Урок " Равномерное движение тела по окружности. Угловая и линейная скорости вращения"

Тема 1.3. Равномерное движение тела по окружности. Угловая и линейная скорости вращения.

     Движение тела по окружности является частным случаем криволинейного движения. Наряду с вектором перемещения  удобно рассматривать угловое перемещение Δφ(или угол поворота), измеряемое в радианах (рис. 1.). Длина дуги связана с углом поворота соотношением:

Δl = R Δφ.

При малых углах поворота Δl ≈ Δs.

Рисунок 1. Линейное  и угловое  перемещения при движении тела по окружности

    Угловой скоростью ω тела в данной точке круговой траектории называют предел (при Δt → 0) отношения малого углового перемещения Δφ к малому промежутку времени Δt: 

   Угловая скорость измеряется в рад/с.

   Связь между модулем линейной скорости υ и угловой скоростью ω: 

υ = ωR.

   При равномерном движении тела по окружности величины υ и ω остаются неизменными. В этом случае при движении изменяется только направление вектора 

    Равномерное движение тела по окружности является движением с ускорением. Ускорение 

направлено по радиусу к центру окружности. Его называют нормальным или центростремительным ускорением. Модуль центростремительного ускорения связан с линейной υ и угловой ω скоростями соотношениями: 

      Для доказательства этого выражения рассмотрим изменение вектора скорости  за малый промежуток времени Δt. По определению ускорения 

     Векторы скоростей  и  в точках A и B направлены по касательным к окружности в этих точках. Модули скоростей одинаковы υ_A = υ_B = υ.

   Из подобия треугольников OAB и BCD (рис. 2) следует: 

Рисунок 2. Центростремительное ускорение тела  при равномерном движении по окружности

     При малых значениях угла Δφ = ωΔt расстояние |AB| =Δs ≈ υΔt. Так как |OA| = R и |CD| = Δυ, из подобия треугольников на рис. 2 получаем: 

   При малых углах Δφ направление вектора  приближается к направлению на центр окружности. Следовательно, переходя к пределу при Δt → 0, получим: 

    При изменении положения тела на окружности изменяется направление на центр окружности. При равномерном движении тела по окружности модуль ускорения остается неизменным, но направление вектора ускорения изменяется со временем. Вектор ускорения в любой точке окружности направлен к ее центру. Поэтому ускорение при равномерном движении тела   по окружности называется центростремительным.

    В векторной форме центростремительное ускорение может быть записано в виде 

где  – радиус-вектор точки на окружности, начало которого находится в ее центре.

    Если тело движется по окружности неравномерно, то появляется также касательная (или тангенциальная) составляющая ускорения: 

    В этой формуле Δυ_τ = υ₂ – υ₁ – изменение модуля скорости за промежуток времени Δt.

   Направление вектора полного ускорения  определяется в каждой точке круговой траектории величинами нормального и касательного ускорений (рис. 3).

Рисунок 3. Составляющие ускорения  и  при неравномерном движении тела по окружности

    Движение тела по окружности можно описывать с помощью двух координат x и y (плоское движение). Скорость тела в каждый момент можно разложить на две составляющиеυ_x и υ_y (рис. 4).

   При равномерном вращении тела величины x, y, υ_x, υ_y будут периодически изменяться во времени по гармоническому закону с периодом 

Рисунок 4. Разложение вектора скорости  по координатным осям

Поступательное и вращательное движения твердого тела являются лишь простейшими типами его движения. В общем случае движение твердого тела может быть весьма сложным. Однако в теоретической механике доказывается, что любое сложное движение твердого тела можно представить как совокупность поступательного и вращательного движений.
      

    Кинематические уравнения поступательного и вращательного движений сведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Вопросы для самопроверки:

1. Какое движение называют равномерным движением по окружности?

2. Что называют периодом обращения?

3. Что называют частотой обращения? Как связаны между собой период и частота обращения?

4. Что называют линейной скоростью? Как она направлена?

5. Что называют угловой скоростью? Что является единицей угловой скорости?

6. Как связаны угловая и линейная скорости движения тела?

7. Как направлено центростремительное ускорение? По какой формуле оно рассчитывается?

Задание:

1. Чему равна линейная скорость точки обода колеса, если радиус колеса 30 см и один оборот она совершает за 2 с? Чему равна угловая скорость колеса?

2. Скорость автомобиля 72 км/ч. Каковы угловая скорость, частота и период обращения колеса автомобиля, если диаметр колеса 70 см? Сколько оборотов совершит колесо за 10 мин?

3. Чему равен путь, пройденный концом минутной стрелки будильника за 10 мин, если ее длина 2,4 см?

4. Каково центростремительное ускорение точки обода колеса автомобиля, если диаметр колеса 70 см? Скорость автомобиля 54 км/ч.

5. Точка обода колеса велосипеда совершает один оборот за 2 с. Радиус колеса 35 см. Чему равно центростремительное ускорение точки обода колеса?