Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.

                           ПЛАН   УРОКА

Преподаватель: Кульмамедов Разим Рахимович_                                                                         Предмет: ОУД.03 Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия

         Дата 21.04.2017г.                                                             Группа ЗИО-9-11

Тема урока: Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного  интеграла.

Обучающая цель: формирование умения вычислять площади плоских фигур с помощью интегралов.

- проверить усвоение понятия «криволинейная трапеция», формулы Ньютона – Лейбница; подвести обучающихся к выводу формул для нахождения площадей фигур; научить вычислять площади фигур с помощью интегралов, отработать алгоритм нахождения площадей фигур с помощью интегралов.

Развивающая цель- развитие правильной математической речи, мышления, памяти;

- развитие внимательности, вычислительных навыков;

- развитие навыков индивидуальной   работы.

Воспитательная цель: Способствовать формирование представления о математике как о части общечеловеческой культуры; проводить самоконтроль выполнения учебных задач; проявлять интеллектуальную инициативу при решении задач; воспитание самостоятельности, коллективизма, ответственности,  сотрудничества и взаимопомощи;

Методы обучения: диалогический; преподавания: объяснительно-побуждающий; учения: репродуктивный, частично-поисковый.

Тип урока: комбинированный.

Вид урока: изучение нового материала, проблемное изложение,

Оснащение занятия: проектор, ноутбук, экран, презентация, раздаточный материал, оценочный лист.

Межпредметные связи: физика, история, черчение

Мотивация работы студентов: Использование знании об определенном интеграле в профессиональной деятельности.

Литература: Ш.А.Алимов «Алгебра и начала анализа», Просвещение, 2016г.

     Н.В.Богомолов «Практические задания по математике»- М.: Высш.шк.,2013г

     М.И.Башмаков. «Математика сборник задач профильной направленности» Академия 2013.          сайт  Социальная сеть работников образования nsportal.ru                 

                                        Регламент времени

  Организационный момент       _____≈1_ мин.          Актуализация  ____≈5___ мин.

 Изучение нового материала ____≈15___ мин.           Закрепление      ____≈19___  мин.

 Подведение итогов урока  ___≈3___ мин.                  Задание на дом      ____≈1___ мин.

 Рефлексия __≈1___мин.

                                      Содержание урока

Этапы урока	Содержание этапов урока
1.Орагнизационная часть.
Цели для преподавателя: ·         Создать условия для возникновения у студентов внутренней потребности включения в учебную деятельность; ·         Способствовать повышению мотивации учения. Цели для студентов: ·         Включиться в учебную деятельность; ·         Подготовиться к получению новых знаний и умений.	·         Приветствие студентов и присутствующих педагогов. ·         Создание доброжелательной обстановки. ·         Проверка явки студентов на урок. ·         Проверка готовности к уроку. ·         Объяснение критерии оценки деятельности студента на уроке Рейтинг: отметка «5» - 12 баллов и более                отметка «4» - 9 – 11 баллов                отметка «3» - 6 – 8 баллов                отметка «2» - менее 6 баллов Слайд 1. ·         Объявление и запись темы урока. Целевая установка на урок. В результате изучения данной темы мы должны познакомиться с понятием «Определенный интеграл» Научиться вычислять определенный интеграл и площади плоских фигур с помощью интеграла. ·         Данная тема необходима в вашей будущей профессиональной деятельности  Слайд 2. Эпиграфом к теме этого урока уместно взять слова великого русского учёного      Н.И. Лобачевского: «Нет ни одной области математики, как бы абстрактна она ни была, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира.»
2.Актуализация знаний.
Цели для преподавателя: ·         Установить межпредметные связи по предмету; ·         Установить уровень усвоения знаний, умений; ·         Определить ошибки и пробелы в знаниях; ·         Стимулировать активность и инициативу студентов; Цели для студентов: ·         Активизировать знания, необходимые для действия в новой ситуации; ·         Проявлять самостоятельность и логическое мышление.	Вспомним материалы изученные ранее, которые понадобятся для изучения сегодняшней темы. Проведем мини тест. Предлагается 8 тестовых заданий. Слайд 3 1.       Множество всех первообразных функции  имеет вид … A.       ; B.        ; C.        2; D.       ; E.        2+. 2.       Операция нахождения неопределённого интеграла от некоторой функции называется… A.       интегрированием; B.        дифференцированием; C.        логарифмированием; D.       возведением в степень; E.        извлечением корня. 3.       Множество всех первообразных функции  имеет вид … A.       ; B.        ; C.        ; D.       ; E.        . 4.       Закончите определение: Неопределённым интегралом от функции y = f(x) называется: A.       производная функции F(x); B.        совокупность всех первообразных функции y = f(x); C.        совокупность всех производных функции y = f(x); D.       знак вида ò. 5.       Множество всех первообразных функции  имеет вид … A.    ; B.     ; C.     ; D.    . 6.       Выберите правильный вариант ответа:… A.       ; B.      ; C.      ; D.     . 7.       Закончите определение: Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке Х, если в каждой точке этого промежутка… A.     ; B.      ; C.      F(x) = f(x)+C; D.     Предел от функции F(x) при х®0 равен нулю. 8.     Выберите правильный вариант ответа: A.       ; B.        ; C.        ; D.     .
3.Изучение нового учебного материала.
Цели для преподавателя: ·         Обеспечить объяснение и изучение нового учебного материала, выполнение задач направленных на его усвоение; ·         Обеспечить восприятие, осмысление и первичное запоминание в изучении понятий определенного интеграла ·         Сформировать умение находить площадь плоских фигур с помощью интеграла; ·         Способствовать развитию познавательных способностей студентов, использованием метода проблемных вопросов, самостоятельной работы. Цели для студентов: ·         Изучить элементы цилиндра; научиться их указать; понять свойства цилиндра; запомнить формулы нахождения площадь боковой поверхности и полной поверхности цилиндра, уметь их применять в своей профессии; .		1.Понятие определенного интеграла. Основные свойства определенного интеграла. Постановка проблемы: (способы вычисления площадей сложных фигур).  В школьной программе по геометрии изучаются многие простые геометрические фигуры, границами которых являются ломаные, вам знакомы формулы для вычисления их площадей.  В математике существуют методы, позволяющие вычислять площади фигур, ограниченных кривыми. А как быть с более сложными геометрическими фигурами, как вычислить их площадь? Подумайте и приведите примеры, в каких случаях возникает необходимость решения такой задачи? ( Крой одежды, обуви, при штамповке деталей корпуса автомобиля …) Слайд 4. Проблема: как рассчитать площадь этой фигуры?   (можно сосчитать по клеткам)  Хорошо. Молодцы. А теперь сосчитайте количество клеток, принимая 1 клетку за кв.единицу. Вы нашли с помощью клеток приблизительное значение площади этой фигуры. *         Как называется данная плоская фигура? Слайд 5 В  декартовой прямоугольной системе координат XOY фигура, ограниченная осью OX, прямыми x=a, x=b (a<b)  и графиком непрерывной на отрезке [a;b] функции y=f(x), называется криволинейной трапецией              Цель нашего урока  научиться  вычислять площади таких фигур с помощью интегралов. Составить алгоритм нахождения площадей фигур с помощью интегралов. Слайд 6-7 Интеграл Рассмотрим криволинейную трапецию, заданную функцией f на отрезке [a; b]. Разобьём этот отрезок на несколько частей. Площадь всей трапеции разобьётся на сумму площадей более мелких криволинейных трапеций.  Каждую такую трапецию можно приближённо считать прямоугольником. Сумма площадей этих прямоугольников даёт приближённое представление о всей площади криволинейной трапеции. Чем мельче мы разобьём отрезок [a; b], тем точнее вычислим площадь. Запишем эти рассуждения в виде формул. Разделим отрезок [a; b] на n частей точками х0 =а, х1,… ,хn = b. Длину k-го обозначим через  хk = xk – xk-1. Составим сумму  Геометрически эта сумма представляет собой площадь фигуры, заштрихованной на рисунке Суммы вида  называются интегральными суммами для функции f.  Интегральные суммы дают приближённое значение площади. Точное значение получается при помощи предельного перехода. Представим, что мы измельчаем разбиение отрезка [a; b] так, что длины всех маленьких отрезков стремятся к нулю. Тогда площадь составленной фигуры будет приближаться к площади криволинейной трапеции. Можно сказать, что площадь криволинейной трапеции равна пределу интегральных сумм,                           =                    или интегралу, т. е., Определение: Интегралом функции f (х) от a до b называется предел интегральных сумм   =   Формула Ньютона- Лейбница. Помним, что предел интегральных сумм равен площади криволинейной трапеции, значит можно записать: Sк.т. =  С другой стороны, площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле S к. т.  Сравнивая эти формулы, получим:  =   Это равенство называется формулой Ньютона- Лейбница. Для удобства вычислений формулу записывают в виде:  =  =   Определенным интегралом  в пределах от а до b от функции f(x), непрерывной на отрезке [а, b], называется приращение любой ее первообразной  F(x) при изменении аргумента х от значения х=а до х=b:   Слайд 8 Данная формула  так же  называется формулой Ньютона-Лейбница, ее называют основной формулой интегрального исчисления. Слайд 9 - 10 Свойства определенного интеграла. —  Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых функций: —  Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: —  При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на противоположный: —  Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю: Отрезок интегрирования можно разбивать на части: Вычисляют интеграл вместе  с преподавателем.   Два примера обучающиеся решают на доске. 1); 2) ; Попробуйте сказать алгоритм нахождения определенного интеграла. Алгоритм: Слайд 11 1.Найти первообразную функцию F(x) для функции f(x) 2.Вычислить значение F(x) при x=b (b называется верхним пределом) 3. Вычислить значение F(x) при x=a (a называется нижним пределом) 4. Вычислить разность F(b) – F(a).  А знаете ли вы? Слайд 12 Что интегралы используются при: —  решении задач из области физики; —  решении экономических задач (на оптимизацию  работы фирмы в условиях конкуренции, расчет о доходности потребительского кредита); —  решении социально - демографических задач (математическая модель народонаселения Земли и др.). . Вычисление площади, самое простое применение интеграла, так как интеграл по определению тесно связан с площадью, то есть определенному интегралу геометрически соответствует площадь некоторой фигуры. Повторим основные способы вычисления. Слайд 13 —  Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной положительной на промежутке [a;b] функции f(x), осью x и прямыми x=a и x=b: Слайд 14 —  Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке [a;b] функции f(x), осью x и прямыми x=a и x=b: Слайд 15 —  Ограниченной графиками непрерывных функций y=f(x) и y=g(x) таких, что             для любого x из [a;b], где a и b – абсциссы точек пересечения графиков функций: Слайд 16 —  Замечание: Если функция изменяет знак на промежутке [a;b] , то
4.Закрепление учебного материала.
Цели для преподавателя: ·         Получить достоверную информацию о достижении всеми студентами запланированных результатов обучения; ·         Организовать активные самостоятельные действия обучающихся с содержанием нового материала. Цели для студентов: ·         Самостоятельно выполнять задания, требующие применения знаний в знакомой или измененной ситуации; ·         Осуществлять самоконтроль )взаимоконтроль) результатов учебной деятельности.	а) Фронтальный опрос: А теперь обобщим и закрепим все правила и свойства определенного интеграла 1)      Как называется функция F(x) для функции f(x)? 2)      Неопределенный интеграл – это…    3)      Каким действием проверить результат интегрирования? 4)      Криволинейная трапеция – это… 5)      Какие из фигур являются криволинейными     трапециями?  6)      Как называется приращение первообразных функций F(b) –F(a)  при  изменении аргумента х от х=a до х=b ?        7)      В чем заключается геометрический    смысл   определенного интеграла? 8)      Как вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями на рисунке? Сейчас про решаем данные примеры. Ваша задача усвоить решение таких примеров , а затем составить алгоритм решения. Давайте вместе найдем площадь данной фигуры. Для этого с начало строим график функции. Как сами видите у нас образовалось фигура которая является криволинейной трапецией. Площадь которой найдем с помощью определенного интеграла , т.е. для этого нам нужно основная формула интегрального исчисления – формула Ньютона-Лейбница б) Решение задач: Решаем вместе.  Определить площадь фигуры, образованной функцией у = 2х +5 и осью OX при изменении х от х=0 до х=3. Ответ: 24 кв.ед. Самостоятельная работа.(Приложение 1) Вариант 1 Вариант 2 Найдите значение определенных интегралов 1 1 2 2 3 3 4 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  у =. 4 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у =    А теперь поменяитесь  тетрадями и проверте работы. Каждый пример 1 балл. Ключ Слайд 17 1 2 3 4 Вариант 1. 33 36 Вариант 2. 48,4 16 0
5. Подведение итогов.
Цели для преподавателя: ·         провести анализ успешности достижения цели урока, перспектив последующей работы. Цели для студентов: ·         иметь собственную оценку результатов урока в целом и своей учебной деятельности в частности.	Подводя итог сегодняшнего урока хочу сказать, что целей, поставленных   в начале занятия мы достигли. Ознакомились с понятием определенный интеграл  Научились вычислять площади плоских фигур. Надеюсь, что полученные знания помогут вам сделать необходимые расчеты. (Объявляются оценки, полученные в ходе урока, комментируется каждая оценка)
6.Задание на дом.
Цели для преподавателя: ·         Поставить цели самостоятельной работы студентов (что должны сделать студенты в ходе выполнения домашнего задания); ·         Способствовать повышению мотивации учения; Цели для студентов: ·         Уяснить цели и содержание домашнего задания.	·         Выучить определения и формулы. ·         Написать алгоритм нахождения площади криволинейной трапеции.  ·         Составить сообщение на тему: Физический смысл определенного интеграла. ·         Решить задачи: Вычислить площадь фигуры, ограниченной  линиями  у =,  у=6-х,  х=0, х=6.  Ответ: 7 Вычислить площадь фигуры, ограниченной  линиями  у=4х -, у=0, х=5. Ответ: 13
7. Рефлексия:
Цели для преподавателя: ·         Оценить адекватность самооценки студентов оценке преподавателя. Цели для студента: ·         Проанализировать собственную учебную деятельность на уроке.		·         Что было трудным для вас на уроке? ·         Как оцениваете свою работу. ·         Понравился ли вам урок?

Приложение 1

1  Множество всех первообразных функции  имеет вид …

A.          ;

B.           ;

C.           2;

D.          ;

E.           2+.

2         Операция нахождения неопределённого интеграла от некоторой функции называется…

A.          интегрированием;

B.           дифференцированием;

C.           логарифмированием;

D.          возведением в степень;

E.           извлечением корня.

3         Множество всех первообразных функции  имеет вид …

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .

4    Закончите определение:

Неопределённым интегралом от функции y = f(x) называется:

1. производная функции F(x);
2. совокупность всех первообразных функции y = f(x);
3. совокупность всех производных функции y = f(x);
4. знак вида ò.

5         Множество всех первообразных функции  имеет вид …

A.    ;

B.     ;

C.     ;

D.    .

6    Выберите правильный вариант ответа:…

1. ;
2. ;
3. ;
4. .

7    Закончите определение:

Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке Х, если в каждой точке этого промежутка…

1. ;
2. ;
3. F(x) = f(x)+C;
4. Предел от функции F(x) при х®0 равен нулю.

8   Выберите правильный вариант ответа:

A.      ;

B.      ;

C.      ;

D.   

Приложение 2

Приложение 3

	Вариант 1	Вариант 2
Найдите значение определенных интегралов
1		1
2		2
3		3
4	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у =	4	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  у = у=0

Приложение 4

Домашнее задание

·         Написать алгоритм нахождения площади криволинейной трапеции. 

·         Составить сообщение на тему : Физический смысл определенного интеграла.

·      Вычислить площадь фигуры, ограниченной  линиями  у =,  у=6-х,  х=0, х=6. 

·         Вычислить площадь фигуры, ограниченной  линиями  у=4х -, у=0, х=5.

·         Индивидуальное задание.

Составить сообщение на тему: Создатели интегрального исчисления.

                   Оценочный лист студента гр. ЗИО-9-11

Ф.И.О                                                                

№ п/п	Содержание	Баллы
1	Мини тест на 8 вопросов. За один правильный ответ  1 балл.
2	Решение задач по вариантам . 2 балла.
3	Самостоятельная работа. За каждый правильный пример 1 балл.
4	Дополнительные баллы
5	Итоговая оценка

Рейтинг: отметка «5» - 12 баллов и более

               отметка «4» - 9 – 11 баллов

               отметка «3» - 6 – 8 баллов

               отметка «2» - менее 6 баллов

                      Оценочный лист студента гр. ЗИО-9-11

Ф.И.О.

№ п/п	Содержание	Баллы
1	Мини тест на 8 вопросов. За один правильный ответ  1 балл.
2	Решение задач по вариантам . 2 балла.
3	Самостоятельная работа. За каждый правильный пример 1 балл.
4	Дополнительные баллы
5	Итоговая оценка

Рейтинг: отметка «5» - 12 баллов и более

               отметка «4» - 9 – 11 баллов

               отметка «3» - 6 – 8 баллов

               отметка «2» - менее 6 баллов