Урок по геометрии 9 класс "Треугольники"

Урок по теме «Решение треугольников» (9 класс).

Цели урока:

• доказать, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности. Показать применение данной теоремы при решении задач.

•    совершенствовать умения решения задач и доказательства теорем;

•     развитие самостоятельной деятельности учащихся;

•    развитие логического мышления учащихся через включение их в исследовательскую деятельность.

I.   Организационный момент.

II.   Актуализация знаний учащихся.

/. Теоретический опрос

1.   Что значит решить треугольник? (Решить треугольник найти все его б элементов по каким-нибудь трем данным элементам).

2.   Сформулируйте основные задачи на решение треугольников? (1. по двум сторонам и углу между ними; 2. по стороне и прилежащим к ней углам; 3. по трем сторонам).

3.   Используя рисунки, составьте план решения задач.

Задача № 1,

Дано: рис.35

Найти: ВС, <В, <С.

Решение: Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними:

1)    По теореме косинусов находим неизвестную сторону.

ВС²=АВ²+АС²-2*АВ*АС *cos a

2)    По теореме косинусов находим один угол,

cos В = (АВ² + ВС²-АС²)/2 *АВ *ВС

<В находим с помощью таблиц Брадиса или калькулятора.

3)По теореме о сумме углов треугольника находим другой угол. <С=180°-<А-<В.

Задача № 2.

Дано: рис.36

Найти: <В, АВ, ВС.

Решение: Решение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам:

1)    По теореме о сумме углов треугольника находим неизвестный угол. <В = 180°-<А-<С.

2)    По теореме синусов находим неизвестные стороны.

АВ/ sin y = BC/ sin a=AC/ sin B.

Задача № 3

Дано: рис.37

Найти: <А, <В, <С.

Решение: Решение треугольника по трем сторонам:

1)   По теореме косинусов находим один угол.

cos В = (АВ² + ВС²-АС²)/ 2*АВ *ВС

2)    По теореме косинусов находим другой угол.

Cos A= (AB²+ АС²-ВС²) /2*АВ *АС

<В и <А находим с помощью таблиц Брадиса или калькулятора.

3)     По теореме о сумме углов треугольника находим третий угол. <С=180°-<А-<В.

Индивидуальная работа по карточкам

I уровень

Задача № 1.

Дано: ΔАВС, b=0,3, <А=32°, <В=70°.

Найти: а, с, <С.

Решение:

Рис.38

По теореме sin 0,3/sin70°=a/sin32° => а≈0,17

<С = 180°-<A-< В => <C=78° 0,3/sin70°=c/sin78° => c≈0,31.

Задача № 2.

Дано: Δ АВС, а=28, b=35, с=42.

Найти: <А

Решение:

В С Рис.39

Против меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона. По теореме cos: а² = b² + с²-2bc*cosA => cosA≈0,75 => <А≈41°.

II уровень

Задача № 1.

Дано: ΔАВС, <А=25°30', b= 10,8, ВЕ ┴АС, ВЕ=7,6.

Найти: а, с, <В, <С.

В С Рис.40

Решение:

Рассмотрим треугольник АВЕ

По теореме sin: АВ/ sin AEB=BE/sin A => АВ/sin90°=ВЕ/sin25°30' =>

АВ≈ 17,67, т.к. АВ=с, то с≈ 17,67.

Рассмотрим треугольник АBC

По теореме cos: a² =b² +с² -2bc*cosA => а≈9,2

По теореме sin: a/sinA=b/sinB = > 9,2/ sin25°30'= 10,8/ sinB =<B≈30°21', <C = 180°-<A-<B = ><C≈124°9'

Задача № 2.

Дано: ΔABC, a=3,9, b=4, l, c=2,8.

Найти: <A, <B, <C.

Решение:

В

По теореме cos: с²=а² + b²-2ab*cosC => <С≈41°52’

По теореме sin: a/sinA=c/sinC => 3,9/ sinА =2,8/sin4l⁰52'=> <А≈64°44^’. <В = 180°-<А-<С => <В≈73⁰24'.

III уровень

 Задача № I.

Дано: Δ АВС, а+b=21, <А=64°, <В=50°.

Найти: а, b, с, <С.

Решение:

В

а=21-b. По теореме sin: a/sinA=b/sinB=> (21-b)/sin64°=b/sin50°=> b≈9,7, а≈11,3. <C = 180°-<A-<B => <C = 66°. a/ sinA=c/ sinC=>c≈11,6.

Задача № 3

Дано: Δ ABC, ВС=3,4, <АВС=130°, S=3,6.

Найти: АС.

Решение: S=(a*c*sinB)/2 => с≈2,99 По теореме cos: b²=а²+ с²-2ac*cosB=>b²=3,4²+2,99²-2*3,4*2,99*cos(180°-50°)=> b2=3,4²+2,99²+2*3,4*2,99*cos50°=> b≈5,6

 Решение задач на готовых чертежах.

Учащиеся решают задачи самостоятельно с последующим обсуждением.

Задача № 1.

Дано: ABCD-параллелограмм, АВ=3, AD = 5, <CDK=60⁰,

Найти: BD.

Решение: По признакам параллельности прямых <BAD = <CDK=>

 По теореме косинусов: BD² = АВ²+AD²-2* А В* AD* cos А=>BD=√19.

Задача № 2.

Дано: ABCD -ромб, AD=3, <CDK=45°

                                                                     

Найти: АС.

Решение: По признакам параллельности прямых <BAD=<CDK и определению ромба AD=DC и <ВСD = <ВАС=> < АСD = < DAС=< BCD/2 <CDA = 180°-<ACD-< DAС =><CDA = 135°=> По теореме косинусов:

АС²=АD² + DC²-2* AD *DC*cosD=AD² + DC²+2 *АD*DC* cos 45° =>

AC=3√ (2 + √2).

Задача № 3.

Дано: ABCD - параллелограмм, <CAD=30°, <CDK=60°.

Найти: AC.

Решение: По признакам параллельности прямых и определению параллелограмма < С A D = <A С D.

 Δ ACD <A DC = 180° - < СAD-<ACD =><ADC=120°

По теореме синусов: АС /sinADC=AD /sin АСD =>

AC=AD*sinADC/sin ACD = > AC=5 *sin 120°/sin 30° =>

AC=5*sin60°/ sin30° => AC=5√3.

Задача № 4.

Дано: ABCD - трапеция, <BAD=60⁰, АВ=4, ВС=5, CD=5, DA=6.

Найти: <С.

Решение: Δ ABD По теореме косинусов:

BD² =АВ²+AD²-2*AB*AD*cosA =>BD=2√7

Δ BCD По теореме косинусов:

BD² =ВС²+CD²-2 *ВС *CD *cosC =>cosC = (ВС² + CD²- BD²)/2 *BC *CD => <C=26°6’

III. Решение задач

1.  Прочитать самостоятельно задачу № 1033 из учебника.

Запись на доске и в тетрадях:

a/sinA = b/siпВ=c/siпС=2*R, R - радиус описанной окружности.

2.  Фронтальная работа с классом - обсудить решение задачи.

1.  Что требуется доказать в задаче? (ВС/sin А =2 *R или BC=2*R sinА).

2.  С чего начнем решение?

(Проведем диаметр BA1 и рассмотрим Δ A1BC).

3.  Какой треугольник мы получили?

(Δ A1BC - прямоугольный, <С=90°, т.к. <С опирается на полуокружность).

4.  Что из этого следует?

(По теореме синусов: ВС/sinA1=BA1/sinC, поэтому BC=BA1*sinA1).

5.  Почему <А = <А1?

(Т.к. они опираются на одну и туже дугу, поэтому sinA =sinA1) => ВС=ВА1 *sinA или BC=2 *R*sinA.

Разобрать у доски решения задач.                                    

Задача № 1.

Дано: Δ АВС, <А=20°, <В=40°, АВ=12 см.

Найти: R.

Решение:

Δ АВС: <С=180°-<А-<В=>  <C=120°AB/sinC=2*R=> R=AВ/2*sinC = 12/2*sin(180°-60°) = 12/2*sin60° => R=4√3.

 Задача № 2.

Дано: Δ МNК, MN=6, R=6 cm, <N=45°.

Найти: S.

Решение

S=(MN*NK*sinN)/2 MN/sinK=2*R=>sinK=MN/2*R=><K=30°<M=180°-<K-<N=> <M=105° NK/sinM=2*R => NK =2*R*sinM => NK = 11,5908 =>       S≈24,6.

Решить самостоятельно задачи:

Вариант 1

Задача № 1.

Дано: Δ CDE, R=2√3, <С=75°, <Е=45°.

Найти: СЕ.

Решение:

По сумме углов треугольника <D = 180°-<С-<Е=> <D=60° CE/sinD=2*R => CE = 2*R*sinD => СЕ = 6.

Задача № 2.

Дано: Δ АВС, АВ=4√3, ВС = 3, S=3√3.

Найти: R.

Решение:

S=(AB*BC*sinB)/2=>sinB = 2*S/(АВ*ВС) = > <B=30°

По теореме косинусов: АС²=АВ²+ ВС²-2*АВ*ВC *cosB => АС = √21. AC/sinB=2*R=> R=АС/2*sinB => R = √21.

Задача № 1.

Дано: Δ АВС, АВ=2,2, ВС=3,2, <АВС=53°. Найти: R.

Решение:

По теореме косинусов: AC² =АВ²+ВС²-2*AB*BC*cosB=> АС≈2_,55 AC/sinB=2*R => R=AC/2*sinB => R≈1.6.

Задача № 2.

Дано: Δ PST, PS=20, ST=48, R=25.

Найти: S.

Решенue:

Рис. 53

S=(PS*ST*sinS)/2 PS/sinT=2*R =>sinT=PS/2*R = >  <T≈24°

ST/sinP = 2*R => sinP=ST/2*R=><P≈74° => S≈475.34

V. Подведение итогов урока.

На уроке было доказано, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности; проверено умение применять теорему синусов и косинусов для решения треугольников; соотношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла и радиуса окружности.

Домашнее задание

1.            подготовить доказательство задачи №1033.

2.            I уровень: № 47, 48 из рабочей тетради.

Задача № 47. Дано: Δ АВС, где, а=5, <В = 70⁰, <С=80⁰. Найти: b, с, <А.

А

Решение: I) <А = 180°-(<В + <С)= 30°.

2)  По теореме синусов: a/sinA=b/sin В => b=a*sinB/ sin А = 5* sin70° /sin30° => b≈9,397.

3)  По теореме синусов: a/sinA=c/sinC=> c=a*sinC/sin A =5* sin80° /sin30° => c≈9_,848.

Ответ: b≈9,397_, c≈9,848, <A=30°.

Задача № 48. Дано: Δ АВС, где, а=4, b=2, с=3.

Найти: <А, <В, <С.

Решение: I) По теореме косинусов: a²=b²+с²-2*c*b*cosA=> cosA = (b² + c²-a²)/2*c*b = (2²+3²-4²)/2*3*2=-l /4 => <А≈104°30'.

2)     По теореме косинусов: cosB = (a² + c²-b²)/2*а*с = (4²+З²- 2²)/2*4*3 = 0,875 => <В≈28⁰54'.

3)          <С=180°-(<А + <В) => <С≈46°46'.

Ответ: <А≈104°30’ <В≈28°54’ <С≈46°46'

II уровень: №1034, 1035.

Задача № 1034. В равнобедренной трапеции меньшее основание равно боковой стороне, большее основание равно 10см, а угол при основании равен 70°. Найдите периметр трапеции.

Решение: Пусть AB=BC=CD=x. Из Δ АВС по теореме косинусов AC²=AB²+BC²-2*AB*BC*cos<ABC.<ABC=180°-<BAD=110°, тогда:

АС² =х² +х²-2*x*x*cos 110° = 2х²-2х²(-0,3420)=2,684x² (1)

Из Δ ACD по теореме косинусов АС² =AD² + CD² -2*AD*CD*cos<ADC. => АС² = 100+х²-20х*0,342 = х² -6,84х+100 (2).

Приравняем равенства (1) и (2), тогда 2,684 х² = х² -6,84х +100

 1,684 х² +6,84х-100 = 0 D=6,84²-4*1,684*(-100) = 720,3886; √D =26,84. X₁≈5,94 и х₂<0 (не подходит по условию задачи). Так как X₁≈5,94, то Р=5,94*3 + 10=27,82(см).

Так как хорды пересекаются в точке Е, то AE*EB=CE*ED.

АВ = 13см, тогда, если АЕ=хсм, ЕВ = 13-х (см). Тогда х*(13-х) =9*4. По теореме Виета:

Х₁+ Х₂ = 13,

х₁* х₂ = 36, => Х₁=4, х₂ = 9.

Так как х=4см или х=9см, то ЕВ = 4см или ЕВ = 9см. Из ΔDBE по теореме косинусов: DB²= DE² + ЕВ²-2*DE*EB*cos<DEB.=> cos<DEB = (DE²+EB²- DB²) 2 *DE *EB.

Если ЕВ=4см, mo cos< DEB =-1/2, => <DEB = 120° и острый угол между хордам и АВ и CD равен 180°-120°=60°.

Если ЕВ = 9см, то cos<DEB~0,6806, => <DEB≈47°6'.

Ответ: 60° или 47°6'.