Урок "Определение геометрической прогрессии"

17.02.2023 г.         9 класс.          Алгебра.        У р о к  №  68                                                                                                                                                                                                                                                                      Учитель  Закерьяева Мевиде Мамметовна

Тема урока:

Определения геометрической прогрессии.

Формируемые результаты:                                                                                                                      Предметные: умение пользоваться математическими формулами и самостоятельно составлять формулы зависимостей между величинами                                                                 Личностные: креативность мышления, инициатива, находчивость, активность при решении алгебраических задач;

 Метапредметные: умение  организовывать учебное  сотрудничество  и  совместную деятельность с учителем и сверстниками, умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации

Планируемые результаты: решать комбинированные задачи с применением формул n-го члена и суммы первых n членов геометрической прогрессии

Тип урока: Урок формирования умений и навыков .

Ход урока                                                                                     

1. Организационный момент.

2 .Проверка выполнения домашнего задания.                                                                                                

3. Притча про шахматы.

Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индийский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что игра изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку.

Изобретатель — его звали Сета — явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.

— Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал,— сказал царь.

Мудрец поклонился.

— Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание,— продолжал царь.— Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее.

Сета молчал.

— Не робей,— ободрил его царь.— Выскажи свое желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его!

— Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок обдумать ответ. Завтра, по зрелом размышлении, я сообщу тебе мою просьбу.

Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.

— Повелитель,— сказал Сета,— прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.

— Простое пшеничное зерно? — изумился царь.

— Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать два зерна, за третью — четыре, за четвертую — 8, за пятую— 16, за шестую — 32…

— Довольно! — с раздражением прервал его царь.— Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моей милостью. Поистине, как учитель, ты мог бы показать лучший пример уважения к доброте своего государя. Ступай! Слуги мои вынесут тебе мешок с пшеницей.

Сета улыбнулся, покинул залу и стал дожидаться у ворот дворца.
За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унес ли уже безрассудный Сета свою жалкую награду.

— Повелитель,— был ответ,— приказание твое, исполняется. Придворные математики исчисляют число следуемых зерен.

Царь нахмурился — он не привык, чтобы повеления его исполнялись так медлительно.

Вечером, отходя ко сну, царь Шерам еще раз осведомился, давно ли Сета со своим мешком пшеницы покинул ограду дворца.

— Повелитель,— ответили ему,— математики твои трудятся без устали и надеются еще до рассвета закончить подсчет.

— Почему медлят с этим делом?! — гневно воскликнул царь.— Завтра, прежде чем я проснусь, всё до последнего зерна должно быть выдано Сете. Я дважды не приказываю!

Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит выслушать важное донесение. Царь приказал ввести его.

— Прежде чем скажешь о твоем деле,— объявил Шерам.— я желаю услышать, выдана ли наконец Сете та ничтожная награда, которую он себе назначил.

— Ради этого я и осмелился явиться перед тобой в столь ранний' час,— ответил старик.— Мы добросовестно исчислили все количество зерен, которое желает получить Сета. Число это так велико…

— Как бы велико оно ни было,— надменно перебил царь,— житницы мои не оскудеют! Награда обещана и должна быть выдана…

— Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зерен, какое потребовал Сета. Нет его и в житницах целого царства. Не найдется такого числа зерен и на всем пространстве Земли. И если желаешь непременно выдать обещанную награду, то прикажи превратить земные царства в пахотные поля, прикажи осушить моря и океаны, прикажи растопить льды и снега, покрывающие далекие северные пустыри. Пусть все пространство их сплошь будет засеяно пшеницей. И все то, что родится на этих полях, прикажи отдать Сете. Тогда он получит свою награду.

С изумлением внимал царь словам старца.

— Назови же мне это чудовищное число,—сказал он в раздумье.

— Восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три миллиарда семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать, о повелитель!

4. Работа над новым  материалом.

1. Для мотивации изучения геометрической прогрессии целесообразно начать с решения задачи практического характера, например по расчету банковских процентов.

З а д а ч а. Родители девятиклассника положили на его имя в банк 10000 рублей на счет, по которому сумма вклада ежегодно возрастает на 9 %. Какая сумма будет на счету к его совершеннолетию через три года? Через шесть лет?

Р е ш е н и е

Начальная сумма вклада составляет 10000 р. Через год эта сумма возрастает на 9 % и составит 109 % от 10000 р. Обозначим b₁ сумму на счету к концу первого года, тогда b₁ = 10000 · 1,09 (р.). К концу второго года уже сумма b₁ увеличится на 9 % и составит b₂ = b₁ · 1,09. К концу третьего года сумма составит b₃ = b₂ · 1,09. И так далее.

Рассмотрим последовательность b₁, b₂, b₃, … b₆, … b_п, в ней каждый член, начиная со второго, получен умножением предыдущего члена на 1,09. Эта последовательность является примером геометрической прогрессии.

2. Определение. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

(b_п) – геометрическая прогрессия, если для любого n N выполняются условия b_п ≠ 0 и b_{п + 1} = b_п · q, где q – некоторое число. Число q называется знаменателем геометрической прогрессии, так как из определения следует, что  = q.

Напоминаем ученикам, что геометрическая прогрессия – частный вид последовательности, заданной рекуррентным способом.

3. Характер поведения геометрической прогрессии в зависимости от значений q следует разобрать с учащимися более детально, например по такому плану:

а) Пусть q > 1, тогда члены геометрической прогрессии таковы, что их значения имеют один и тот же знак и возрастают по модулю.

П р и м е р: 1; 3; 9; 27; 81; … (то есть b₁ = 1, q = 3) или

–2; –8; –32; … (то есть b₁ = –2, q = 4).

б) Если 0 < q < 1, то члены геометрической прогрессии таковы, что их значения имеют один и тот же знак и убывают по модулю.

П р и м е р:  (то есть b₁ = 1, q = ) или

 (то есть b₁ = –1, q = ).

в) Пусть q < –1, тогда члены геометрической прогрессии принимают знакочередующиеся значения, убывающие по модулю.

П р и м е р:  (то есть b₁ = –8, q = ).

д) При q = 1 все члены геометрической прогрессии одинаковы, то есть b₁; b₁; b₁; …; b₁; …, а при q = –1 все члены геометрической прогрессии отличаются друг от друга лишь знаками, то есть: а₁; –а₁; а₁; –а₁; …

4. Вывод формулы п-го члена.

 Пусть (b_п) – геометрическая прогрессия и b₁ – первый член, q – знаменатель, тогда

b₂ = b₁ · q

b₃ = b₂ · q = (b₁ · q) · q = b₁ · q²

b₄ = b₃ · q = (b₁ · q²) · q = b₁ · q³

b₅ = b₄ · q = (b₁ · q³) · q = b₁ · q⁴

… …

 – формула п-го члена геометрической прогрессии

5. Формирование умений и навыков.

1. Вернемся к решению задачи с банковскими процентами. Мы имеем геометрическую прогрессию (b_п), где b₁ = 10000, q = 1,09. Сумма, накопленная вкладчиком, через три года будет равняться четвертому члену этой прогрессии, а через шесть лет – седьмому.

В ы ч и с л и м:    b₄ = 10000 · (1,09)³ ≈ 12950;

                                         b₇ = 10000 · (1,09)⁶ ≈ 16771.

О т в е т: на счету у вкладчика через три года окажется сумма, приближенно равная 12950 р.; через шесть лет – 16771 р.

2. Упражнения:

№ 623 (а, в), № 624 (а, в, д). Самостоятельное решение с последующей проверкой.

№ 627 (а, б), № 628 (б, в). Решение у доски с объяснениями.

VI. Итоги урока.

В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:

– Сформулируйте определение геометрической прогрессии.

– Сформулируйте определение знаменателя геометрической прогрессии.

– Назовите формулу п-го члена геометрической прогрессии.

Домашнее задание: № 623 (б, г), № 624 (б, г, е), № 627 (в, г), № 628 (а, г),