Урок "Решение рациональных, иррациональных уравнений и систем"

Тема урока: «Решение рациональных, иррациональных  уравнений и систем».

Регламент: 90мин

Цели урока:

- образовательные:

·        закрепить основные способы  решения  рациональных и иррациональных уравнений и  систем;

·        Повторить некоторые приемы  решения рациональных  и иррациональных уравнений;

- развивающиеся:

·        формировать приемы логического мышления;

·        развивать умения анализировать, умения работать с информацией, представленной в различных формах;

·        развивать коммуникативные умения;

·         развивать интерес к предмету.

-воспитательные:

·        воспитание коммуникативной и информационной культуры студентов;

·        эстетическое воспитание осуществляется через формирование умения рационально, аккуратно оформлять задание на доске и в тетради.

Вид  урока: комбинированный, с работой на ИД,  частично – поисковый.

Тип урока: урок совершенствования умений и навыков.

Технологии  обучения: информационно – коммуникационная, здоровье сберегающая, коллективная.

Обеспечение урока:

- техническое:

ноутбук, интерактивная доска,  проектор, презентация.

  - учебно-методическое:

·        презентация к учебному занятию в PowerPoint ««Уравнения, неравенства и системы»;электронные ресурсы;

учебники:

Башмаков М.И. Математика. Учебник для НПО и СПО.  Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа (профильный уровень). 11. В 2ч. Ч.1. Учебник и задачник.

·        чертежные принадлежности, тетради студентов.

Ход урока

1.Актуализация ранее усвоенных знаний:

1.1. Проверка домашнего задания (фронтальная проверка, выборочно проверить в тетрадях).

1.2.Фронтальный опрос: по теме «Рациональные и иррациональные  уравнения». Повторить алгоритм решения рациональных и иррациональных   уравнений, и   их систем, основные методы решения, изучаемые ранее.

Рациональное выражение – это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной x с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем. Ну а рациональное уравнение – это равенство двух рациональных выражений.

Дробно рациональные уравнения — рациональные (без знака корня) уравнения, в которых левая или правая части являются дробными выражениями.

1)    Какие уравнения называются иррациональными? ( Иррациональными называются уравнения, содержащие переменную под знаком радикала.)

2)    О чем приходится задумывать и помнить при решении иррационального уравнения? ( Надо помнить об области допустимых значений переменной в уравнении – об ОДЗ).

3)  Для следующих уравнений назовите ОДЗ:    

4) В следующих случаях восстановите запись:    

5) Что нам показывают две последние записи? ( Два стандартных способа    решения простейших иррациональных уравнений.)

6) Назовите эти способы (- замена уравнения уравнением-следствием путем возведения обеих частей уравнения в квадрат с обязательной последующей проверкой корней  уравнения-следствия в исходном уравнении; - замена иррационального уравнения равносильной смешанной системой).

2. Систематизация и закрепление  материала: (формы на данном этапе: фронтальная и  индивидуальная работа; методы: наглядный, частично - поисковый, проблемный).

2.1. Фронтальная беседа с обучающимися:

Полностью алгоритмизировать процесс преобразования нельзя, однако полезно запомнить некоторые приемы, общие для всех типов уравнений.

1).Уравнение вида А(х)•В(х) = О, где А(х) и В(х) — многочлены относительно х, называют распадающимся уравнением.

Множество всех корней распадающегося уравнения есть объединение множеств всех корней двух уравнений А(х)=0 и В(х)=0. К уравнениям вида А(х)=0 применяется метод разложения на множители. Суть этого метода : нужно решить уравнение А(х)=0, где А(х)=А₁(х)А₂(х)А₃(х). Уравнение А(х)=0 заменяют совокупностью простых уравнений: А₁(х)=0,А₂(х)=0,А₃(х)=0. Находят корни уравнений этой совокупности и делают проверку. Метод разложения на множители используется в основном для рациональных и тригонометрических уравнений (примеры 1-2).

2).Уравнение вида , где А(х) и В(х) — многочлены относительно х (пример3)

3).Уравнение вида

где А(х), В(х), С(х) и D(х) — многочлены относительно х, обычно решают по следующему правилу.

      

Решают уравнение А(х)•D(х) - С(х)·В(х) = 0 и отбирают из его корней те, которые не обращают в нуль знаменатель уравнения (пример 4).

2.2. Решение рациональных  уравнений и систем: № 33.1(а,б).

ПРИМЕР 1.

Решим уравнение (х² - 5х + 6) (х² + х - 2) = 0.           

Уравнение распадается на два уравнения.

х² - 5х + 6 = 0          х₁ = 2 и х₂ = 3

х² + х - 2 = 0.            х₃ = -2 и х₄ = 1

Значит, уравнение исходное имеет корни х₁= 2, х₂ = 3, х₃= -2, х₄ =1. Ответ. -2; 1; 2; 3.

ПРИМЕР 2. Решим уравнение  х³-7х+6=0.

х³-х-6х+6=0

х(х²-1)-6(х-1)=0

х(х-1)(х+1)-6(х-1)=0

(х-1)(х(х+1)-6)=0

(х-1)(х²+х-6)=0

х-1=0 , х₁=1;  х²+х-6=0, х₂=2,х₃=-3.  Ответ:1;2;-3.

ПРИМЕР 3.

Решим уравнение

Сначала решим уравнение

х² + 4х - 21 = 0.       х₁ = 3 и х₂ = -7

Подставив эти числа в знаменатель левой части исходного уравнения, получим

х₁²- х₁ -6 = 9-3-6 = 0,

х₂²- х₂ - 6 = 49 + 7 - 6 = 50 ≠0.

Это показывает, что число х₁ = 3 не является корнем исходного уравнения, а число х₂ =- 7 — корень этого уравнения.  Ответ. -7.

ПРИМЕР 4.

Решим уравнение

Решим уравнение

х² - 5х + 6 - (2х + 3) (х - 3) = 0.

х² + 2х - 15 = 0

х₁ = -5 и х₂ = 3.

Число х₁ не обращает в нуль знаменатель х - 3, а число х₂ обращает. Следовательно, уравнение имеет единственный корень = -5.   Ответ. -5.

Найти корни рационального уравнения часто помогает замена неизвестного. Умение удачно ввести новую переменную- важный элемент математической культуры. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной.

ПРИМЕР 5.

Решим уравнение х⁸ + 4х⁶ -10х⁴ + 4х²+ 1 = 0.

Число х₀ = 0 не является корнем уравнения, поэтому уравнение равносильно уравнению

х⁴ + 4х² - 10 + + =0

Обозначим t = ,тогда х⁴ +=t²-2 ,

получаем  t ² + 4t - 12 = 0, х₁ = 2 и х₂= -6.

Следовательно, корни уравнения найдем, объединив все корни двух уравнений: =2,    и     =-6,

Первое уравнение имеет два корня -1 и 1, а второе уравнение не имеет действительных корней, поэтому уравнение  имеет только два корня: -1 и 1. Ответ. -1; 1.

2.3. Решение иррациональных уравнений и систем:№ 33.14(а, б). 

Пример 1.Решите уравнение

        Ответ:3

Пример 2.Решите уравнение

         Ответ:

Пример 3.Решите уравнение

           Ответ:

Замена переменных

Пример 4.Решите уравнение

Пусть

Тогда

Следовательно,

Ответ:6

Пример 5.Решите уравнение

Пусть

Решим систему:

Получаем

Возведем обе части последнего  уравнения в куб

Ответ:

Пример 6.Решите уравнение

Пусть

Уравнение примет вид:

4х²+5ах-44а²=0

Решаем относительно х:

D=25х²+16*44а²=729а²

Х₁=11/4а  и  х₂=-4а

Рассмотрим случаи:

1)      Если х=-4а, тогда

2)      Если х=11/4а, тогда

Ответ:11 и -4.

2.4. Решение уравнений и неравенств с последующей проверкой:

1)     

2)     

3)     

3. Итог урока. Оценка деятельности (выставление оценок, оценка работы обучающихся).

4. Домашнее задание:  №30.2(в,г), № 30.13(а), 33.2(г) Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа (профильный уровень). 11. В 2ч. Ч.1. Учебник и задачник.

Краткое описание документа:

Конспект урока по Математике для колледжей и техникумов.Урок проводится в группах СПО 1 курса и группах НПО 2 курса.

Комбинированный урок проводится с использованием интерактивной доски, ориентирован на повторение, обобщение и расширение знаний о решении рациональных, иррациональных уравнений и систем. Перед решением рациональных и иррациональных уравнений и систем, повторяется алгоритм решения рациональных и иррациональных уравнений. В форме вопроса и ответа повторяются основные понятия темы.

Перед закреплением материала показываются некоторые приемы, общие для всех типов уравнений. Закрепления материала проходит по учебнику и интерактивной доске. Затем предлагается студентам самостоятельно решить примеры с последующей проверкой. В конце урока подводится итог и выставляются оценки студентам.