Статья "Угол между плоскостями" (для учащихся 11 класса)

Угол между плоскостями.

Стереометрия

Пусть плоскости α и β пересекаются по прямой с.
Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях.

Другими словами, в плоскости α мы провели прямую а, перпендикулярную с. В плоскости β — прямую b, также перпендикулярную с. Угол между плоскостями α и β равен углу между прямыми а и b.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуются четыре угла. В качестве угла между плоскостями мы берем острый угол.

Метод координат

 Угол между плоскостями равен углу, образованному нормальными векторами этих плоскостей. 

Если векторы n₁  и  n₂ - нормальные векторы данных плоскостей, то угол между плоскостями вычисляется по формуле

cosγ =

Если заданы уравнения плоскостей A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0, то  и  - нормальные векторы этих плоскостей.

Тогда угол между плоскостями можно найти, используя следующую формулу

cos γ=,

Задача. В правильной четырехугольной призме   со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре АА₁ взята точка М так, что АМ=8. На ребре ВВ₁ взята точка K так,  что В₁К = 8. Найдите угол между плоскостьюD₁MK  и плоскостью CC₁D₁.

Решение.

АD₁ ⊥( CC₁D₁), значит АD₁ = n₁

Найдем n₂  ⊥(D₁MK).

n₂⊥D₁M,  А₁М=21-8=13, М(0;0;13), D₁(_, значит D₁M

n₂⊥ MK, М(0;0;13),К(12;0;8), значит MK

n₂•D₁M=0   -12у+13z=0  y=

n₂• MK=0  12x-5z=0  x=

Примем z=12, тогда х=5,у=13 , тогда  n_2.

cosγ =

cosγ = ====, откуда γ=45⁰.

Ответ: 45⁰.

Использование теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника.

Угол между плоскостями α  и β можно вычислить, используя формулу

cosγ =

Три способа решения одной задачи.

Задача. На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁  взята точка E так, что A₁E : EA = 4 : 3. Точка T — середина ребра B₁C₁. Известно, что AB = 5, AD = 8, AA₁ = 14.

а) В каком отношении плоскость ETD₁ делит ребро BB₁?

б) Найдите угол между плоскостью ETD₁ и плоскостью AA₁B₁.

Решение. 1 способ - геометрический

а) Так как  и  то  и  

Плоскость сечения пересекает параллельные плоскости  и  по параллельным прямым, поэтому  ∥  Значит, треугольники  и  подобны( по углам с соответственно параллельными сторонами). = , откуда = =  =4

Значит, QB= BB₁- QB₁= 14-4=10 и QB:QB₁=10:4=5:2.

б) Так как прямая  ⊥  опустим проведём  ⊥ - линии пересечения плоскостей. ETD₁ и AA₁B₁. По теореме о трех перпендикулярах так как  ⊥,то и D₁H⊥. Угол  будет искомым.

 Найдём  Для этого проведём в трапеции  высоту = А₁В₁. 

 По теореме Пифагора = = .

Теперь, вычисляя двумя способами площадь треугольника  найдём S =  

то есть А₁H=  = Тогда из треугольника А₁HD, где угол А₁ прямой, найдем тангенс искомого угла равен tg H = 8:  =  .

Ответ: а)  б) arctg

Решение. 2 способ - метод координат

б) Введем прямоугольную систему координат с началом в точке А. Угол между ЕТD₁ и AA₁B₁ будем искать по формуле

cosγ =

АD ⊥( AA₁B₁), значит АD = n₁

Найдем n₂  ⊥( ЕТD₁).

n₂⊥EQ,  Е(0;0;6), Q(_, значит EQ

n₂⊥ED₁, Е(0;0;6), D₁ (8;0;14), значит ED₁ 

n₂• EQ =0   5у+4z=0  y=

n₂• ED₁=0  8x+8z=0  x= - z

Примем z=5, тогда х= - 5,у=- 4 , тогда  n_2.

cosγ =

cosγ = ==

Ответ:б) arccos

Решение. 3 способ - метод проекций

Угол между плоскостью ETD₁ и плоскостью AA₁B₁  можно вычислить, используя формулу

cosγ =

 - площадь трапеции EQTD₁,  - площадь трапеции А₁В₁QE.

==(В₁Q + А₁E)• А₁В₁= (4+8)•5= 30

 == (QT+ ED₁)•QР, где QР - высота.

Из треугольника A₁D₁E  D₁E==8

Из треугольника B₁QT    QT=4

Из треугольника LQE  QE== 

Из треугольника C₁D₁T  D₁T ==

Трапеция EQTD₁ - равнобедренная. РЕ = (8 - 4):2=2

Из треугольника РQE  QР= =

 == (QT+ ED₁)•QР=(84 • :2= 6

cosγ == =

Ответ: б) arccos

Краткое описание документа:

Обобщение темы " Угол между плоскостями". Рассмотрены 3 способа нахождения угла между плоскостями- геометрический( по определению), метод координат и метод площади ортогональной проекции. Приведены примеры решения задач на нахождения угла между плоскостями различными способами.Материал будет полезен ученикам 11 класса при решении стереометрических задач и учителям, работающим в старшем звене.