Тема урока «График и свойства функции y = ax2»

Тема урока «График и свойства функции y = ax²»

Цели:            

записать их на доске

Обучающие:

- научиться строить график функции y = ax² и изучить свойства данной функции по графику;

- установить закономерность между графиком функции y = ax² и значением коэффициента a;

Развивающие:

- развитие речи, наблюдательности, умения логически мыслить, анализировать и делать выводы:

Воспитывающие:

Воспитание у учащихся интереса к предмету, доброжелательности, умения работать в коллективе.

Оборудование: мультимедийный проектор, презентация «График и свойства функции y=ax^2», таблица квадратов двузначных чисел, учебник Алгебра.  9 класс под редакцией Г. В. Дорофеева, раздаточный материал.

                              Ход урока:

1.     Организационный момент. Приветствие, сообщение темы и цели урока.

2.     Повторение:

Учитель:

          Ребята, что мы изучали на предыдущем  уроке?

Ожидаемый ответ:

         Изучили квадратичную функцию и строили её график по точкам.

Учитель:

Сегодня на уроке мы займемся более детальным изучением квадратичной функции, её свойств, особенностей графика.

Учитель:   

Для этого вспомним определение  квадратичной функции

стр.67 учебника

Ожидаемый ответ:

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида: y = ax²+bx+c, где a, b и c – некоторые числа, причём a≠ 0

Записать на доске и показать на экране

Учитель: На экране определение записано по-другому.

Сказано, что x – независимая переменная, которая называется КАК? – АРГУМЕНТОМ, тогда y называется ФУНКЦИЕЙ.

Учитель:

       - Какая линия  является графиком квадратичной функции?

Ожидаемый ответ:

        - Парабола

       Слайд:

      - показаны несколько парабол.

       Учитель:

      -  Что можно сказать  о этих параболах?:

Ожидаемый ответ:

       - Параболы по-разному расположены в системе координат, у      одних ветви неограниченно направлены вверх, у других вниз. 

       - Каждая парабола имеет  «Главную точку» ,которая называется ВЕРШИНОЙ (самую верхнюю или самую нижнюю точки)  (показать на слайде)

       -  Ось симметрии  

( на слайде показать все оси  симметрии),

которые   пересекают параболу в вершине. Это прямая, параллельная оси y, или сама ось y (совпадает)

Учитель:   слайд

Посмотрите на экран. Даны  несколько функций.

Задание:        Из приведённых примеров укажите те функции, которые являются квадратичными.

 Я записываю все ответы учеников (хотя бы три)  на доске.

На слайде остаются только квадратичные функции.

Для каждой функции назовите   коэффициенты (показать на главной формуле a, b, c).

1)    y= 5x+1, 2) y=3x²-1

в главной  формуле  в правой части стоит три слагаемых.

какого слагаемого нет в нашей формуле? (a=3 b=0 c=-1 - сама проговариваю),

3.     y=+1,     4) y=4x²(a=4 b=0 c=0), здесь только называем числа

4.      5) y=3x²+x(a=3 b=1 c=0),  6) y=2x²+x+3(a=2 b=1 c=3)

 7) y=x³+7x²-5

5.     Изучение нового материала.

Учитель: открыли тетради и записали тему урока.

Итак, продолжаем изучать квадратичную функцию,  для этого рассмотрим следующие функции:

- слайд.

Какие это функции?

Ожидаемый ответ:

Квадратичные

Есть ли сходство у этих функции?

Сравнить с главной  формулой квадратичной функции.

       y=5x², y=-3x²,  y=0,3x²,  y=-0.8x²,  y= x²,  y= x²?

          Ожидаемый ответ:

   - У данных функций b=0,  c=0.

Такие функции называют частным видом квадратичной функции y=ax²+bx+c и задаются формулой y=ax².

      На слайде появляется функция y=ax²

Формулу записать в тетрадь.

Учитель: одна  из целей урока: 1) построить график данной функции.

Для этого:

В одной системе координат построим  графики функций:

Записать в тетради:

Если a=1 формула функции y= ax² запишется в виде y=x²

         a=2                                                                           y=2x²

        a= ½                                                                          y=½x²

        a= -½x²                                                                      y=-½x²

      И выясним, какая существует связь между коэффициентом a и особенностями графика этой функции?

Рассмотрим сначала случай, когда a>0

На листах, лежащих на столах, построен график

функции y=x²    а=1

 В этой же системе координат построим график функций:

                                  y=2x²  а=2

Заполним  таблицу значений данной функции:

                                                 y=2x²

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	18	8	2	0	2	8	18

При x= -3 y= 2(-3)²=2∙9=18

Отметим в данной системе координат  точки, которые указаны в таблице.

Влево или вправо от 0 отмечаем значение х=-3

Отметили все точки и синим карандашом соединили их.

             Слайд

Какую линию получили?

Ожидаемый ответ

      Получили параболу

Пронаблюдайте и скажите, есть ли различия у данных графиков (y=x² и y=2x²)?

Ожидаемый ответ:

При a=2 график сжимается к оси y.

         Для примера:

Показать на слайде графики функций при a =4, a= 5.

Вывод: Чем больше a, тем «уже» парабола.

Учитель: 

В этой же системе координат строим график следующей функции:

1.     y₁=

Заполним  таблицу значений данной функции:

x	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
y1	8	4,5	2	0,5	0	0,5	2	4,5	8
y2	-8	-4,5	-2	-0,5	0	-0,5	-2	-4,5	-8

Отметим в данной системе координат точки, которые указаны в таблице.

Слайд

Соединим точки зелёным карандашом

Какую линию получили?

Ожидаемый ответ:

Получили параболу

Слайд.

Итак, ребята, мы построили в одной системе координат  графики трёх квадратичных функций y=ax² при a>0

 Пронаблюдайте и скажите, есть ли:

 Различия в графиках данных функций?

Ожидаемый ответ: это записать в тетради:

Если  а>1, то график функции y=ax² сужается к оси y,

Если  а<1, то график данной функции расширяется  от оси y.

Общее в графиках данных  парабол.

Ожидаемый ответ:

Добиться ответа: - одна вершина О(0;0) самая верхняя или самая нижняя точка параболы?

Ожидаемый ответ:

Самая нижняя. Значит, ветви параболы куда направлены?

           - ветви параболы направлены вверх

 - ось симметрии ось y.

Учитель: Рассмотрели поведение функции y=ax² при а>0,

теперь  рассмотрим график функции y=ax² при a<0

Построим график функции y₂= -½x²

Для этого заполним таблицу значений данной функции.

При х= -4 у=- ½(-4)²=-8

Отметим в данной системе координат точки, которые указаны в таблице:

Слайд

Какую линию получили?

Ожидаемый ответ:

Параболу

Слайд

Сравним графики двух функций y=½x²  y=- ½x²

У одного и того же значения аргумента противоположные значения функции.

Графики этих функций «зеркально» отобразились относительно оси X.

Т. е. графики симметричны относительно оси х.

Сравнивая эти графики, сделаем вывод:

    Записать в тетради:

Если а>0, то (ждать ответа) ветви параболы направлены вверх;

Если а<0, то (ждать ответа) ветви параболы направлены вниз.

Итак, подведём общий итог:

            учебник стр.80

Графиком функции y=ax²,где  a≠0 и a>0 является парабола с вершиной в начале координат; её осью симметрии служит ось y; ветви направлены вверх, при а<0 ветви параболы направлены вниз.

Только прочитать.

             Вернёмся к целям нашего урока:

-      Построить график функции y=ax².  Построили

-      Установить зависимость между графиком функции y=ax² и значением коэффициента a. Установили.

-      Зная, как выглядит график функции y= ax², мы можем выяснить некоторые её свойства.

Учитель:

  Записали: Свойства функции y=ax²

              Разделим страницу на две части:

a>0	a<0
1.     При x=0  y=0	1.При x=0 y=0
2.     Ветви параболы уходят вверх. Область значений функции[0; +∞)	2.Ветви параболы уходят  вниз Область значений функции (-∞; 0]
3.     Противоположным значениям аргумента соответствуют  равные значения функции	3.Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции
4.     (-∞; 0] – функция убывает; (показать значения у) [0; +∞) – функция возрастает	4.(-∞; 0] - функция возрастает;        [0; +∞) – функция убывает

Итак, построили, установили зависимость и рассмотрели свойства данной функции.

  4.  Закрепление изученного материала

Вернёмся к графику функции y=2x²:

А) Найдите по графику значение y при x, равном: 1,5; - 2,5.

   Решение:

При x=1,5 y= 4,5  (1,5; 4,5)

При =-2,5 y=12,5  (-2,5;12,5)

Б) Найдите по графику значения x, при которых у = 5; 10.

   Проведём прямую y=5. Она пересекает параболу в двух точках.  (-1,6;5) и (1,6; 5)

 Доп.   Проведём прямую y=10. Она пересекает параболу в двух точках (-2,2;10) и (2,2;10)

В) Проходит ли график функции через точку: (-1;2), (2;4), (-18; 648), (21;900)?

Решение:

 Найдём точку с координатами (-1; 2) на графике.

Эти точки мы не можем показать на графике. Как поступить?:

  Дана точка, имеющая две координаты x = -18 и y = 648, подставим в формулу функции:

                 648=2∙(-18)²=2∙324= 648

Значит, график функции y=2x² проходит через точку  (-18;648).

 (21; 900)     

     x= 21 y=900

      900= 2∙21²= 2∙441≠882

Значит, график функции y=2x² не проходит через точку (21;900).

1.     Подведение итогов урока:

Итак, мы рассмотрели функцию y=ax², построили её график, записали свойства.

А сейчас подведём итоги урока.

Комментирую оценки и:

Ответьте на вопросы:

Достиг ли  ты желаемого?:

1.    Я правильно построил все графики.

2.    Я участвовал в  рассмотрении свойств функции y=ax² при a>0 и a<0 по графику.

3.    Я понял, какая связь существует между коэффициентом а и особенностями графика этой функции.

4.     Какими словами можешь выразить своё настроение как результат работы на уроке?