементов над полем по модулю 2.// Вестник СПбГУ, 2014. Выпуск 1. Серия 10. Р.62-71. с. 62-71.

9. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел 3-е изд. доп. – М.: Наука. Глав. ред. Физматлит, 1985. – 504 с.

10. Беллман, Р. Введение в теорию матриц. – М.: Мир, 1969. – 368 с.

11. Бортаковский А.С., Пантелеев А.В. Линейная алгебра в примерах и задачах – М.: Высшая школа,2005. – 591 с.

12. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика: Учебник для студентов ВУЗов – М.: Владос, 2002 – 400 с.

13. Проскуряков, И. В. Сборник задач по линейной алгебре, 7-е изд. -М.: Наука, 1984. – 336 с.

14. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел: учебное пособие для педагогических институтов – М.: Высшая школа, 1979 – 559 с.

15. Грантмахер, Ф.Р. Теория матриц. – М.: Физмалит, 2004. – 560 с.

16. https://ru.wikipedia.org/.

17. Шевцов, Г. С. Линейная алгебра. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 233 с.

18. http://mathhelpplanet.com.

19. http://dep805.ru/education/kk/jmatrix/part5.htm.

20. Гельфанд, И. М. Лекции по линейной алгебре: Изд. 4-е доп. – М.: Наука. Глав. ред. Физматлит, 1971. – 320 с.

21. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учеб. Для вузов – 4-е изд. – М.: Наука. Физматлит, 1999. – 280 с.

22. Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф.. Под редакцией Богданова Ю.С. Математический словарь высшей школы. Общая часть – М.: МПИ, 1989. – 527 с.

23. Бородин Л.Ф. Введение в теорию помехоустойчивого кодирования. – М.: Советское радио, 1968. – 408 с.

24. "Миссия молодого поколения в науке и образовании: традиции, инновации" Региональная студенческая конференция, посвященная 80-летию Костанайского государственного педагогического университета имени Султангазина.// Әбіл Е.А., Медетов Н.А., Шумейко Т.С., Баубекова Г.К., Чернявская О.М., Ахметова Э.Б., Курлов С.И. – Костанай, 2019. Ж 33. ISBN 978-601-7934-73-6. – с. 25-29.