Тезис к выступлению на научно-практической конференции. Методы решения тригонометрических уравнений

       В своей работе я хочу разобрать основные методы решения тригонометрических уравнений.      Тема «Решение тригонометрических уравнений» – это одна из самых сложных тем в школьном курсе математики. Тригонометрические уравнения возникают при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях. Тригонометрические уравнения встречаются во второй части вариантов ЕГЭ математики профильного уровня.

      Любой метод решения тригонометрических уравнений состоит в том, чтобы привести их к простейшим, то есть к уравнениям вида sinx = a, cosx = а, tgx = a, ctgx = a. Простейшие тригонометрические уравнения учащиеся умеют решать. Другие являются специфическими именно для тригонометрии.     

      Главное отличие тригонометрических уравнений от алгебраических состоит в том, что в алгебраических уравнениях конечное число корней, а в тригонометрических – бесконечное, что  усложняет отбор корней. Еще одной спецификой тригонометрических уравнений является неединственность формы записи ответа.

      Опыт показывает, что учащиеся в недостаточной степени овладевают умением решать тригонометрические функции, часто допускают ошибки при их решении и не владеют способами их решения.

Выше изложенное побудило меня разработать методику решения тригонометрических уравнений и выделить основные способы решения тригонометрических уравнений.

      Целью моего педагогического проекта является разработка методики обучения учащихся решению тригонометрических уравнений.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1.     проанализировать действующий учебник алгебры и начала анализа для выявления представленной в нем методики решения тригонометрических уравнений;

2.     изучить стандарты образования по данной теме;

3.     изучить статьи и учебно-методическую литературу по данной теме;

4.     подобрать теоретический материал, связанный с решением тригонометрических уравнений;

5.     рассмотреть различные методы решения тригонометрических уравнений;

6.     разработать план-конспект урока.

      Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрических функций.

      Уравнения вида sinx = a; cosx = a; tgx = a; ctgx = a, где x – переменная, aR , называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

Необходимых формул по тригонометрии не так уж много. Их нужно знать наизусть.

Формулы:

sinx = a     x =

sinx = 0     x =

sinx = 1     x =  +

sinx = -1    x = -  +

cosx = a      x = ± arccos a +

cosx = 0     x =  +

cosx = 1     x =

cosx = -1    x =  +

tgx = a       x = arctg a +  

ctgx = a      x = arcctg a +                                               

      Чтобы научиться успешно решать простейшие тригонометрические уравнения необходимо следующее:

·        уметь отмечать точки на числовой окружности;

·        уметь определять значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для точек числовой окружности;

·        знать свойства основных тригонометрических функций;

·        знать понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса и уметь отмечать их на числовой окружности.

Некоторые из методов (например, замена переменной или разложение на множители) являются универсальными, то есть применяются и в других разделах математики.

Различают следующие методы решения тригонометрических уравнений:

- Замена переменной и сведение к квадратному уравнению;

- Разложение на множители;

- Однородные тригонометрические уравнения;

- Решение уравнений с применением формул:

Решение уравнений с применением формул понижения степени

Пример 1         + -  -  = 0

Применив формулу, получим уравнение

                         +  –  –  = 0

                        (cos8x – cos2x) + (cos6x – cos4x) = 0

                        -2sin3xsin5x – 2sinxsin5x = 0

                        -2sin5x(sin3x + sinx) = 0

                        -4sin5xsin2xcosx = 0

Ответ:  x = ,  +

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение, преобразование произведения тригонометрических функций в сумму, решение уравнений с применением формул тройного аргумента;

- Введение дополнительного угла.

Также в работе представлены конспекты уроков по теме: Обобщающий урок с элементами тренинга и тренининг-выбор.

Я считаю, что поставленные мною задачи, достигнуты. Результат данной работы может быть использован в качестве учебного материала при подготовке к ЕГЭ, при составлении элективного курса для интересующихся математикой школьников.

-