Инфоурок Алгебра КонспектыТеория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика

Скачать материал
библиотека
материалов



МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ по дисциплине: «МАТЕМАТИКА»

Тема: «ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ»

Пример 1. Вычислить: а) hello_html_m7c868d54.gif; б) hello_html_462c84fc.gif; в) hello_html_4aae66f0.gif.

Решение. а) hello_html_m63489283.gif.

б) Так как hello_html_7e5fdc25.gif и hello_html_cf50481.gif, то можно вынести за скобки hello_html_m351573f6.gif

Тогда получим

hello_html_6909790f.gif.

в) hello_html_m7aca92be.gif.

Пример 2. Сколькими способами можно расставлять на одной полке шесть различных книг?

Решение. Искомое число способов равно числу перестановок из 6 элементов, т.е.

hello_html_6e49c8e2.gif.

Пример 3. Сколько вариантов распределения трех путевок в санатории различного профиля можно составить для пяти претендентов?

Решение. Искомое число вариантов равно числу размещений из 5 элементов по 3 элемента, т.е.

hello_html_m7cf91f48.gif.

Пример 4. В бригаде из 25 человек нужно выделить четырех для работы на определенном участке. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Так как порядок выбранных четырех человек не имеет значения, то это можно сделать hello_html_5b0fb70a.gif способами.

Находим по первой формуле

hello_html_6c1d5e3.gif.

Кроме того, при решении задач используются следующие формулы, выражающие основные свойства сочетаний:

hello_html_da43d3e.gifhello_html_m42cbc59a.gif

(по определению полагают hello_html_7354d78d.gif и hello_html_26095040.gif);

hello_html_2e14cb4f.gif.


1.2. Решение комбинаторных задач

Задача 1. На факультете изучается 16 предметов. На понедельник нужно в расписание поставить 3 предмета. Сколькими способами можно это сделать?

Решение. Способов постановки в расписание трех предметов из 16 столько, сколько можно составить размещений из 16 элементов по 3.

hello_html_28fd3440.gif.

Задача 2. Из 15 объектов нужно отобрать 10 объектов. Сколькими способами это можно сделать?

Решение.

hello_html_m61db77d4.gif

Задача 3. В соревнованиях участвовало четыре команды. Сколько вариантов распределения мест между ними возможно?

Решение.

hello_html_m69c4476e.gif.

Задача 4. Сколькими способами можно составить дозор из трех солдат и одного офицера, если имеется 80 солдат и 3 офицера?

Решение. Солдат в дозор можно выбрать


hello_html_fee1839.gif

способами, а офицеров hello_html_m499f1f70.gif способами. Так как с каждой командой из солдат может пойти любой офицер, то всего имеется hello_html_44e352ea.gif способов.

Задача 5. Найти hello_html_m68bab4a0.gif, если известно, что hello_html_65dee635.gif.

Решение.

Так как hello_html_29fb4056.gif, то получим

hello_html_5f3bb23e.gif,

hello_html_m3f248db7.gif,

hello_html_m5853c451.gif,

hello_html_6cb7681d.gif

hello_html_m67ff833.gif, hello_html_39870689.gif.

По определению сочетания следует, что hello_html_m788ae860.gif, hello_html_17b84d9a.gif. Т.о. hello_html_m2f13d536.gif.

Ответ: 9

1.3. Понятие о случайном событии. Виды событий. Вероятность события

Пример. В коробке находится 30 пронумерованных шаров. Установить, какие из следующих событий являются невозможными, достоверными, противоположными:

достали пронумерованный шар (А);

достали шар с четным номером (В);

достали шар с нечетным номером (С);

достали шар без номера (Д).

Какие из них образуют полную группу?

Решение. А - достоверное событие; Д - невозможное событие;

В и С - противоположные события.

Полную группу событий составляют А и Д, В и С.

Вероятность события, рассматривается как мера объективной возможности появления случайного события.

1.4. Классическое определение вероятности

Задача 1. В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?

Решение. Общее число различных исходов есть n=1000. Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m=200. Согласно формуле, получим

hello_html_m732d7dcd.gif.

Задача 2. В партии из 18 деталей находятся 4 бракованных. Наугад выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что из этих 5 деталей две окажутся бракованными.

Решение. Число всех равновозможных независимых исходов n равно числу сочетаний из 18 по 5 т.е.

hello_html_6c374ccd.gif

Подсчитаем число m, благоприятствующих событию А. Среди 5 взятых наугад деталей должно быть 3 качественных и 2 бракованных. Число способов выборки двух бракованных деталей из 4 имеющихся бракованных равно числу сочетаний из 4 по 2:

hello_html_5d7ef9b3.gif.hello_html_m53d4ecad.gif

Число способов выборки трех качественных деталей из 14 имеющихся качественных равно

hello_html_m6df1f9d6.gif.

Любая группа качественных деталей может комбинироваться с любой группой бракованных деталей, поэтому общее число комбинаций m составляет

hello_html_44358851.gif.

Искомая вероятность события А равна отношению числа исходов m, благоприятствующих этому событию, к числу n всех равновозможных независимых исходов:

hello_html_m695a66ee.gif.

1.5. Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Суммой конечного числа событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них.

Сумму двух событий обозначают символом А+В, а сумму n событий символом А12+ … +Аn.

Теорема сложения вероятностей.

Задача 1. Имеется 100 лотерейных билетов. Известно, что на 5 билетов попадает выигрыш по 20000 руб., на 10 - по 15000 руб, на 15 - по 10000 руб., на 25 - по 2000 руб. и на остальные ничего. Найти вероятность того, что на купленный билет будет получен выигрыш не менее 10000 руб.

Решение. Пусть А, В, и С- события, состоящие в том, что на купленный билет падает выигрыш, равный соответственно 20000, 15000 и 10000 руб. так как события А, В и С несовместны, то

hello_html_m672ae184.gif.

Задача 2. На заочное отделение техникума поступают контрольные работы по математике из городов А, В и С. Вероятность поступления контрольной работы из города А равна 0,6, из города В - 0,1. Найти вероятность того, что очередная контрольная работа поступит из города С.

Решение. События «контрольная работа поступила из города А», «контрольная работа поступила из города В» и «контрольная работа поступила из города С» образуют полную систему, поэтому сумма их вероятностей равна единице:

hello_html_m3b163e89.gif, т.е. hello_html_m69df1fe1.gif.

Задача 3. Вероятность того, что день будет ясным, hello_html_63910d0d.gif. Найти вероятность hello_html_4b55ae08.gif того, что день будет облачным.

Решение. События «день ясный» и «день облачный» противоположные, поэтому

hello_html_3c06349f.gif, т.е hello_html_m5e023acf.gif.

1.6. Теорема умножения вероятностей независимых событий

Задача 1. Вычислить вероятность того, что в семье, где есть один ребенок- мальчик, родится второй мальчик.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что в семье два мальчика, а событие В - что один мальчик.

Рассмотрим все возможные исходы: мальчик и мальчик; мальчик и девочка; девочка и мальчик; девочка и девочка.

Тогда hello_html_m4c606b63.gif, hello_html_22a9d737.gif и по формуле находим

hello_html_m390dc6f2.gif.

Задача 2. В первой урне находится 6 черных и 4 белых шара, во второй- 5 черных и 7 белых шаров. Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

Решение. Пусть hello_html_7ac628b4.gif - из первой урны извлечен белый шар; hello_html_m59aabe55.gif- из второй урны извлечен белый шар. Очевидно, что события hello_html_7ac628b4.gif и hello_html_m59aabe55.gif независимы.

Так как hello_html_m2b8a608b.gif, hello_html_4e19daad.gif, то по формуле hello_html_m28441c19.gif находим

hello_html_m1b43628.gif.

Задача 3. Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента равна 0,2; вероятность выхода из строя второго элемента равна 0,3. Найти вероятность того, что: а) оба элемента выйдут из строя; б) оба элемента будут работать.

Решение. Пусть событие А- выход из строя первого элемента, событие В- выход их строя второго элемента. Эти события независимы (по условию).

а) Одновременное появление А и В есть событие АВ. Следовательно,

hello_html_m137828ba.gif.

б) Если работает первый элемент, то имеет место событие hello_html_m76b59bc0.gif (противоположное событию А- выходу этого элемента из строя); если работает второй элемент- событие В. Найдем вероятности событий hello_html_m76b59bc0.gif и hello_html_5a47c03f.gif:

hello_html_25a7ac89.gif;

hello_html_518fd8fa.gif.

Тогда событие, состоящее в том, что будут работать оба элемента, есть hello_html_m48524aff.gif и, значит,

hello_html_m62c6c52e.gif.

II. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА, ЕЕ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

2.1. Случайная величина, способы ее задания

Случайной называется величина, которая в результате испытания может принять то или иное числовое значение, причем заранее неизвестно, какое именно.

Если для какой- либо величины ее измерение повторять многократно в практически одинаковых условиях, то обнаружится, что всякий раз получаются несколько отличные друг от друга результаты. Это складывается влияние причин двух видов: 1) основных, определяющих главное значение результата; 2) второстепенных, обуславливающих их расхождение.

При совместном действии этих причин понятия необходимости и случайности оказываются тесно связанными между собой, но необходимое преобладает над случайным.

Таким образом, возможные значения случайных величин принадлежат некоторым числовым множествам.

Случайным является то, что на этих множествах величины могут принять любое значение, но какое именно, заранее сказать нельзя.

Случайная величина связана со случайным событием.

Если случайное событие - качественная характеристика испытаний, то случайная величина - его количественная характеристика.

Случайные величины обозначают заглавными латинскими буквами hello_html_m2d84e20f.gif а их значение – прописными- hello_html_m5c080b23.gif.

Вероятность того, что случайная величина hello_html_m683b88d2.gif примет значение hello_html_2475e029.gif обозначают:

hello_html_62773dc9.gifи т.д.

Случайные величины задают законами распределения.

Закон распределения случайной величины - это соответствие, установленное между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Законы распределения могут быть заданы тремя способами: табличным, графическим, аналитическим. Способ задания зависит от типа случайной величины.

Различают два основных типа случайных величин: дискретные и непрерывно распределенные случайные величины.

2.2. Дискретная и непрерывная случайные величины

Если значения, которые может принимать данная случайная величина hello_html_m683b88d2.gif, образует дискретный (конечный или бесконечный) ряд чисел hello_html_1c0daa43.gif то и сама случайная величина hello_html_m683b88d2.gif называется дискретной.

Если же значения, которые может принимать данная случайная величина hello_html_m683b88d2.gif, заполняют конечный или бесконечный промежуток (а, в) числовой оси Ох, то случайная величина называется непрерывной.

Каждому значению случайной величины дискретного типа hello_html_3a8429bc.gif отвечает определенная вероятность hello_html_m1f82ab0e.gif; каждому промежутку (а, в) из области значений случайной величины непрерывного типа также отвечает определенная вероятность hello_html_555d63de.gifтого, что значение, принятое случайной величиной, попадает в этот промежуток.

2.3. Закон распределения случайной величины

Соотношение, устанавливающее тем или иным способом связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называется законом распределения случайной величины.

Закон распределения дискретной случайной величины обычно задается рядом распределения:

При этом hello_html_m1f801e43.gif, где суммирование распространяется на все (конечное или бесконечное) множество возможных значений данной случайной величины hello_html_m683b88d2.gif.

Закон распределения непрерывной случайной величины удобно задавать с помощью функции плотности вероятности hello_html_m126dd65f.gif.

Вероятность hello_html_555d63de.gifтого, что значение, принятое случайной величиной hello_html_m683b88d2.gif, попадет в промежуток (а, в), определяется равенством

hello_html_4dec8882.gif.

График функции hello_html_m126dd65f.gifназывается кривой распределения. Геометрически вероятность попадания случайной величины в промежуток (а, в) равна площади соответствующей криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения, осью Ох и прямыми х=а, х=в.

Полотно 28

Задача 1. Даны вероятности значений случайной величины hello_html_m683b88d2.gif: значение 10 имеет вероятность 0,3; значение 2 – вероятность 0,4; значение 8 – вероятность 0,1; значение 4 – вероятность 0,2. Построить ряд распределения случайной величины hello_html_m683b88d2.gif.

Решение. Расположив значения случайной величины в возрастающем порядке, получим ряд распределения:

Возьмем на плоскости хОр точки (2; 0,4), (4; 0,2), (8; 0,1) и (10; 0,3). Соединив последовательные точки прямолинейными отрезками, получим многоугольник (или полигон) распределения случайной величины hello_html_m683b88d2.gif

hello_html_m32deb0f5.gif

х

Задача 2. Разыгрываются две вещи стоимостью по 5000 руб и одна вещь стоимостью 30000 руб. Составить закон распределения выигрышей для человека, купившего один билет из 50.

Решение. Искомая случайная величина hello_html_m683b88d2.gifпредставляет собой выигрыш и может принимать три значения: 0, 5000 и 30000 руб. Первому результату благоприятствует 47 случаев, второму результату - два случая и третьему – один случай. Найдем их вероятности:

hello_html_m2372419a.gif; hello_html_m23d1a1bb.gif; hello_html_10d7f190.gif.

Закон распределения случайной величины имеет вид:

В качестве проверки найдем

hello_html_33e5efc8.gif.

Задача 3. Случайная величина hello_html_m683b88d2.gifподчинена закону распределения с плотностью hello_html_m126dd65f.gif, причем

hello_html_m73cc8571.gif

Требуется: 1) Найти коэффициент а; 2) построить график распределения плотности hello_html_m5dac87fd.gif; 3) найти вероятность попадания hello_html_m683b88d2.gifв промежуток (1; 2).

Решение. 1) Так как все значения данной случайной величины заключены на отрезке [0; 3], то

hello_html_m5698e14d.gif, откуда

hello_html_m7610ac42.gif, или

hello_html_7cb1ed8c.gif, т.е. hello_html_m30309796.gif.

2) Графиком функции hello_html_m126dd65f.gifв интервале [0; 3] является парабола hello_html_m30ade56c.gif, а вне этого интервала графиком служит сама ось абсцисс.

hello_html_m50ed28a6.gif

3

х

) Вероятность попадания случайной величины hello_html_m683b88d2.gifв промежуток (1; 2) найдется из равенства

hello_html_b982aa3.gif.

2.4. Биномиальное распределение

Пусть производится определенное число n независимых опытов, причем в каждом из них с одной и той же вероятностью может наступить некоторое событие Р. Рассмотрим случайную величину hello_html_m683b88d2.gif, представляющую собой число наступлений событий A в n опытах. Закон ее распределения имеет вид

Где hello_html_m22c4400b.gif, вычисляется по формуле Бернулли.

hello_html_m749ca190.gif

Закон распределения, который характеризуется такой таблицей, называется биноминальным.

Задача. Монету подбрасывают 5 раз. Составить закон распределения случайной величины hello_html_m683b88d2.gif- числа выпадения герба.

Решение. Возможны следующие значения случайной величиныhello_html_m683b88d2.gif: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Зная, что вероятность выпадения герба в одном испытании равна hello_html_2b2ed72.gif, найдем вероятности значений случайной величины hello_html_m683b88d2.gif по формуле Бернулли:

hello_html_m51568be9.gif;

hello_html_6bf6b3eb.gif;

hello_html_mcf42cb0.gif;

hello_html_m1f879ab9.gif;

hello_html_43ac2b6a.gif;

hello_html_39d6a176.gif.

Закон распределения имеет вид

Сделаем проверку:

hello_html_m608bb586.gif.

III. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

3.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины

Пример 1. Найти математическое ожидание случайной величины hello_html_m683b88d2.gif, зная закон ее распределения


Решение.

hello_html_44459621.gif.

Свойства математического ожидания.

1.Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

hello_html_5f73484d.gif

2.Математическое ожидание постоянной величины С равно самой этой величине:

hello_html_5ff326d7.gif

3.Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

hello_html_5ea81579.gif.

4.Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин:

hello_html_198c5cc1.gif.

3.2. Среднее квадратичное отклонение и дисперсия случайной величины.

Пример 2. Найдем математическое ожидание случайных величин hello_html_m683b88d2.gif и hello_html_m7a6a5c9e.gif, зная законы их распределения




1)

2)

Решение:

hello_html_m26a2cc75.gif,

hello_html_m18544a0d.gif.

Пhello_html_m2ab838b1.gif

a)

олучили любопытный результат: законы распределения величин hello_html_m683b88d2.gifи hello_html_m7a6a5c9e.gifразные, а их математические ожидания одинаковы.



б)




Из рисунка б видно, что значение величины hello_html_m7a6a5c9e.gifболее сосредоточены около математического ожидания hello_html_m3090f54b.gif, чем значения величины hello_html_m683b88d2.gif, которые разбросаны (рассеяны) относительно ее математического ожидания hello_html_m2442100e.gif(рисунок а).

Основной числовой характеристикой степени рассеяния значений случайной величины hello_html_m683b88d2.gif относительно ее математического ожидания hello_html_m5e31f20c.gifявляется дисперсия, которая обозначается через hello_html_m4832af1b.gif.

Пример 3. Дискретная случайная величина распределена по закону:

Найти hello_html_m4832af1b.gif.

Решение. Сначала находим hello_html_m5e31f20c.gif.

hello_html_m6932da23.gif,

а затем hello_html_m5496af9c.gif.

hello_html_m6792ac3a.gif.

По формуле hello_html_m73ae9f1.gif имеем

hello_html_m578b4956.gif.

Средним квадратичным отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:

hello_html_72f28e08.gif.

IV. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

Комбинаторика

  1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9 при условии, что ни одна цифра в числе не повторяется?



  1. Сколько существует вариантов распределения трех призовых мест, если в розыгрыше участвуют 7 команд?



  1. Сколькими способами можно выбрать двух студентов на конференцию, если в группе 33 человека?


  1. Решить уравнения

а) hello_html_1c76701e.gif. б) hello_html_m440378c6.gif.

  1. Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0, 1, 2, 5, 7, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?



  1. Из группы в 15 человек должны быть выделены бригадир и 4 члена бригады. Сколькими способами это можно сделать?



  1. Буквы азбуки Морзе состоят из символов (точек и тире). Сколько букв можно изобразить, если потребовать, чтобы каждая буква содержала не более пяти символов?



  1. Сколькими способами можно составить четырехцветные ленты из семи лент различных цветов.



  1. Сколькими способами можно выбрать четырех лиц на четыре различные должности из девяти кандидатов?

  2. Сколькими способами можно выбрать 3 из 6 открыток?

  3. Перед выпуском группа учащихся в 30 человек обменялась фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек.

  4. Сколькими способами можно рассадить 10 гостей по десяти местам за праздничным столом?

  5. Сколько всего игр должны провести 20 футбольных команд в однокруговом чемпионате?

  6. Сколькими способами можно распределить 12 человек по бригадам, если в каждой бригаде по 6 человек?

Теория вероятностей

  1. В урне находиться 7 красных и 6 синих шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара красные (событие А)?

  2. Девять различных книг расставлены наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что четыре определенные книги окажутся поставленными рядом (событие С).

  3. Из 10 билетов выигрышными являются 2. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу 5 билетов, один выигрышный.

  4. из колоды карт (52 карты) наудачу извлекают 3 карты. Найти вероятность того, что это тройка, семерка, туз.

  5. Ребенок играет с пятью буквами разрезной азбуки А, К, Р, Ш, Ы. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд он получит слово «Крыша».

  6. В ящике находятся 6 белых и 4 красных шара. Наудачу берут два шара. Какова вероятность того, что они окажутся одного цвета?

  7. В первой урне находятся 6 черных и 4 белых шара, во второй – 5 черных и 7 белых шаров. Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми?

Случайная величина, математическое ожидание и дисперсия случайной величины

  1. Составить закон распределения числа попаданий в цель при шести выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,4.

  2. Вероятность того, что студент найдет в библиотеке нужную ему книгу, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые он посетит, если в городе четыре библиотеки.

  3. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает делать не более четырех выстрелов. Найти дисперсию числа промахов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7.

  4. Найти математическое ожидание случайной величины X, если закон ее распределения задан таблицей:

  1. На заводе работают четыре автоматические линии. Вероятность того, что в течении рабочей смены первая линия не потребует регулировки, равна 0,9, вторая – 0,8, третья – 0,75, четвертая – 0,7. найти математическое ожидание числа линий, которые в течение рабочей смены не потребуют регулировки.

  2. Найти дисперсию случайной величины Х, зная закон ее распределения:



V. ОТВЕТЫ



Комбинаторика

1. hello_html_2568da09.gif. 2. hello_html_7017489a.gif. 3. hello_html_m56391b4b.gif. 4. а) hello_html_m2843de53.gif, 5; б) hello_html_1c9e8322.gif. 5. hello_html_217d742e.gif. 6.hello_html_m76f2136e.gif. 7. hello_html_m15c49c9e.gif. 8. hello_html_m5d7b13e5.gif. 9.hello_html_m3d6952be.gif. 10.hello_html_m2c2238f7.gif. 11. hello_html_m670dc174.gif. 12. hello_html_37be8f96.gif. 13. 190. 14. 924.



Теория вероятностей

1. hello_html_m50f218f8.gif 2.hello_html_m5ae1fde2.gif 3. hello_html_m281b3b8b.gif 4. hello_html_m17e223f8.gif5. hello_html_m26a51140.gif6.hello_html_m37f90514.gif 7. hello_html_m6dab4715.gif



Случайная величина, математическое ожидание и дисперсия случайной величины.

1.

2.

3. hello_html_4cff357a.gif 4. hello_html_49f74d6f.gif 5.hello_html_4e9093fa.gif 6.hello_html_m1378e27c.gif.


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная:

  1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: Высшая школа, 1990. – 495 с.

  2. Соловейчик И.Л. Сборник задач по математике для техникумов / И.Л.Соловейчик, В.Т. Лисичкин. – М.: Оникс 21 век, 2003. – 464 с.

  3. Валуцэ И.И. Математика для техникумов / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул. - М.: Наука, 1989. – 575 с.

  4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В двух частях. Часть II / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа, 1986. – 415 с.

  5. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1975. – 872 с.

Дополнительная:

  1. Григулецкий В.Г. Математика для студентов экономических специальностей. Часть 2 / В.Г. Григулецкий, И.В. Лукьянова, И.А. Петунина. – Краснодар, 2002. – 348 с.

  2. Малыхин В.И. Математика в экономике. – М.: Инфра-М, 1999. – 356 с.

  3. Гусак А.А. Высшая математика. В 2-х т., Т.2. – учебное пособие для студентов вузов. – М.: ТетраСистемс, 1988. – 448 с.

  4. Григулецкий В.Г. Высшая математика / В.Г. Григулецкий, З.В. Ященко. – Краснодар, 1998.-186 с.

  5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2000. – 400 с.







  • Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
    Пожаловаться на материал
Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Скачать материал
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация
Учебник: «Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
Тема: Глава 12. Элементы теории вероятностей

Номер материала: ДБ-1008000

Скачать материал

Вам будут интересны эти курсы:

Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Применение MS Word, Excel в финансовых расчетах»
Курс повышения квалификации «Маркетинг в организации как средство привлечения новых клиентов»
Курс профессиональной переподготовки «Организация менеджмента в туризме»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Корпоративная культура как фактор эффективности современной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Методика организации, руководства и координации музейной деятельности»
Курс профессиональной переподготовки «Организация деятельности по водоотведению и очистке сточных вод»
Курс профессиональной переподготовки «Технический контроль и техническая подготовка сварочного процесса»
Курс профессиональной переподготовки «Стандартизация и метрология»

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.