Творческая работа "Теория принятия решений"

Основные данные о работе

Версия шаблона	1.1
Филиал	Бежецкий
Вид работы	Творческая работа
Название дисциплины	Теория принятия решений
Тема	Предмет теории игр. Основные понятия. Чистые и смешанные стратегии. Платежная матрица. Принцип минимакса.
Фамилия студента	Забелина
Имя студента	Мария
Отчество студента	Владимировна
№ контракта	0713012400509031

Содержание

Основная часть

Предмет теории игр. Основные понятия. Чистые и смешанные  стратегии. Платежная матрица. Принцип минимакса…………………………………………….3-8

Основная часть

Предмет теории игр. Основные понятия. Чистые и смешанные стратегии. Платежная матрица. Принцип минимакса.

Область математики, которая изучает задачи принятия решений, получила название теории игр. Задачи теории игр относятся к области приятия решений в условиях неопределенности, а их специфика состоит в том, что подразумевается неопределенность, возникающая в результате действий двух или более противников, которые способны оптимизировать свое поведение за счет других.

Предметом теории игр являются такие ситуации, в которых важную роль играют конфликты и совместные действия.

Оптимальные решения предлагались еще в XVIII веке. Теория игр берет свое начало от работ ученого Бореля в 1921 году, а принципиальным ее этапом становления как самостоятельного научного направления стала монография Джона фон Неймана, вышедшая в 1944 году. В 1928 году в математических анналах фон Нейманом была опубликована  статья «О теории общественных игр», в ней впервые было применено понятие «теория игр». Математическая теория игр берет свое начало из неоклассической экономики.

В 1949 году Дж. Нэш пишет диссертацию по теории игр. В своих трудах он разработал принципы «управленческой динамики». Первые концепции теории игр анализировали антагонистические игры, когда есть проигравшие и выигравшие за их счет игроки. Нэш разработал методы анализа, в которых все участники или выигрывают, или проигрывают.

К основным понятиям теории игр относят – конфликтные ситуации, игра, игроки, ход, решение игры, стратегия, оптимальная стратегия.

Конфликтные ситуации  - это ситуации, в которых могут сталкиваются интересы лиц, преследующих различные цели.

Игра -  это упрощенная формализованная модель конфликтной ситуации, математическое описание которой предполагает задание: определенных правил действий сторон в процессе игры, вариантов действий сторон, исходов игры для каждого варианта, объем информации каждой стороны о поведении всех  других сторон. Игра ведется по вполне определенным правилам, под которыми понимается система условий, регламентирующая возможные варианты действий игроков.

Игроки являются участниками (сторонниками) игры.

В теории игр предполагается, что игра состоит из ходов, выполняемых игроками одновременно или друг за другом. Ход представляет собой действие в процессе игры, выбор одного из  предполагаемых правилами действия и их осуществление. Ходы делятся на личные и случайные. Личным ходом называется сознательный выбор игроком одного из возможных вариантов действий и его осуществление. Случайным ходом называется выбор из ряда возможностей, осуществляемый не решением игрока, а каким – либо механизмом случайного выбора. Для каждого случайного хода правила игры определяют распределение вероятностей возможных исходов. Некоторые игры состоят только из случайных ходов, например азартные игры, а другие состоят только из личных ходов, например шашки или шахматы. Совокупность ходов, предпринятых игроками от начала до конца игры, принято называть партией. Партия – это частная реализация игры.

Решение игры – это распределение платежа, возникающее при некотором рациональном выборе ходов участниками игры и оптимальные стратегии сторон.

Стратегией является набор правил, которые однозначно указывают какой выбор должен  сделать игрок в зависимости от условий. В каждой игре правилами предусмотрен выигрыш для игроков в зависимости от применяемых стратегий и результата игры.

Оптимальная стратегия – это стратегия, которая обеспечивает каждому игроку при многократном повторении игры максимально возможный выигрыш либо минимально возможный проигрыш.

Игровые модели – это упрощенные математические модели конфликтов. Для моделирования конфликтных ситуаций разработан специальный аппарат – математическая теория игр. Каждая игра характеризуется количеством игроков, которые участвуют в конфликте, вариантом действий для каждого игрока и функциями выигрыша или проигрыша в результате выхода из конфликта.

Различают чистые и смешанные стратегии.

Стратегия игрока в игре представляет собой полный план действий при всевозможных ситуациях, способных возникнуть. Стратегия определяет действие игрока в любой момент игры и для каждого возможного течения игры, способного привести к каждой ситуации.

Если в игре каждый из противников применяет только одну и ту же стратегию, то про саму игру тогда говорят, что она происходит в чистых стратегиях, а используемые игроком А и игроком В пара стратегий называются чистыми стратегиями. Чистая стратегия дает полную определенность каким образом игрок продолжит игру.  Пространством стратегий называют множество всех чистых стратегий доступных данному игроку.

Чистую стратегию А_i игрока А называют оптимальной, если при ее применении выигрыш игрока А не уменьшается, какими бы своими стратегиями не пользовался игрок В. Оптимальной для игрока В называют чистую стратегию, при использование которой проигрыш игрока В не увеличивается, какие бы стратегии не использовал игрок А.

Случайная величина, значениями которой являются чистые стратегии игрока,  называется его смешанной стратегией. Задание смешанной стратегии игрока состоит в указании тех вероятностей, с которыми выбираются его чистые стратегии. Применение  смешанных стратегий осуществляется так – игра повторяется много раз, но в каждой партии игрок применяет различные чистые стратегии, но с относительными частотами их применения.

Смешанные стратегии в теории игр представляют собой модель изменчивой, гибкой тактики, когда ни один из игроков не знает, какую чистую стратегию выберет противник в  данной партии. Каждая чистая стратегия является частным случаем смешанной, когда вероятность данной чистой стратегии единица и у всех других нулевая вероятность.

Парную игру с нулевой суммой удобно исследовать, если она описана в виде матрицы. Например, если игрок А имеет m стратегий, а игрок В – n стратегий. Такая игра называется игрой размерности m*n. Пусть игрок А выбрал одну из возможных стратегий А_i . Игрок В выбрал стратегию В_j . Для каждой пары стратегий определен платеж а_ij второго игрока первому, то есть выигрыш игрока А. Выигрышем игрока В будет соответственно (-а_ij). Никакой дискриминации по отношению ко второму игроку здесь не происходит. Такая игра называется матричной, а матрица, составленная из чисел а_ij, называется платежной.

Платежная матрица – это один из методов статистической теории решений, метод, который может оказать помощь руководителю в выборе одного из нескольких вариантов. Он особенно полезен, когда руководитель должен установить, какая стратегия в наибольшей мере будет способствовать достижению целей.

Платежная матрица бывает очень полезна, если  имеется разумно ограниченное число альтернатив или вариантов стратегии для выбора между ними, если то, что может случиться, с полной вероятностью не известно или если результаты принятого решения зависят от того, какая именно выбрана альтернатива, и какие события в действительности имеют место.

Величина В называется верхней ценой игры иначе минимаксным выигрышем или минимаксом. Соответствующая выигрышу В противника называется его министратегий.

Существует теорема о минимаксе. Для матричной игры с любой матрицей А величины существуют и равны между собой.

Принцип минимакса представляет собой принцип оптимальности в антагонистических играх, выражающей стремление каждого из игроков к получению наибольшего гарантированного выигрыша. Данный принцип реализуем в антагонистической игре Г=<А, В, Н>, если справедливо равенство v=max inf H (a,b)=min sup H (a,b)? a'A b'B b'B a'A, то есть если существуют значение игры, равное v, и оптимальные стратегии у обоих игроков.

Принцип минимакса математически выражает интуитивно понимаемую идею устойчивости, так как ни одному из игроков невыгодно отклоняться от своих оптимальных стратегий. Вместе с тем этот принцип гарантирует игроку 1 или 2 получение выигрыша или проигрыша, не меньшего или не большего, чем значение игры.

Наибольших успехов теория игр добилась в изучении так называемых парных игр с нулевой суммой. В этом случае выделяют две стороны – выигрыши, полученные одной стороной в процессе развития конфликта в результате выбора обеими сторонами определенных способов  действий, равны проигрышам другой стороны

Именно в таких играх работает принцип минимакса, который был доказан Джоном фон Нейманом.

Таким образом, теория игр представляет собой математическую теорию конфликтных ситуаций, разрабатывающая  рекомендации по наиболее рациональному образу действий каждого из участников в конфликте, то есть таких действий, которые обеспечили бы ему наилучший результат.

Краткое описание документа:

Область математики, которая изучает задачи принятия решений, получила название теории игр. Задачи теории игр относятся к области приятия решений в условиях неопределенности, а их специфика состоит в том, что подразумевается неопределенность, возникающая в результате действий двух или более противников, которые способны оптимизировать свое поведение за счет других.