Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
гимназия №19 им. Н.З. Поповичевой
Нестандартные случаи вычисления площади криволинейной
трапеции с помощью интеграла
Урок алгебры и начал анализа в 11 классе.
Учитель: Алябьева Е.А.
Тема урока: «Нестандартные случаи нахождения площади
криволинейной трапеции с помощью интеграла»
Тип урока. Комбинированный.
Формы организации
учебной деятельности: фронтальная,
групповая, индивидуальная.
Методы организации
учебной деятельности:
словесный, наглядный, исследование.
Цели урока.
Образовательные.
Проверить и закрепить умения и навыки в вычислении интегралов по
формуле Ньютона-Лейбница и площадей фигур.
Познакомить с нестандартным приемом вычисления определенного
интеграла с обратимой подынтегральной функцией.
Познакомить учащихся с историей развития интегрального исчисления.
Развивающие.
Развитие интереса к предмету.
Активизация мыслительной деятельности.
Развитие научного мировоззрения, творческого мышления посредством
исследовательской работы.
Воспитательные.
Формирование навыков самостоятельной исследовательской работы и работы
в группах.
Выработка внимания.
Оборудование: таблица первообразных, портреты ученых, кодоскоп,
раздаточный материал с заданиями для групп и с индивидуальными заданиями.
Ход урока.
I. Организационно-мотивационный момент (1-2 мин)
Учитель объявляет тему и цели урока.
II.
Актуализация опорных знаний (3 мин)
Контрольные вопросы:
1. Дайте определение криволинейной трапеции.
2. Какова формула для вычисления площади криволинейной трапеции.
3. Объясните геометрический смысл интеграла.
4. Какова формула Ньютона- Лейбница.
III.
Блиц – контрольная(10 мин):
Тексты работы находятся на столах у учащихся (см. Приложение 1.)
IV.
Самопроверка решения блиц-контрольной
(текст контрольной записан на доске, ответы после
каждого задания выписывает учитель со слов учеников)
По результатам контрольной (числа: 69, 73, 75, 90, 92) один из
учеников дает историческую справку о развитии интегрального исчисления, а
учитель вывешивает портреты ученых на доске:
1669 год – Ньютон разработал
основы интегрального исчисления, решая геометрическую задачу квадратуры кривой (
площади криволинейной трапеции).
1673 год – Лейбниц установил
взаимообратный характер операций дифференцирования и интегрирования.
1675 год – Лейбниц ввел понятие
«интеграл», называя его суммой, и его обозначение ∫.
1690 год – Якоб Бернулли
впервые в печати употребил термин «интеграл».
1692 год – Иоганн Бернулли систематизировал
идеи и методы интегрального исчисления в работе «Математические лекции о методе
интегралов».
V. Решение проблемной задачи.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y
= arcsin x, осью абсцисс и прямыми
х = ½ и х = 1.
Обсуждение проблемы в группах по 4 человека («Мозговой штурм»).– 1 мин.
Презентация версий от каждой группы.
Решение задачи:
– выбор способа решения (переход к обратной функции х = siny).
– рассмотрение криволинейных
трапеций с площадями S = и S1 =
(учитель проецирует
соответствующие чертежи на экран)
– запись решения на доске
(ученик) :
S = .
S = .
VI.
Выполнение исследовательской работы.
Тексты находятся на столах учащихся (см. Приложение 2).
VII. Заслушивание выводов выполнения
исследовательской работы (озвучивают учащиеся, выполнившие работу до конца):
«Если f(x) – непрерывная, обратимая на [a;b]
функция и g(y) – обратная для f
функция, определенная на [f(a);f(b)], то = ».
VIII.
Подведение итогов урока.
Выполнил___________________
Блиц
– контрольная
Вариант
1.
1. Вычислите интеграл:
=
( )
=
2. Найдите площадь фигуры, изображенной на
чертеже:
3. При каких положительных значениях m верно равенство:
Решение: 1) = ____dx = ( )
=
2) _____________= 4
Приложение
1
Выполнил___________________
Блиц
– контрольная
Вариант
2.
1. Найдите площадь фигуры, изображенной на
чертеже:
2. Вычислите интеграл:
=
( ) =
3. Вычислите интеграл:
=
_______dx = (
) = =
Приложение
2
Выполнил (и)________________________
________________________
Исследовательская
работа
«Вычисление
определенного интеграла сведением его к соответствующему определенному
интегралу от функции, обратной подынтегральной»
(вывод
формулы).
Данные: 1) f – неотрицательная, дифференцируемая и обратимая на [a ; b] функция;
2) g –
обратная для f функция, определенная на [f(a); f(b)]
.
Результат исследования: формула для вычисления через соответствующий определенный
интеграл от функции, обратной подынтегральной (g).
Анализ исходных данных.
1).Выберите из предложенных функций (А, Б, В,
Г) те, которые удовлетворяют данным исследования: __________________.
2).Обоснуйте свой
выбор:_______________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Исследование.
Рассмотрите в исследовании одну из функций,
выбранных вами в п.1.
I.
Графическое исследование.
1. Выполните чертеж.
2.
Укажите характер монотонности функции.
____________________________________________
3. Изобразите (штриховкой) на чертеже
криволинейную трапецию,
ограниченную линиями у = f(x), x = a, x = b, y = 0.
Площадь
этой фигуры обозначьте S1.
4.
Изобразите (штриховкой) на чертеже фигуру,
ограниченную линиями
x = g(y), y = f(a), y = f(b), x = 0.
Площадь этой фигуры обозначьте S2.
5.
Выразите S1 через S2:
___________________________________________
Площади еще каких фигур вы использовали в полученном
выражении?
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
II.
Аналитическое исследование.
- Используя
геометрический смысл интеграла, запишите формулу, которой выражается
площадь S1:__________________________________________________.
- Используя
геометрический смысл интеграла, запишите формулу, которой выражается
площадь S2:__________________________________________________.
- Запишите формулы
для вычисления площадей других фигур, используемых вами в п.5 графического
исследования:____________________________________________.
- Запишите формулу
для вычисления через соответствующий
определенный интеграл функции g:
_____________________________________________________________________________________________________________
III. Вывод
(«если …, то …»).
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Исследуйте
следующую функцию, выбранную вами в п.1 анализа исходных данных, по
предложенной выше схеме.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.