Задание №14 на ЕГЭ-2019. Различные методы и способы решения.

Задание № 14 на ЕГЭ-2019. Различные методы и способы решения.

№1.1.(а)  В правильной треугольной пирамиде SABC точка P — делит сторону AB в отношении 2:3, считая от вершины A , точка K — делит сторону BC в отношении 2:3, считая от вершины C . Через точки P и K параллельно SB проведена плоскость .

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью  является прямоугольником.

б) Найдите расстояние от точки S до плоскости  , если известно, что SC=5, AC=6.

   Ответ:  Источник: ЕГЭ — 2019. Ос­нов­ная волна 29.05.2019. Дальний Восток. Вариант Р.Я.

Дано: SABC—правильная пирамида , AP:PB=CK:KB=2:3,-плоскость.

а) сечение пирамиды плоскостью  является прямоугольником.

б)Найти  — расстояние от точки S до плоскости  , если известно, что SC=5, AC=6.

Решение:

1-й способ (метод координат).

Пусть точка O – центр равностороннего треугольника, BH – высота ,

Введем прямоугольную систему координат, как показано на рисунке: точка A – начало отсчета; оси x, y, z лучи AC, AV, AW соответственно, где лучи AV и BH  сонаправлены, луч AW сонаправлен с лучом OS. Пусть AB=m, AS=k. Тогда координаты точек:  .

Координаты некоторых точек найдем более подробно: , так как в равностороннем треугольнике высота является медианой и биссектрисой треугольника; ,так как катет равен произведению гипотенузы на синус противолежащего угла;  , так как медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении 2:1, считая от вершины; по теореме Пифагора   .

Координаты точек  .

Координаты этих точек находим из векторных равенств  и

Уравнение плоскости  имеет вид . Так как из параллельности прямой и плоскости получим .

Подставляя координаты точек P и K в уравнение плоскости и определения скалярного произведения векторов получим систему уравнений.

Значит уравнение плоскости где  - вектор нормали к плоскости  .

Найдем точку M – точку пересечения прямой AS и плоскости , уравнение прямой AS: пусть , тогда  и получим уравнение прямой  AS в параметрическом виде    и подставляя его в уравнение плоскости  получим   Получим  .

Найдем точку N – точку  пересечения прямой CS и плоскости , уравнение прямой CS: пусть , тогда  и получим уравнение прямой  CS в параметрическом виде    и подставляя его в уравнение плоскости  получим   Получим  .

Получили четырехугольник MNKP – сечение пирамиды плоскостью . Докажем, что MNKP – параллелограмм, так как , то , значит MNKP – параллелограмм. Докажем, что MNKP – прямоугольник, так как ,значит  , тогда  и MNKP – прямоугольник, что и требовалось доказать.

б) Расстояние от точки S до плоскости  найдем по

формуле  , где .

По условию , значит . Тогда   – расстояние от точки S до плоскости .

Ответ: б)

Решение: 2-й способ (геометрический метод).

Дано: SABC—правильная пирамида , AP:PB=CK:KB=2:3,-плоскость.

а) сечение пирамиды плоскостью  является прямоугольником.

б)Найти  — расстояние от точки S до плоскости  , если известно, что SC=5, AC=6.

Решение:

Так как AP:PB=CK:KB=2:3, то BP:BA=BK:BC=3:5, значит  по пропорциональности двух сторон и равенству углов между ними, тогда  и эти углы являются соответственными углами для прямых PK и AC, и секущей AS, поэтому .

На грани SCB проведем прямую , на грани SAB проведем прямую , проведем отрезок MN в грани SAC, отрезок PK в грани ABC и получим PKNM – четырехугольник, который является сечением пирамиды плоскостью .

 по двум углам:  общий,  как соответственные углы при параллельных прямых KN и BS, и секущей CB. Тогда получим, что соответствующие стороны пропорциональны, то есть CK:CB=CN:CS=KN:BS=2:5, значит .

 по двум углам:  общий,  как соответственные углы при параллельных прямых PM и BS, и секущей AB. Тогда получим, что соответствующие стороны пропорциональны, то есть AP:AB=AM:AS=PM:BS=2:5, значит .

Следовательно, , значит PKNM – параллелограмм, так как противоположные стороны параллельны и равны.

Прямые  и прямая BH является проекцией прямой BS, тогда по теореме о трех перпендикулярах . Поэтому будут перпендикулярны соответственно параллельные им прямые PM  и PK, поэтому  и PKNM – прямоугольник, что и требовалось доказать.

б) Проведем высоту BH в треугольнике АВС, которая пересекает отрезок PK в точке R. SH является высотой боковой грани ACS и пересекает MN в точке T. Получим . Так как  по пропорциональности двух сторон и равенству углов между ними BK:BC=BP:BA=3:5, а значит и их высоты BR:BH=3:5.

Так как  по пропорциональности двух сторон и равенству углов между ними NS:CS=MS:AS=3:5, а значит и их высоты ST:SH=3:5.

Тогда HT:HS=HR:HB=2:5 и   – общий угол, значит  поэтому  и эти углы являются соответственными углами для прямых RT и BS, и секущей HS, поэтому  и высоты этих треугольников относятся как 2:5.

Значит , где площадь  найдем по формуле Герона: BS=5, , , , .

Ответ:

Задание № 14 на ЕГЭ — 2019 по математике, профиль. Дидактические материалы.

Основная волна 29.05.2019.

№1.1.(а)  В правильной треугольной пирамиде SABC точка P — делит сторону AB в отношении 2:3, считая от вершины A , точка K — делит сторону BC в отношении 2:3, считая от вершины C . Через точки P и K параллельно SB проведена плоскость .

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью  является прямоугольником.

б) Найдите расстояние от точки S до плоскости  , если известно, что SC=5, AC=6.

   Ответ:  Источник: ЕГЭ — 2019. Ос­нов­ная волна 29.05.2019. Дальний Восток. Вариант Р.Я.

№1.2.(а)  В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB= 9, а боковое ребро SA = 6. На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём AK:KB = SM:MC = 2:7. Плоскость  содержит прямую KM и параллельна прямой SA.

а) Докажите, что плоскость  делит ребро SB в отношении 2:7, считая от вершины S .

б) Найдите расстояние между прямыми SA и KM .  

 Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Ос­нов­ная волна 29.05.2019. С.Петербург. Вариант Р.Я.

№1.3.(а) В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB= 4, а боковое ребро SA = 3. На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём AK:KB = SM:MC = 3:1. Плоскость  содержит прямую KM и параллельна прямой SA.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABC плоскость  является прямоугольником.

б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка А, основание – сечение пирамиды плоскостью .  

 Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Ос­нов­ная волна 29.05.2019. Вариант Я.

№1.3.(б) В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB= 6, а боковое ребро SA = 5. На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём AK:KB = SM:MC = 5:1. Плоскость  содержит прямую KM и параллельна прямой SA.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABC плоскостью  является прямоугольником.

б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка А, основание – сечение пирамиды плоскостью .  

 Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Ос­нов­ная волна 29.05.2019. Вариант .Л.

№1.4.(а) В правильной треугольной пирамиде SABC точка K — делит сторону SC в отношении 1:2, считая от вершины S , точка N — делит сторону SB в отношении 1:2, считая от вершины S . Через точки N и K параллельно SA проведена плоскость .

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью  параллельно прямой BC.

б) Найдите расстояние от точки B до плоскости , если известно, что SA=9, AB=6.

Отве: Источник: ЕГЭ — 2019. Ос­нов­ная волна 29.05.2019. Центр Вариант Р.Я.

№1.5.(а) В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 5, а боковое ребро SA равно 3. На ребрах AB и SC отмечены точки K и М соответственно, причем АК:КВ = SM:MC = 1:4. Плоскость  содержит прямую КМ и параллельна прямой SA.

а) Докажите, что плоскость  делит ребро AC в отношении 1:4, считая от вершины А.

б) Найдите расстояние между прямыми SA и KM.

Ответ:  . Источник: ЕГЭ — 2019. Ос­нов­ная волна 29.05.2019.  Вариант М.

№1.6.(а) В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB=3, а боковое ребро SA=2. На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём AK:KB=SM:MC=1:2.Плоскость  содержит прямую KM и параллельна SA.

а) Докажите, что плоскость  делит ребро AC в отношении 1:2, считая от вершины A .

б) Найдите расстояние между прямыми SA и KM.

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Ос­нов­ная волна 29.05.2019.  Вариант №316.Р.

№1.7.(а) В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB=3, а боковое ребро SA=4. На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём AK:KB=SM:MC=1:2. Плоскость  содержит прямую KM и параллельна BC.

а) Докажите, что плоскость  параллельна прямой SA.

б) Найдите угол между плоскостями и SBC.

Ответ:  Источник: ЕГЭ — 2019. Ос­нов­ная волна 29.05.2019. Вариант №324.Я.

№1.7.(б) В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB=6, а боковое ребро SA=7. На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём AK:KB=SM:MC=1:5. Плоскость  содержит прямую KM и параллельна BC.

а) Докажите, что плоскость  параллельна прямой SA.

б) Найдите угол между плоскостями и SBC.

Ответ:  Источник: ЕГЭ — 2019. Ос­нов­ная волна 29.05.2019. Вариант №324.Я.

№1.8.(а)  В правильной четырехугольной пирамиде SABCD AB=7; AS=14. На сторонах CD и SC взяты точки N и K соответственно, причем DN:NC=SK:KC=2:5. Плоскость  содержит прямую NK и параллельна ребру AS. 

а) Докажите, что плоскость  параллельна ВС.

б) Найдите расстояние от точки B до плоскости .

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Ос­нов­ная волна 29.05.2019.  Вариант Л.А.Я.

№1.9.(а) В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB= 4, а боковое ребро SA = 8. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN:NC = SK:KC =1:3. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC.

а) Докажите, что плоскость   делит ребро AB в отношении 1:3, считая от вершины A .

б) Найдите расстояние между прямыми SA и KN.

Ответ:  Источник: ЕГЭ — 2019. Ос­нов­ная волна 29.05.2019.  Вариант №405.Р.

№1.9.(б) В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB=8, а боковое ребро SA=10. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN:NC = SK:KC =1:7.Плоскость  содержит прямую KN и параллельна прямой BC.

а) Докажите, что плоскость  делит ребро SB в отношении 1:7, считая от вершины S .

б) Найдите расстояние между прямыми SA и KN.

Ответ:б)  Источник: ЕГЭ — 2019. Ос­нов­ная волна 29.05.2019.  Вариант №409.Р.Я.

№1.10.(а) В правильном тетраэдре ABCD точки K и M — середины рёбер AB и CD соответственно. Плоскость содержит прямую KM и параллельна прямой AD.

а) Докажите, что сечение тетраэдра плоскостью  — квадрат.

б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью, если

Ответ:б)3  Источник: ЕГЭ — 2019. Ос­нов­ная волна 29.05.2019.  Вариант №991.Р.

№1.11.(а) В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB=6, а боковое ребро SA=7. На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём AK:KB=SM:MC=5:1. Плоскость  содержит прямую KM и параллельна прямой  BC.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABC плоскостью  является прямоугольником.

б) Найдите расстояние от точки C до плоскости угол  .

Ответ:  Источник: ЕГЭ — 2019. Ос­нов­ная волна 29.05.2019. Вариант № .Я.

№1.12.(а) В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB=3, а боковое ребро SA=6. Точка  K делит ребро SC , причём  SK:KC =1:2.Плоскость  проходит через точку K и параллельна плоскости SAD.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью  является равнобедренной трапецией.

б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка S, а основание – сечение пирамиды SABCD плоскостью .

Ответ:б)  Источник: ЕГЭ — 2019. Ос­нов­ная волна 29.05.2019.  Вариант № .Я.

Основная волна. Резерв. 24.06.2019.

№1.13.(а) В правильной треугольной призме  сторона основания равна 4, а боковое ребро равно 2. Точка M — середина ребра , а точка O — точка пересечения диагоналей боковой грани .

а) Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника, являющегося сечением призмы  плоскостью AMB лежит на отрезке .

б) Найдите угол между прямой , и плоскостью AMB.

Ответ:    Источник: ЕГЭ — 2019. Ос­нов­ная волна. Резерв. 24.06.2019.  Вариант №503.и Кавказ. Р.

№1.13.(б) В правильной треугольной призме  сторона основания равна 4, а боковое ребро равно 6. Точка M — середина ребра , а точка O — точка пересечения диагоналей боковой грани .

а) Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника, являющегося сечением призмы  плоскостью AMB лежит на отрезке .

б) Найдите угол между прямой , и плоскостью AMB.

Ответ:  Источник: ЕГЭ — 2019. Ос­нов­ная волна. Резерв. 24.06.2019.  Вариант Л.

№1.14.(а) В кубе  рёбра равны 1. На продолжении отрезка  за точку  отмечена точка M так, что , а на продолжении отрезка  за точку C отмечена точка N так, что .

а) Докажите, что .

б) Найдите расстояние между прямыми  и MN .

Ответ:  Источник: ЕГЭ — 2019. Ос­нов­ная волна. Резерв. 24.06.2019.  Вариант 992.Р.

Досрочная волна (29.03.19).

№1.15.(а) Дана пирамида SABC, в которой SC=SB=AB=AC=, SA=BC=.

а) Докажите, что ребро SA перпендикулярно ребру BC.

б) Найдите расстояние между ребрами BC и SA.

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Досрочная волна.. 29.03.2019.  Вариант

№1.15.(б) Дана пирамида SABC, в которой SC=SB=AB=AC=, SA=BC=.

а) Докажите, что ребро SA перпендикулярно ребру BC.

б) Найдите расстояние между ребрами BC и SA.

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Досрочная волна.. 29.03.2019.  Вариант

№1.16.(а) В треугольной пирамиде PABC с основанием ABC известно, что AB=13, PB=15, . Основанием высоты этой пирамиды является точка C. Прямые PA и BC перпендикулярны.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Найдите объем пирамиды PABC.

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Досрочная волна.. 29.03.2019.  Вариант

Досрочная волна, резерв. (10.04.19).

№1.17.(а) В конусе с вершиной S и центром основания O, радиус основания равен 13, а высота равна . Точки A и B – концы образующих, M – середина SA, N – точка в плоскости основания такая, что прямая MN параллельна прямой SB.

а) Докажите, что .

б) Найдите угол между прямой  MB и плоскостью основания конуса, если известно, что AB=10.

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Досрочная волна.. Резерв. 10.04.2019.  Вариант

№1.17.(б) В конусе с вершиной S и центром основания O, радиус основания равен 5, а высота равна . Точки A и B – концы образующих, M – середина SA, N – точка в плоскости основания такая, что прямая MN параллельна прямой SB.

а) Докажите, что .

б) Найдите угол между прямой MB и плоскостью основания конуса , если известно, что AB=8.

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Досрочная волна.. Резерв. 10.04.2019.  Вариант

Краткое описание документа:

Рассмотрены различные методы и способы решения задания №14 на ЕГЭ-2019 по математике. Рассмотрен координатный метод и геометрический метод решения задания № 14, дан дидактический материал из открытых источников задания №14, которые были на экзамене 2019 году, с указанием ответов. Обучающиеся самостоятельно решают задания, используя образцы решения.