Урок алгебры в 9 классе "ФОРМУЛА СУММЫ ПЕРВЫХ п ЧЛЕНОВ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ"

формула суммы первых п членов
арифметической прогрессии

Урок алгебры в 9 классе, учитель Султангареева Лидия Актариевна.

Цели:

·        Образовательные:

    - вывести формулу суммы первых п членов арифметической прогрессии; формировать умение применять эту формулу при решении задач;

   -  подготовка  к итоговой аттестации.

·        Развивающие:

  - активизировать  познавательную  деятельность  учащихся;

  - с помощью решения  задач исследовательского характера развивать            интеллектуальные качества личности школьника: самостоятельность, обобщение, быстрое  переключение;

 - способствовать формированию навыков самостоятельной работы.

·        Воспитательные:

 - показать  необходимость  знания  математики  при  решении  жизненных,  исторических задач.

Ход урока

I.                  Организационный момент.

  - Здравствуйте, ребята!. Садитесь, пожалуйста. Сегодняшний урок я хотела бы начать словами А.С. Пушкина:

   «О, сколько нам открытий чудных….

         Готовит просвещенья дух,

         И опыт, - сын ошибок трудных,

         И гений, - парадоксов друг»

       Я хочу, чтобы наша встреча сегодня принесла много открытий, опыта и хорошего настроения.

       Вместе с вами мы будем двигаться только вперёд, т.к. слово «Прогрессио» в переводе с греческого языка означает движение вперёд.

     - Итак, ребята, тема нашего сегодняшнего урока (слайд 1).

     - Сообщение цели урока.

II. Актуализация знаний.

У с т н о:

1. Сформулируйте определение арифметической прогрессии.

2. Приведите пример арифметической прогрессии.

3. Сформулируйте определение разности арифметической прогрессии.

4. Назовите формулу п-го члена арифметической прогрессии (слайд 2).

П и с ь м е н н о: (слайд 3).

В а р и а н т  1. № 578 (а).

В а р и а н т  2. № 578 (б).

III. Объяснение нового материала.

1. Создание проблемной ситуации.

З а д а ч а. Ученик мастера изготовил в первую неделю работы 15 гончарных изделий, а в каждую следующую неделю изготовлял на 5 изделий больше, чем в предыдущую. Сколько изделий ученик изготовил за восьмую неделю? Сколько изделий ученик изготовил всего в течение десяти недель? (слайд 4)

Ответ на первый вопрос ученики знают, как получить, такие задачи решались  ими  на  прошлых  занятиях.  Количество  изготовленных  изделий в первую, вторую и т. д. недели можно обозначить а₁, а₂,… а_п, …, причем (а_п) – арифметическая прогрессия с разностью d = 5 и первым членом а₁ = 15. За восьмую неделю ученик изготовил гончарных изделий:

а₈ = 15 + 5 (8 – 1) = 50.

Для ответа на второй вопрос ученики могут предложить только такой способ  решения:  подсчитать  количество  изделий,  выполненных за 2-ю, 3-ю, …, 10-ю неделю, и сложить. Это очень долго. А если в задаче нужно будет найти сумму ста членов арифметической прогрессии, тысячи? Возникает проблема – нужна общая формула.

2. Пример из истории математики.  (слайд 5)

С формулой суммы п первых членов арифметической прогрессии связан эпизод из жизни немецкого математика Карла Гаусса (1777–1855). Маленькому Карлу было 9 лет, когда учитель, занятый проверкой работ учеников, предложил классу сложить все натуральные числа от 1 до 100, рассчитывая надолго занять детей. Каково же было удивление преподавателя, когда через несколько минут Гаусс подошел к нему с верным ответом! Он подошел к решению творчески, заметив, что можно складывать числа не подряд, а парами: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 … и т. д. Легко увидеть, что сумма чисел в каждой паре равна 101, а таких пар 50, значит общая сумма равна 101 · 50 = 5050.

А можно ли с помощью рассуждений, аналогичных тем, что проводил маленький Гаусс, найти сумму первых п членов любой арифметической прогрессии?

3. Вывод формулы.

Пусть (а_п) – арифметическая прогрессия.

Обозначим S_n сумму п первых членов арифметической прогрессии.

S_n = а₁ + а₂ + а₃ + а₄ + … + а_{п – 1} + а_п                       (1)

S_n = а_п + а_{п – 1} + а_{п – 2} + а_{п – 3} + … + а₂ + а₁                           (2)

Докажем, что сумма каждой пары членов прогрессии, расположенных друг под другом, равна а₁ + а_п.

a₂ + a_{n – 1} = (a₁ + d) + (a_n – d) = a₁ + a_n;

a₃ + a_{n – 2} = (a₂ + d) + (a_{n – 1} – d) = a₂ + a_{n – 1} = a₁ + a_n;

a₄ + a_{n – 3} = (a₃ + d) + (a_{n – 2} – d) = a₃ + a_{n – 2} = a₁ + a_n   и т. д.

Число таких пар равно п. Складываем почленно (1) и (2) и получаем

2S_n = (a₁ + a_n) · n.

– формула суммы п первых членов    арифметической прогрессии.

Обычно арифметическая прогрессия задается первым членом и разностью, поэтому удобно иметь еще формулу суммы п первых членов, выраженную через а₁ и d арифметической прогрессии.

S_n =  · n, а_п = а₁ + d (п – 1);

S_n =  · n;

	– формула суммы п первых членов    арифметической прогрессии.
(слайд 6)

4. Пример.

Вернемся к задаче про ученика мастера. В течение 10 недель ученик мастера изготовил

S₁₀ =  · 10 = 375 изделий.

IV. Формирование умений и навыков.

Так как формул суммы п первых членов арифметической прогрессии две, то необходимо сперва выяснить, в заданиях какого вида лучше использовать каждую из них, а затем при решении упражнений анализировать условие и выбирать формулу.

Упражнения:

1) Найти сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии 4; 5,5; … (слайд 7).

Р е ш е н и е

а₁ = 4, d = 1,5, значит, по формуле II:

а₃₀ =  · 30 = 772,5 (слайд 8).

2) Найти сумму первых сорока членов последовательности (а_п), заданной формулой а_п = 5 · п – 4 (слайд 9).

Последовательность  (а_п)  задана  формулой  вида  а_п = kn + b, где k = 5 и b = –4, значит, (а_п) – арифметическая прогрессия. Если применять формулу II, то для этого сперва надо найти а₁, а₂ , затем d как разность а₁ – а₂. Это неудобно, проще сразу найти а₁, а₄₀ и подставить в формулу I.

а₁ = 5 · 1 – 4 = 1; а₄ = 5 · 40 – 4 = 196;

S₄₀ =  = 3940  (слайд 10).

3) Решить № 603, № 604. На «прямое» применение формул I и II. Самостоятельное решение с последующей проверкой.

4) Решить № 606 на доске и в тетрадях.

5) Решить № 608 (а). У доски с объяснением. Здесь необходимо «увидеть», что последовательность  слагаемых – арифметическая  прогрессия, где а₁ = 2, d = 2 и количество слагаемых равно п, можно применить формулу II. А можно задать эту прогрессию формулой а_п = 2п и применить формулу I (слайд 11).

V. Итоги урока.

В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:

– Назовите формулу суммы первых п членов арифметической прогрессии (2 вида).

– В каких случаях удобнее применять формулу I, II? (слайд 12).

Домашнее задание: п. 26, № 605, № 607, № 608 (б), № 621 (а) стр. 151-152 (слайд 13).