Технологтческая карта урока на тему: "Доказательство основных тригонометрических тождеств. Формулы приведения."

Технологическая карта урока

Ф.И.О. преподавателя___Баринова Оксана Валерьевна

 Предмет: Математика: алгебра и начала анализа, геометрия. Группа    _А-1__ Дата_02.03.18г._____

Тема урока:__Доказательство основных тригонометрических тождеств. Формулы  приведения.

Цель урока:

Образовательная:

 а. Сформировать представление о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе числа.

б. Сформировать представление о тригонометрии.

Развивающая:

       а. Развить представления о роли месте математики в современном мире

       б. Способствовать развитию алгоритмического, творческого мышления.

Воспитательная:

       а. Способствовать развитию интереса к предмету, активности

       б. Воспитывать аккуратность в работе

       в. Умение работать в команде, выражать собственное мнение, давать рекомендации

Оснащенность занятия: мультимедиа, раздаточный материал, источники информации (учебная литература, интернет-ресурсы), доска (белая доска), мел (цветные маркеры).

Хронологическая карта занятия

Время (минуты)

1.Организационный момент.

2 мин

2.Вступление, мотивация изучения темы:

- формулировка темы лекции, характеристика ее профессиональной значимости, новизны и степени изученности;

- постановка целей;

- изложение плана лекции, включающего основные вопросы, подлежащие рассмотрению;

- характеристика рекомендуемой литературы.

3мин.

3.Актуализация имеющихся знаний, ретроспекция (вопросы, изученные на прошлой лекции, связь их с новым материалом).

3 мин

4.Основная часть лекции (изложение содержания в соответствии с планом).

27 мин

5.Обобщение и систематизация изученного материала.

5мин

6.Подведение итогов.

5мин

Итого: 45 минут

Вступление, мотивация изучения темы:

Сегодняшняя тема лекции: “Основы тригонометрии”. Задача: обобщить и систематизировать материал по данной теме и выявить основные недочеты и трудности, над которыми надо еще поработать.

Актуализация имеющихся знаний, ретроспекция:

1. Что такое синус?
2. Что такое косинус?
3. Что такое тангенс и котангенс?

Основная часть лекции:

В геометрии углом называется фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.

Любой угол можно рассматривать как результат вращения луча в плоскости вокруг начальной точки. Вращая луч вокруг точки О от начального положения OA до конечного положения ОВ, получим угол АОВ (рис. 1).

Понятие об измерении углов известно из геометрии. При измерении углов принимают некоторый определенный угол за единицу измерения и с ее помощью измеряют другие углы.

За единицу измерения можно принять любой угол.

На практике уже более трех тысяч лет за единицу измерения величины угла принята часть полного оборота, которую называют градусом.

Рис. 1.

В технике за единицу измерения углов принимают полный оборот.

В мореплавании за единицу измерения углов принят румб, равный части полного оборота.

В артиллерии за единицу измерения углов принята часть полного оборота, которую называют большим делением угломера (0,01 часть большого деления угло­мера называют малым делением угломера).

В связи с развитием техники появилась потребность измерять круговые движения (т. е. повороты на сколь угодно большие углы и различные колебательные процессы, связанные с круговым движением). Появилась потребность в новой, универсальной единице измерения дуг и углов. Такой единицей оказалась радианная (радиусная) мера угла, она появилась в трудах Ньютона (1643—1727) и Лейбница (1646—1716) и вошла в науку благодаря трудам академика Петербургской академии наук Леонарда Эйлера (1707—1783).

Вы хорошо знакомы с числовой осью, т. е. прямой, на которой отмечена начальная точка О, единица масштаба ОЕ и положительное направление. При помощи числовой оси устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством точек прямой. Каждому действительному числу z ставится в соответствие определенная точка М, которая является концом отрезка ОМ длины |z|. Отрезок ОМ откладывается в положительном направлении, если z > 0, и в отрицательном, если z < 0. Точка О соответствует числу z = 0. Действительное число z называется координатой точки М и записывается M(z).

Пусть дана некоторая единичная окружность, т.е. окружность с центром в некоторой точке О и с радиусом, равным единице масштаба. Выберем на этой окружности некоторую точку А (рис.2).

По аналогии с прямой каждому числу поставим в соответствие точку М_α данной единичной окружности такую, что длина дуги АМ_α равна α, причем дуга АМ_α откладывается от точки А против часовой стрелки. Числу 0 и числу 2π поставим в соответствие точку А. Таким образом, между точками единичной окружности и числами промежутка [0; 2π[ установлена взаимно однозначное соответствие.

Рис. 2.

Число α называется радианной мерой дуги АМ_α и соответственно угла АОМ_α.

Из формулы для вычисления длины дуги окружности следует формула, связывающая радианную и градусную меры угла. Действительно, если α – длина дуги единичной окружности, градусная мера которой равна β, то .

Таким образом, дуга в 1 радиан содержит градусов:

Дуга в 1° содержит радиан: .

Пример: Выразить в радианной мере углы 120; 320.

Ответ: Так как , то , .

Для перевода меры угла из градусной в радианную и обратно существуют таблицы (см., например, В. М. Брадис, Четырехзначные математические таблицы).

Приведем таблицу для углов и дуг, которые встре­чаются часто.

Градусы

3360°

1180°

990°

660°

445°

330°

118°

115°

1100°

11°

β°

Радианы

2π

π

Снова рассмотрим единичную окружность с выбран­ной точкой А (рис. 2).

Каждому числу поставим в соответст­вие точку М_α данной единичной окружности такую, что длина дуги АМ_α равна |α| и дуга АМ_α откладывается от точки А по часовой стрелке (рис. 3). Числу - 2π поставим в соответствие точку А.

Произвольное число α представим следующим образом: , где k — некоторое целое число, а . Заметим, что для любого α такое представление возможно. Теперь числу α поставим в соответствие ту же точку, что и числу α₀, т. е. точки М_α и совпадают.

Рис. 3.

Таким образом, выше построено соответствие между действительными числами и точками единичной окружности. Из самого построения этого соответствия следует, что точки , , совпадают.

О точке М_α говорят, что она получается из точки А поворотом на |α| радиан против часовой стрелки, если α > 0, и по часовой стрелке, если α < 0. Вращение против часовой стрелки иногда называют вращением в положительном направлении, а вращение по часовой стрелке — вращением в отрицательном направлении.

Тригонометрические функции числового аргумента.

Ранее было установлено взаимно однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством точек единичной окружности. Каждому действительному числу α поставлена в соответствие точка М_α единичной окружности.

Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат так, что ее начало совпадает с центром рассматриваемой единичной окружности, а единичная точка оси абсцисс совпадает с точкой А.

Пусть х_α, у_α — координаты точки М_α. Тогда каждому числу α поставлены в соответствие два числа х_α и у_α.. Число у_α. называется синусом α и обозначается sin α, а число х_α называется косинусом α и обозначается cos α.

Функция sin α, , называется синусом. Рис. 4.

Функция cos α, , называется косинусом.

Пример 1: Найти синус числа .

Решение: Так как , то этому соответствует та же точка М, что и числу . Опустим из точки М перпендикуляр MP на ось Ох (рис. 4), имеем |РМ| = у. В прямоугольном треугольнике РОМ длина гипотенузы ОМ равна 1 (так как окружность единичная), длина катета РМ равна (как катет, лежащий против угла в 30º). Следовательно, ордината точки М равна числу 0,5, т. е. у = 0,5.

Ответ: .

Пример 2: Найти sin 1,17.

Решение: См. «Четырехзначные математические таблицы» В. М. Брадиса, стр. 62,

sin 1,17 ≈ 0,9208.

Тангенсом действительного числа α называется отношение и обозначается tg α.

Легко видеть, что tg α определен для всех действительных чисел .

Функция tg α, , называется тангенсом.

Котангенсом действительного числа α называется отношение и обозначается ctg α. Легко видеть, что ctg α определен для всех действительных чисел а .

Функция ctg α, , называется котангенсом.

Реже используются функции секанс и косеканс

.

Пример 3. Найти tg и ctg .

Решение. Числу на числовой окружности соответствует точка М, которая является концом дуги в 135°. Опустим из точки М перпендикуляр на ось Ох. Треугольник OMN прямоугольный и равнобедренный (рис. 5). Координаты точки М будут , . Следовательно,

tg = ; ctg = .

Ответ: tg = ; ctg = .

Рис. 5.

Периодичность тригонометрических функций.

Тригонометрические функции являются периодическими функциями

Теорема: Число 2π является минимальным периодом синуса и косинуса.

Это следует из того, что значение тригонометрических функций определяются с помощью координат вращающейся точки.

Но при вращении этой точки по единичной окружности через каждый оборот она занимает тоже самое положение, как известно полный оборот точка совершает тогда, когда приращение аргумента равно 2π. Следовательно, sin (t +2π) = sin t, аналогично, и для cos (t +2π) =cos t.

Тангенс и котангенс также являются периодическими функциями, но наименьшим периодом для тангенса и котангенса является π.

Пример 4: Найти sin 2672° = sin (7·360° + 152°)= sin 152°

Далее находим по таблице Брадиса или выражаем в радианах.

Знаки тригонометрических функций.

Знаки тригонометрических функций определяются тем, в какой из координатных четвертей плоскости лежит рассматриваемый угол.

Так как синус числа α является ординатой конца единичного вектора с началом в начале координат, то синус положителен в первой и второй четвертях и отрицателен в третей и четвертой.

Косинусом числа α есть абсцисса конца вектора. Поэтому косинус положителен в первой и четвертой четвертях и отрицателен - во второй и третей.

Тангенс и котангенс есть отношение координат, поэтому они положительны когда координаты имеют одинаковые знаки (первая и третья ) и отрицательны, когда разные (вторая и четвертая).

Пример 5: Найти знак sin 2735°

Ответ: 2735° = 7 · 360° + 215°. Так как 360° = 2π, а синус есть периодическая функция с периодом 2π, то знак синуса зависит только от величины угла 215°, который расположен в третьей четверти, где синус отрицателен. Следовательно, sin 2735º = sin 215º < 0.

Пример 6: Определить знак следующего выражения sin 300° · cos 200°.

Ответ: sin 300° < 0, cos 200° < 0. Следовательно, sin 300° · cos 200° > 0.

Четность и нечетность тригонометрических функций.

Докажем, что косинус – функция четная, а синус, тангенс и котангенс – функции нечетные.

Пусть дана единичная окружность с центром в начале координат. Любые два противоположных действительных числа α и — α можно изобразить на этой окружности двумя точками М_α и М_-α, симметричными относительно оси абсцисс (рис. 6). Так как точки М_α и М_-α лежат на единичной окружности, то координатами точки М_α будут числа cos α и sin α, а координатами точки М_-α будут числа cos (– α) и sin (– α). Так как точки М_α и М_-α, симметричны относительно Ох, то их абсциссы совпадают, а ординаты противоположны. На основании этого для любых допустимых чисел α справедливы равенства:

Рис. 6.

Формула (1) означает, что косинус – функция четная, а формулы (2), (3), (4) означают, что синус, тангенс и котангенс – функции нечетные, что и требовалось доказать.

Пример 7:

Пример 8:

Основное тригонометрическое тождество.

Следствие:

  

Пример 9: Найдите значения cos α, tg α, ctg α, если sin α = .

Ответ: Так как , то .

Используя соотношения и имеем: и .

Тригонометрические формулы. Формулы приведения.

Значение тригонометрических функций острых углов можно вычислить по таблице. Возникает проблема для вычисления тригонометрических функций для аргумента, большего . Для этой цели существуют формулы приведения. Формулы приведения позволяют заменить тригонометрические функции больших значений аргументов тригонометрическими функциями острого угла.

Основные формулы приведения

Правило: Если в формуле приведения угол α вычитается из числа или прибавляется к этому числу, взятому нечетное число раз, то приводимая функция меняется на кофункцию. Если же число взято четное число раз, то название приводимой функции сохраняется. Знак перед приведенной функцией ставится такой, каков знак приводимой функции в соответствующей четверти, если считать угол α острый.

Пример 1: Найти значение cos 315°.

cos 315° = cos (270° + 45°) = . По таблице находим, что .

Следовательно, получаем, что .

Пример 2: Привести к тригонометрической функции острого угла

sin 162° = sin (90° + 72°) = sin ( + 72°) = cos 72°.

cos 830° = cos (2 · 360° + 110°) = cos l10° = cos (90° + 20°)= cos ( + 20°) = – sin 20°.

ctg 2281° =ctg (6 · 360° + 121°)= ctg l21° = ctg (90° + 31°) = ctg ( + 31°) = – tg 31°.

Формулы сложения

Примеры

Формулы двойного угла

Формулы понижения степени

Формулы суммы и разности синусов и косинусов

Произведения тригонометрических функций

Тригонометрические функции половинного аргумента.

Рассмотрим следующие тождества: , .

Если из первого тождества вычтем второе, то получим .

Откуда .

Если сложить тождества, то получим . Откуда .

Если разделим почленно на , то получим .

Пример: Найти , если

Ответ:

Пример: Упростите выражение

Ответ: Используя формулу, получим . Для преобразования используем формулу двойного угла . Тогда

Обобщение и систематизация изученного материала:

1. Что такое радианная мера, радиан?
2. Что такое синус? Что такое косинус?
3. Что такое тангенс и котангенс? Какие формулы тригонометрии вам известны?

Подведение итогов: основные понятия по теме получены, закреплены примерами.

атематика: алгебра и начала математического анализа; геометрия.

Дидактическая структура урока	Деятельность преподавателя	Деятельность обучающихся, ФОУД*	Методы и приемы обучения	Развиваемые профессиональные и общие компетенции
Мотивационно-целеполагающий	Приветствие.  Распределение группы на подгруппы. Предлагает перечислить все известные углеводороды и их природные источники. Акцентирует внимание на нефти. Озвучивает тему урока. Формирует цель урока.	Приветствие. Перечисляют все известные классы углеводородов, перечисляют их природные источники. (Ф) Особое внимание уделяют нефти. Знакомятся с темой урока. Совместно с преподавателем формируют цель урока	Беседа	ОК 4, ОК 6.
Деятельностный	Рассказывает историю применения нефти. Предлагает к просмотру фильм о исторический фильм о запуске первой буровой. Задает вопрос: как вы считаете, каково назначение нефти с позиции вашей будущей профессии автомехаников. Да, нефть как исходное сырье для получения продуктов перегонки нефти.  Просмотр фильма о перегонки нефти. Предлагает по завершению просмотра фильма, записать  фракции нефти и основные области их использования задание индивидуальное. Групповое:  записать методы перегонки нефти.  Преимущества и недостатки. Выполнение заданий на закрепление приобретенных знаний: раздает карточки с заданиями (Приложение). Предлагает высказать свое мнение о следующем высказывании: нефть – это основной источник энергии. Нефть, а также попутный нефтяной и природный газы, каменный уголь – не только ценнейшие ископаемые источники углеводородов, но и часть уникальной кладовой невосполнимых природных ресурсов, бережное и разумное использование которых – необходимое условие, прогрессивного развития человеческого общества.	Просматривают видеофильм о нефти. Представляют свои ответы по заданию. (Г) Задают вопросы, уточняют детали. Отвечают на вопрос. (И)  Просмотр фильма о перегонки нефти. Обсуждение увиденного. Записывают фракции (И) Работа в группах: записывают методы перегонки нефти, его преимущества и недостатки. (Г) Используют различные источники информации. Выполняют индивидуальные задания на закрепление пройденного материала. Излагают свое мнение о высказывании (Ф) Записывают домашнее задание.	Видеометод Эвристический Беседа
Оценочно-рефлексивный	Предлагает оценить свою деятельность на уроке, дать оценку полученным знаниям, их значимости в дальнейшей деятельности. Раздает листы с вопросами, помогающими организовать этап рефлексии: Рефлексия содержания учебного материала: прием незаконченного предложения: «Меня удивило…» «Сегодня мне удалось…» Оценка эффективности работы на уроке: Я смог … Я понял, что …. Рефлексия эмоционального состояния: Обучающимся предлагается три изображения лица: улыбающееся, равнодушное, грустное. Оценивает работу обучающихся на уроке. Проводит саморефлексию эмоционального состояния. Прощается.	Оценивают свою деятельность. Дописывают незаконченное предложение: «Меня удивило…» «Сегодня мне удалось…» Оценивают эффективность своей работы на уроке: Я смог … Я понял, что …. Дают оценку своего  эмоционального состояния. Выбирают изображения лица: улыбающееся, равнодушное, грустное.