Задачи С-4 к ЕГЭ

Задания 16

1. В прямоугольной трапеции АВСD с прямым углом при вершине А расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания АD, вторая – боковых сторон, меньшего основания ВС и первой окружности.

а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание АD в точке Р. Докажите, что  .

б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны .

2. Диагонали АС и ВD четырехугольника АВСD, вписанного в окружность, пересекаются в точке Р,  причем ВС = СD.

а) Докажите, что АВ : ВС = АР : РD.

б) Найдите площадь треугольника СОD, где О – центр окружности, вписанной в треугольник АВD, если дополнительно известно, что ВD – диаметр описанной около четырехугольника АВСD окружности, АВ = 5,  а ВС = .

3. Точка В лежит на отрезке АС. Прямая, проходящая через точку А, касается окружности с диаметром ВС в точке М и второй раз пересекает окружность с диаметром АВ в точке К. Продолжение отрезка МВ пересекает окружность с диаметром АВ в точке D.

а) Докажите, что прямые АD и МС параллельны.

б) Найдите площадь треугольника DВС, если АК = 3 и МК = 12.

4. Две окружности касаются внутренним образом в точке К, причем меньшая проходит через центр большей. Хорда МN большей окружности касается меньшей в точке С. Хорды КМ и  КN пересекают меньшую окружность в точках А и В соответственно, а отрезки КС и АВ пересекаются в точке L.

а) Докажите, что СN : CМ = LВ : LА.

б) Найдите МN, если LВ : LА = 2 : 3, а радиус малой окружности равен

5. Диагональ АС прямоугольника АВСD с центром О образует со стороной АВ угол 30º. Точка Е лежит вне прямоугольника, причем .

а) Докажите, что

б) Прямая ОЕ  пересекает сторону АD прямоугольника в точке К. Найдите ЕК, если известно, что ВЕ = 40 и СЕ = 24.

6. Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.

а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основании.

б) Известно, что радиус этой окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?

7. Прямая, параллельная основаниям ВС и АD  трапеции АВСD, пересекает боковые стороны АВ и СD в точках М и N. Диагонали АС и ВD пересекаются в точке О. Прямая МN пересекает стороны ОА и ОD треугольника АОD в точках К и L соответственно.

а) Докажите, что МК = NL

б) Найдите МN, если известно, что ВС = 3, АD = 8 и МК : КL = 1 : 3

8. Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 26 и 38 соответственно.

а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник.

б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключенного внутри окружности.

9. На отрезке ВD взята тоска С. Биссектриса ВL равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС является боковой стороной равнобедренного треугольника ВLD с основанием  BD.

а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.

б) Известно, что . В каком отношении прямая DL делит сторону АВ?

10. Окружность с центром О, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках С₁, В₁ и А₁ соответственно.  Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника АВ₁С₁.

а) Докажите, что С₁Q – биссектриса угла АС₁В₁.

б) Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник АС₁В₁, если известно, что ВС = 15, АВ = 13, АС = 14.

11. В треугольнике АВС известно, что . Продолжения высот треугольника АВС пересекают описанную около него окружность в точках М, N, Р.

а) Докажите, что треугольник МNР прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника МNР, если известно, что ВС = 6.

12. Четырехугольник АВСD вписан в окружность, причем сторона СD  - диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра АН к диагонали ВD пересекает сторону СD в точке Е, а окружность – в точке F, причем Н – середина АЕ.

а) Докажите, что четырехугольник ВСFЕ – параллелограмм.

б) Найдите площадь четырехугольника АВСD, если известно, что АВ = 5 и АН = 4.

13. Отрезок, соединяющий середины М и N оснований соответственно ВС и АD трапеции АВСD, разбивает ее на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.

а) Докажите, что трапеции АВСD равнобедренная.

б) Известно, что радиус этих окружностей равен 2, а меньше основание ВС исходной трапеции равно 6. Найдите радиус окружности, касающейся боковой  стороны АВ, основания АN трапеции АВМN  и вписанной в нее окружности.

14. Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. На катете АС взята точка М. Окружность с центром О и диаметром СМ  касается гипотенузы в точке N.

а) Докажите, что прямые МN и ВО параллельны.

б) Найдите площадь четырехугольника ВОМN, если СN = 4 и АМ : МС = 1 : 3.

15. Около остроугольного треугольника АВС описана окружность с центром О. На продолжении отрезка АО за точку О отмечена точка К так, что .

а) Докажите, что четырехугольник ОВКС вписанный.

б) Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника ОВКС, если .

16. В остроугольном треугольнике АВС провели высоту ВН. Из точки Н на стороны АВ и ВС опустили перпендикуляры НК и НМ соответственно.

а) Докажите, что треугольник МВК подобен треугольнику АВС.

б) Найдите отношение площади треугольника МВК к площади четырехугольника АКМС, если ВН = 3, а радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 4.

17. Высоты ВВ₁ и СС₁ остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н.

а) Докажите, что .

б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника АВС, до стороны ВС, если

18. Одна окружность вписана в прямоугольную трапецию, а вторая касается большей боковой стороны и продолжений оснований.

а) Докажите, что расстояние между центрами окружностей равно большей боковой стороне трапеции.

б) Найдите расстояние от вершины одного их прямых углов трапеции до центра второй окружности, если точка касания первой окружности с большей боковой стороной трапеции делит ее на отрезки, равные 4 и 36.