Урок -
исследование по алгебре в 7 классе/ уч.к.: А.Г.Мордкович
Учитель:
Листопадова Евгения Васильевна
Тема урока: «Умножение
многочлена на многочлен»
Цели
1.
Образовательная: Вывести формулы квадратов суммы и разности двух
чисел. Сформировать умение практически их применять.
2. Развивающая: развитие
математического мышления, творческо-поисковой деятельности учащихся,
математической речи, памяти, интереса к математике, умения рассуждать.
3. Воспитательная:
воспитание познавательной деятельности учащихся, активности, внимательности,
самостоятельности.
Оборудование: мультимедийная
компьютерная техника, маркерная доска, раздаточные материалы, карточки с
тестовыми заданиями.
План урока.
Организационный
момент.
Мотивационно -
ориентировочный этап.
Актуализация
опорных знаний.
Исследовательская
работа
Физкультминутка
Геометрическая
интерпретация.
Закрепление нового
материала.
Итог урока.
Ход урока:
(Для проведения
урока и исследовательской работы учащиеся объединяются в группы. В них входят
ребята с разной математической подготовкой)
1.ОНУ
Учитель: Здравствуйте
ребята. Садитесь,
Посмотрите, всё ль в порядке:
Книжка, ручки и тетрадки.
Прозвенел сейчас звонок.
Начинается урок
Сегодня
у нас с вами необычный урок, а урок-исследование. Давайте представим себе наш класс -
научно-исследовательскую лабораторию. Вы, ученики, - сотрудники-учёные. Мы с
вами должны в ходе различных исследований получить ответы на интересующие нас
вопросы. Для того, чтобы ответы на вопросы были интересными и разносторонними,
в лаборатории будут сегодня работать три группы учёных :
-историки,
-математики,
-геометры.
За
активность учёные будут получать бонусы - зарплату. (Впервые идея выпустить деньги на
бумажных носителях в России была сделана при императоре Петре III в 1762 году.)Чтобы
познакомить гостей над какими вопросами мы будем работать предлагаю решить
кроссворд. Слово, которое получится при разгадывании кроссворда по вертикали и
будет ключевым словом в нашей работе.
|
П
|
И
|
Ф
|
А
|
Г
|
О
|
Р
|
|
|
|
К
|
О
|
В
|
А
|
Л
|
Е
|
В
|
С
|
К
|
А
|
Я
|
|
|
Д
|
Е
|
К
|
А
|
Р
|
Т
|
|
|
|
А
|
Р
|
Х
|
И
|
М
|
Е
|
Д
|
|
|
Г
|
А
|
У
|
С
|
С
|
Е
|
В
|
К
|
Л
|
И
|
Д
|
|
Ф
|
А
|
Л
|
Е
|
С
|
1)
На острове Самос
Философ сей
родился.
И во главу угла
Поставлены им
числа
И, говорят, за
теорему
Принёс богам быка
он в жертву.
Был чемпион
Олимпиады,
Имел своих
учеников.
Надеюсь догадался
каждый,
Что его имя ….(Пифагор)
2) Математики
начала
По обоям
изучала
И
влюбилась в ту науку.
Только вот
какая штука.
Ведь в
России в это время
Не пускали
в вузы женщин.
Чтоб в
математике достичь вершин,
Пришлось
уехать девушке в Берлин,
И стать
для этого фальшивою невестою,
Такой мы
знаем Софью …(Ковалевскую)
3) Дворянин,
философ, воин
Нашей
памяти достоин.
До сих пор
координаты
Зовут
именем … (Декарта)
4) Разгадал
загадку круга
Метод
площадей нам дал,
Знаем мы,
как в Сиракузах
Родину он
защищал.
Свой народ
спасал от бед,
Его имя ….
(Архимед)
5) Это он,
это он
Был в
арифметику влюблён
Он назвал
её царицей,
А мир
воздал ему сторицей.
Ему
присвоили не зря
При жизни
титул короля.
Он
безупречно вычислял,
Таблицы в
памяти держал.
(Гаусс)
6) Всё, что
раньше люди знали,
Он собрал
в своих «Началах»
Было их 13
книг,
Написал их
все …(Евклид)
7) Путешествуя
по миру,
Измерял он
Пирамиды,
Но, наверх
он не полез,
Ведь знал
подобие …(Фалес)
2.Целеполагание
Учитель: -Какое
слово у нас получилось? (Формула) Эпиграфом
к нашему уроку,
мне
хотелось бы взять слова С.В. Ковалевской «У математиков существует свой язык-
это формулы».
Ребята, мы будем
с вами работать над формулами сокращённого умножения. Для того, чтобы
исследование прошло успешно, я предлагаю вам ответить на ряд вопросов и решить
задания. (вызвать к доске учеников)
3.Актуализация ЗУН
Учитель:
-
Дайте
определение одночлена.
-
Что
называется степенью числа а с натуральным показателем n?
-
Дайте
определение многочлена.
-
Как
умножить многочлен на многочлен?
-
Используя
математические термины, прочитайте выражение:
, , , , , , 2 b, ,
- Чему
равна площадь квадрата?
-Как найти
площадь прямоугольника?
-Посмотрите
на слайд, и скажите из площадей каких фигур состоит площадь квадрата со
стороной
(в это время на
доске задания, учитель вызывает учеников)
1) Выполнить умножение:
2) Приведите подобные
члены многочлена:
3) Запишите
степень двучлена в виде произведения и выполните умножение:
4) Вычислите:
4.Изучение нового
материала.
Учитель: - Ребята,Выполним
умножение многочленов. Каждая группа выполняет номер своего задания, и
результат записывает на доске, на соответствующей строке (номер задания
соответствует номеру группы) в правом столбике. Все задания даны в таблице:
(Средняя
часть таблицы, обведенная рамкой, в момент выполнения заданий закрыта бумажной
полоской (экран).
Таблица
1
1.
( x+y
) (x+y
) =
|
(x+y)2
|
=x2+2xy+y2
|
2.
( m+n ) ( m+n ) =
|
(m+n)2
|
=m2+2mn+n2
|
3.
( c+d ) ( c+d ) =
|
(c+d)2
|
=c2+2cd+d2
|
4.
( n+5 ) ( n+5 ) =
|
(n+5)2
|
=n2+10n+25
|
5.
( k+1 ) ( k+1)
=
|
(k+1)2
|
=k2+2k+12
|
6.
( 8+m ) ( 8+m ) =
|
(8+m)2
|
=64+16+m2
|
|
|
|
- Ребята,
скажите есть нечто общее в условиях и в ответах, которые вы получили?
-Можно ли
выражение в левом столбце записать короче? (Да, можно, по первому свойству
степени, при умножении степеней с одинаковым основанием, основание остаётся
прежним, а показатели складываются, значит это будут квадраты суммы двух чисел).
-Ребята,
вы фактически приступили к исследованию темы урока, поскольку находили
произведение 2-х одинаковых двучленов, т.е. возводили в квадрат сумму 2-х
выражений.
-Скажите,
какое выражение получилось в правой части в результате умножения?
(В
результате умножения во всех заданиях получился трёхчлен, который представляет
собой квадрат первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе
и плюс квадрат второго числа)
-Теперь мы
без труда можем записать такую формулу – квадрат суммы двух чисел (вызвать
ученика, прикрепить плакат) (а+b)2=а2+2аb+b2
- Давайте,
прочтём формулу: квадрат суммы двух выражений равен
квадрату первого числа + удвоенное произведение первого и второго числа +
квадрат второго числа.
Физминутка
5.Исследовательская
работа.
Учитель: -А теперь
наши учёные получат задания для работы в группах. В каждой группе я определяю
экспертов, которые будут работать индивидуально по карточкам с образцами.
1 группа
–историки
-Ребята,
вы получаете такое задание (Выполняете умножение многочленов и записываете в
правом столбце ответы, а потом делаете общий вывод, т.е. выводите формулу
квадрата разности экспериментальным путём). После того, как вы выполните
задание, сформулируете и выведите формулу квадрата разности двух чисел, вы
получите волшебный конверт.)
1.
( x-y
) (x-y
) =
|
(x-y)2
|
=x2-2xy+y2
|
2.
( n-6) ( n-6
) =
|
( n-6)
2
|
=n2-12n+36
|
3.
( k-2 ) ( k-2)
=
|
(k-2)2
|
=k2-4k+4
|
4.
( 7-m ) ( 7-m
) =
|
(7-m)2
|
=49-14m+m2
|
5.
( a-1 ) ( a-1)
=
|
(a-1)2
|
=a2-2a+12
|
|
|
|
Вывод:
|
Волшебный
конверт для историков:
Ребята,
знаете ли вы, что Евклид
(365—300 до н. э.), древнегреческий математик. Родился в Афинах ( по другим
данным , в Тире). О жизни учённого известно лишь то, что он был учеником
Платона, а расцвет его деятельности пришёлся на время царствовании в Египте царя
Птолемея.
Задание №1
Существует
одна легенда о преданности ученого науке. Инсценируйте легенду.
Один из учеников Евклида спросил: «Учитель, а что я смогу заработать, если
выучу это?» Ученый позвал слугу и сказал: «Дай ему три монеты, т.к. бедняжка
хочет заработать деньги своим учением». Нельзя в учебе искать сиюминутной
выгоды.
2 группа
–алгебраисты
-Ребята, вы получаете такое задание.
Цель вашей работы научиться возводить двучлен в любую натуральную степень. Для
этого вы будете возводить двучлены в нулевую, первую, вторую, третью и
четвёртую степень алгебраическим способом. Коэффициенты разложения, которые
получились, вы записываете симметрично в таблице. А потом мы посмотрим , что с
этого получилось.
Волшебный конверт для алгебраистов:
Ребята, знаете ли вы, что на сайте журнала
"Знание-сила" есть голосование по вопросу о том, кого вы считаете
самым значительным ученым за прошедшие 2000 лет. Среди самых популярных ученых
мы по праву видим имя Блеза Паскаля (1623-1662). Паскаль умер, когда ему было 39 лет,
но, несмотря на столь короткую жизнь, он вошел в историю как выдающийся
математик, физик, философ и писатель. Его именем благодарными потомками названы
единица давления (паскаль) и получивший чрезвычайно широкое распространение
язык программирования. Особенно популярен был Турбо Паскаль. Треугольник
Паскаля – это, несомненно, самая известная, а также изящная числовая схема во
всей математике.
Французский философ и математик Блез Паскаль посвятил данному треугольнику ни
много ни мало, а целый «Трактат об арифметическом треугольнике».
3 группа
–геометры
- Ребята, вы тоже получаете
задание. Цель вашей исследовательской работы найти другой способ доказательства
формулы сокращённого умножения. Могу подсказать, что в III веке
до н.э. не было букв, учёные пользовались геометрическим доказательством
формулы. Поэтому второй способ доказательства формулы будет геометрическим и, следовательно, вам
понадобятся геометрические фигуры.
Волшебный
конверт для геометров:
Здравствуйте,
ребята!
знаете ли вы, что некоторые правила сокращенного умножения были известны
еще около 4 тыс. лет назад. Тогда было принято все алгебраические
утверждения выражать в геометрической форме. Особенно широко алгебраическими
тождествами пользовался в 3 в до н.э. древнегреческий геометр Евклид. У древних
греков величины обозначались не числами или буквами, а отрезками прямых. Они
говорили не «а», а «квадрат на отрезке а», не
«ав», а «прямоугольник, содержащийся между отрезками а и в». Например,
тождество ( а + в )=а + 2ав + в во
второй книге «Начал» Евклида формулировалось так: « Если прямая линия ( имеется
в виду отрезок) как- либо рассечена, то квадрат на всей прямой равен квадратам
на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольником, заключенным между
отрезками». Доказательство опиралось на геометрические соображения.
6.Итог урока: - Ребята, что нового вы
узнали на уроке?
-С какими формулами мы познакомились
на уроке?
-Как они читаются?
- Как вы считаете, почему формулы,
изучаемые нами называются формулами сокращённого умножения?
-Для чего нужен Треугольник Паскаля?
Сегодня на уроке мы вывели формулы
сокращённого умножения, используя свойства площадей геометрических фигур, а
также рассмотрели много интересного материала, который будет нам полезен при
дальнейшем изучении математики. Как говорил Рене Декарт: «Особенно мне нравилась
математика верностью и очевидностью своих рассуждений» что и подтвердил наш
урок.
7.Рефлексия.
-Ребята, поднимите смайлики, которые обозначают ваше настроение
после урока.
8.Домашнее
задание.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.