Муниципальное общеобразовательное учреждение
гимназия №19 им. Н.З.Поповичевой
«Тригонометрия без формул и таблиц»
Внеурочное мероприятие
по алгебре и началам математического анализа
в 10 классе.
Учитель: Алябьева Е.А.
Липецк
Тема занятия: «Тригонометрия без формул и таблиц»
«В математике следует помнить
не формулы, а процессы мышления»
Ермаков В.П.
Формы организации
деятельности: фронтальная,
индивидуальная, групповая (парная).
Методы организации
деятельности: словесный, наглядный,
проблемный.
Цели занятия.
Образовательные.
Научить учащихся
находить синусы острых углов с точностью до 2% и углы по заданному значению
синусов с точностью до 1°, пользуясь лишь определением синуса, не прибегая ни к
таблицам, ни к формулам.
Развивающие.
Развитие интереса к
предмету.
Активизация
мыслительной деятельности.
Развитие научного
мировоззрения, творческого мышления посредством создания проблемной ситуации.
Познакомить учащихся с историей возникновения термина «синус».
Воспитательные.
Формирование навыков решения
практических задач, используя математические знания.
Выработка внимания.
Оборудование:
Раздаточный материал –
рабочие листы для каждого ученика (приложение 1). Наглядные материалы
(Приложения 2 - 6).
Ход занятия.
I. Организационно-мотивационный момент.
Вообразите, что вы еще не знакомы с тригонометрией или забыли ее без
остатка. Давайте начнем знакомиться с ней заново. Начнем с понятия синуса
острого угла.
Историческая справка. Откуда взялось слово «синус»? Греки брали за синус
хорду удвоенной дуги 2α – дуга АС (Приложение 2) и называли ее «джива» –
тетива. Индусы понимали под синусом отрезок АВ (как в современной
тригонометрии), но название греков, однако, сохранили – «джива», произведения
индусов дошли до нас через арабов, которые из «джива» сделали «джиба». «Джиба»
– слово ничего не значащее по- арабски, но так как арабы пишут без гласных
букв, а только одни согласные, то с течением времени слово «джиба» переделали в
«джаиб», значившее «грудь». В XII веке арабские труды по тригонометрии были
переведены на латинский язык, а слово «джаиб» по-латински звучит «синус»
(грудь). Так название, не соответствующее геометрическому представлению об этом
понятии, удержалось до наших дней.
II.
Актуализация опорных знаний .
Повторить определение
синуса острого угла прямоугольного треугольника, как отношение противолежащего
катета к гипотенузе.
Повторить определение синуса угла через отношение ординаты точки
окружности к радиусу (Приложение 2).
III.
Решение задач.
III.1
Вычисление значений синусов углов от 1° до 15°.
Учитель: Чему равны
синусы различных углов от 1 до 90 градусов? Как узнать это? Нельзя пользоваться
калькулятором и таблицами. Весьма просто: надо составить эту таблицу самому.
Этим мы сейчас и займемся.
Будем считать, что
несколько ключевых табличных значений синуса вы помните: sin30°=0,5;
sin45°=
≈0,707; sin90°=1.
Этого вполне достаточно, чтобы вычислить синусы остальных углов через
каждый градус. Оговоримся: способы вычисления являются приближенными, но дают
значения синуса с точностью до 0,01 (т. е. значения синусов верны в первых
двух десятичных знаках).
Для сравнения точности вычислений с таблицами необходимо выбрать группу
экспертов, которая будет корректировать неверные арифметические действия.
Результаты вычислений вы будете записывать в таблицу, которая находиться в
рабочих листах, лежащих перед каждым из вас (Приложение 1).
Выбирается экспертная группа (2 человека).
Объяснение способа
вычисления синусов углов от 1° до 15° (Приложение 3).
sin α = 
.
Для малых углов можно вместо хорды АВ брать значение дуги АС.
Показать примеры вычисления синусов углов 1°, 2°, 3°.
Экспертная группа проверяет правильность вычислений.
Задание классу:
Найдите синусы углов от 4° до 15° (индивидуально каждому ученику). Занесите
найденные значения в таблицу.
Как далеко можно продолжать эту таблицу, не делая большой погрешности?
Задание классу:
Найдите sin30° и сравните полученное значение с табличным (0,5).
Найденное значение 0,524 > 0,5 на 0,024, т. е. относительная
погрешность равна 
. Очень грубо!
Поэтому для углов от
15° до 30° воспользуемся другим способом вычислений.
III.2
Вычисление значений синусов углов от 15° до 30°.
Объяснение способа
вычисления синусов углов от 15° до 30° (Приложение 4).
sin15°≈0,26; sin30°=0,5. sin30° – sin15°≈0,24.
Допустим, что при
увеличении угла на каждый градус, его синус возрастает приблизительно на 
этой разницы, т. е. на 
.
sin16°=0,26+0,016≈0,28; sin17°=0,26+2∙0,016≈0,29 …
sin30°=0,26+15∙0,016=0,5.
Экспертная группа проверяет правильность вычислений.
Задание классу:
Найдите синусы углов от 18° до 29° (индивидуально каждому ученику). Занесите
найденные значения в таблицу.
III.3
Вычисление значений синусов углов от 30° до 45°.
Учитель: Аналогично
поступают при вычислении синусов углов от 30° до 45°.
Задание классу:
Выведите формулу для вычисления синусов углов от 30° до 45°.
Вывод формулы у доски (Приложение 5).
III.4.
Вычисление значений синусов углов больших 45°.
Объяснение способа
вычисления синусов углов больших 45° (Приложение 6).
В
этом нам поможет теорема Пифагора.
Предположим, необходимо найти sin53°.ΔВАС: ∟А=53°; ∟В=37°.
sin37°=0,5+7∙0,014=0,598≈0,6
sinВ=
sinА=
.
. sin53°=0,8.
Задание классу: Найти
sin65° (У доски решает ученик).
III.5.
Вычисление значений углов по их синусам.
Объяснение способа
вычисления углов по их синусам.
Задание классу: Найти
угол α по значениям его синуса:
1 ряд : sinα = 0,38 ; 2 ряд : sinα = 0,62; 3 ряд : sinα =
0,91.
IV. Подведение итогов занятия.
V. Домашнее задание.
Заполнить таблицу синусов до конца.
Приложение
1.
Тема
урока:
Тригонометрия
без формул и таблиц.
______________________________________
Фамилия, имя
|
Угол
|
Синус
|
Угол
|
Синус
|
Угол
|
Синус
|
Угол
|
Синус
|
Угол
|
Синус
|
Угол
|
Синус
|
|
1º
|
|
16º
|
|
31º
|
|
46º
|
|
61º
|
|
76º
|
|
|
2º
|
|
17º
|
|
32º
|
|
47º
|
|
62º
|
|
77º
|
|
|
3º
|
|
18º
|
|
33º
|
|
48º
|
|
63º
|
|
78º
|
|
|
4º
|
|
19º
|
|
34º
|
|
49º
|
|
64º
|
|
79º
|
|
|
5º
|
|
20º
|
|
35º
|
|
50º
|
|
65º
|
|
80º
|
|
|
6º
|
|
21º
|
|
36º
|
|
51º
|
|
66º
|
|
81º
|
|
|
7º
|
|
22º
|
|
37º
|
|
52º
|
|
67º
|
|
82º
|
|
|
8º
|
|
23º
|
|
38º
|
|
53º
|
|
68º
|
|
83º
|
|
|
9º
|
|
24º
|
|
39º
|
|
54º
|
|
69º
|
|
84º
|
|
|
10º
|
|
25º
|
|
40º
|
|
55º
|
|
70º
|
|
85º
|
|
|
11º
|
|
26º
|
|
41º
|
|
56º
|
|
71º
|
|
86º
|
|
|
12º
|
|
27º
|
|
42º
|
|
57º
|
|
72º
|
|
87º
|
|
|
13º
|
|
28º
|
|
43º
|
|
58º
|
|
73º
|
|
88º
|
|
|
14º
|
|
29º
|
|
44º
|
|
59º
|
|
74º
|
|
89º
|
|
|
15º
|
|
30º
|
|
45º
|
|
60º
|
|
75º
|
|
90º
|
|
Вычисление синуса данного угла.
Приложение
2
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.