Задание 18 ЕГЭ. Комбинация "кривых"

18.1. Комбинация «кривых»

1. Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений имеет более двух решений:

Решение. Прежде, чем приступим к решению этого задания, вспомним определение модуля:

Построим график первого уравнения. Для этого разберём 4 случая.

I.

– прямая пропорциональность, графиком является прямая, проходящая через точки и . Построим график этой функции в заданной области.

II.

– функция, обратная квадратичной функции, её графиком является парабола, симметричная параболе функции относительно прямой . Поэтому вершиной данной параболы является точка , ветви направлены вправо. Строим эту параболу в заданной области.

III.

– квадратичная функция, графиком является парабола с вершиной в точке , ветви направлены вверх. Строим эту параболу в заданной области.

IV.

График функции первой системы в совокупности мы уже разбирали ранее, строим его в заданной области.

– линейная функция, графиком является прямая, проходящая через точки и . Строим этот график в заданной области.

Изобразим теперь все кусочки на одной системе координат.

Для того, чтобы исходная система уравнений имела более двух решений, график второго уравнения (а это есть прямая, параллельная прямой , которая смещается вдоль оси Оу на а единиц ) должен пересекать график первого уравнения более, чем в двух точках.

По графику легко определить, что в этом случае .

Ответ:

2. При каких значениях параметра a система имеет решения?

Решение. Преобразуем второе уравнение системы и применим способ подстановки.

Для того, чтобы система имела решения, необходимо, чтобы второе уравнение этой системы имело корни. Так как это квадратное уравнение, то оно имеет корни при неотрицательном дискриминанте.

Значит, при корни квадратного уравнения существуют. Найдём их:

Тогда исходная система уравнений принимает вид:

Далее можно продолжить алгебраическое решение, а можно проиллюстрировать на графике. Мы рассмотрим оба варианта.

Алгебраическое решение.

Решаем первое неравенство совокупности.

Решаем второе неравенство совокупности.

Возвращаемся к совокупности этих двух неравенств.

Напомним: решением системы является пересечение двух множеств, а решением совокупности – объединение двух множеств.

Графическое решение. Построим график функции – квадратичная функция, графиком является парабола с вершиной в точке , где

, т.е. – вершина, ветви направлены вверх.

По графику видно, что наименьшее значение, которое может принимать у – это -1. Значит,

Эту совокупность мы решили выше.

Ответ:

3. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения.

Решение.

Преобразуем первое уравнение системы.

Построим графики функций в заданной области.

– постоянная функция, графиком является прямая, проходящая через точку параллельно оси .

– обратная пропорциональность, графиком является гипербола, расположенная в I и III четвертях, симметричная относительно начала координат.

Исходная система должна иметь ровно два различных решения. По графику легко определить, как должна проходить прямая .

Если , то прямая пересекает графики обеих функций в двух точках.

Если и , то прямая пересекает графики обеих функций в трёх точках.

Если , то прямая пересекает графики обеих функций в двух точках.

Если , то точка пересечения будет только одна.

Итак, исходная система имеет ровно два различных решения при .

Ответ: .

4. Найти все значения , при каждом из которых система уравнений имеет более двух решений

Решение.

Построим график первого уравнения. Для этого разберём 4 случая.

I.

– прямая пропорциональность, графиком является прямая, проходящая через точки и . Построим график этой функции в заданной области.

II.

– функция, обратная квадратичной функции, её графиком является парабола, симметричная параболе функции относительно прямой . Поэтому вершиной данной параболы является точка , ветви направлены влево. Строим эту параболу в заданной области.

III.

– квадратичная функция, графиком является парабола с вершиной в точке , ветви направлены вниз. Строим эту параболу в заданной области.

IV.

График функции первой системы в совокупности мы уже разбирали ранее, строим его в заданной области.

– линейная функция, графиком является прямая, проходящая через точки и . Строим этот график в заданной области.

Изобразим теперь все кусочки на одной системе координат.

Для того, чтобы исходная система уравнений имела более двух решений, график второго уравнения (а это есть прямая, параллельная прямой , которая смещается вдоль оси Оу на а единиц ) должен пересекать график первого уравнения более, чем в двух точках.

По графику легко определить, что в этом случае .

Ответ:

5. При каком значении параметра а система имеет ровно три решения?

Решение.

Преобразуем первое уравнение системы.

Построим графики функций в заданной области.

– постоянная функция, графиком является прямая, проходящая через точку параллельно оси .

– обратная пропорциональность, графиком является гипербола, расположенная в I и III четвертях, симметричная относительно начала координат.

Исходная система должна иметь ровно три различных решения. По графику легко определить, как должна проходить прямая .

Находя точки пересечения прямой с графиками рассмотренных функций, необходимо учитывать, что является решением системы.

Если , то прямая не пересекает графики функций.

Если , то прямая пересекает графики обеих функций в двух точках.

Если , то прямая пересекает графики обеих функций в трёх точках.

Если , то прямая пересекает графики обеих функций в четырёх точках.

Если , то точек пересечения три.

Если , то прямая пересекает графики обеих функций в четырёх точках.

Итак, исходная система имеет ровно три решения при

Ответ: .

6. Найдите все значения а, при каждом из которых система имеет более двух решений.

Решение. Построим график первого уравнения, предварительно преобразовав его.

График первой системы совокупности выглядит так:

Для построения графика второй системы совокупности напомним, что:

– окружность с центром в точке и радиусом .

Найдём точки пересечения окружности с прямыми и .

На одной системе координат изобразим решение совокупности:

Второе уравнение исходной системы преобразуем в виде: – линейная функция, графиком является прямая, проходящая через точку , параллельная прямой .

Для того, чтобы определить при каком значении а прямая имеет с окружностью только одну общую точку, решим систему:

Преобразуем второе уравнение:

Чтобы точка пересечения была единственной, необходимо, чтобы данное уравнение имело единственный корень, а, значит, дискриминант должен равняться нулю. Найдём его.

Итак, прямая касается окружности, т.е. имеет с ней одну общую точку, если .

Если , то прямая при полностью совпадает с частью построенного графика, а, значит, имеет бесконечно много решений.

Если , то прямая имеет с графиком уравнения только одну общую точку.

Если , то прямая имеет с графиком уравнения только одну общую точку.

Если , то прямая имеет с графиком уравнения две общие точки.

Если , то прямая имеет с графиком уравнения три общие точки.

Если , то точек пересечения две.

Если , то точка пересечения одна.

Итак, исходная система имеет более двух решений при .

Ответ: .

7. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно шесть решений.

Решение.

Рассмотрим три случая:

1. Если , то , т.е. система имеет одно решение

2. Если , то система уравнений не имеет, т.к. .

3. Если , то:

Уравнение задаёт прямую, параллельную прямой , проходящую через точку .

Уравнение задаёт гиперболу, симметричную относительно начала координат и расположенную в I и III четвертях, т.к. .

Найдём количество точек пересечения этих двух графиков.

Это уравнение имеет один корень, если , два корня, если и не имеет корней, если .

Если , т.е. – не удовлетворяет заявленному условию .

Если , т.е. – также не удовлетворяет условию.

Если , т.е. и, учитывая условие, , уравнение имеет два корня, а, значит, графики данных функций пересекаются в двух точках.

Итак, при система а) имеет 2 решения.

Уравнение задаёт прямую, параллельную прямой , проходящую через точку .

Уравнение задаёт гиперболу, симметричную относительно начала координат и расположенную во II и IV четвертях, т.к. .

Найдём количество точек пересечения этих двух графиков.

Если , т.е. – уравнение имеет один корень.

Если , т.е. – уравнение не имеет корней.

Если , т.е. и, учитывая, что , получаем: , и уравнение имеет два корня, а, значит, графики данных функций пересекаются в двух точках.

Итак, при система б) имеет 2 решения;

система б) имеет 1 решение;

система б) не имеет решений.

Уравнение задаёт прямую, параллельную прямой , проходящую через точку .

Уравнение задаёт гиперболу, симметричную относительно начала координат и расположенную в I и III четвертях, т.к. .

Найдём количество точек пересечения этих двух графиков.

Если , т.е. Оба эти значения не удовлетворяет условию.

Если , т.е. – не удовлетворяет условию.

Если , т.е. и, учитывая, что , получаем: , и уравнение имеет два корня, а, значит, графики данных функций пересекаются в двух точках.

Итак, при система в) имеет 2 решения.

Уравнение задаёт прямую, параллельную прямой , проходящую через точку .

Уравнение задаёт гиперболу, симметричную относительно начала координат и расположенную во II и IV четвертях, т.к. .

Найдём количество точек пересечения этих двух графиков.

Если , т.е. Значит, при уравнение имеет один корень.

Если , т.е. – уравнение не имеет решений.

Если , т.е. и, учитывая, что , получаем: , и уравнение имеет два корня, а, значит, графики данных функций пересекаются в двух точках.

Итак, при система г) имеет 2 решения;

система г) имеет 1 решение.

Объединяя выводы о количествах решений в каждой системе, имеем:

при исходная система имеет 6 решений.

Ответ:

8. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно четыре различных решения.

Решение. Учитывая определение модуля, преобразуем первое уравнение.

– квадратичная функция, графиком является парабола с вершиной в точке , т.е. в точке . Ветви параболы направлены вверх.

– квадратичная функция, графиком является парабола с вершиной в точке . Ветви параболы направлены вниз.

Строим графики функций на заданных областях.

Прямая параллельна прямой и проходит через точку . Она должна пересекать полученный график в четырёх точках.

Если , то пересекает график в 4 точках.

Если , то прямая пересекает график в 3 точках.

Если , то прямая пересекает график в трёх точках.

Если , то прямая пересекает график в трёх точках.

Итак, при – две точки пересечения;

при – три точки пересечения;

при – четыре точки пересечения;

при – три точки пересечения;

при – четыре точки пересечения;

при – три точки пересечения;

при - две точки пересечения.

Выбираем промежутки а, в которых ровно четыре точки пересечения:

.

Ответ: .

9. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система имеет ровно четыре решения.

Решение. Преобразуем систему:

– квадратичная функция, графиком является парабола с вершиной в точке , ветви на направлены вниз.

– квадратичная функция, графиком является парабола с вершиной в точке , ветви направлены вверх.

– окружность с центром в точке и радиусом .

Строим графики в заданных областях.

Если , то окружность пересекает параболы в шести точках, значит, для 4 точек пересечения окружность должна касаться обеих парабол изнутри (в этом случае радиус меньше 3), либо пересекать обе параболы (в этом случае радиус должен быть больше 3). Найдём точки касания окружности и каждой из парабол.

Так как мы ищем точку касания, то уравнение должно иметь единственное решение, а это возможно при нулевом дискриминанте:

Значит, окружность касается параболы при

Значит, окружность касается параболы при Итак, при исходная система имеет ровно четыре различных решения.

Нетрудно заметить, что если окружность пройдёт через вершины обеих парабол, то исходная система будет иметь два решения. Эта окружность будет иметь радиус . Тогда любая окружность, у которой радиус будет пересекать параболы в четырёх точках.

Значит, при исходная система имеет четыре решения.

Ответ:

10. Найдите все значения а, при каждом из которых система имеет ровно два различных значения

Решение. Преобразуем первое уравнение системы:

Тогда исходная система принимает вид:

Построим в заданной области графики функций: – постоянная функция, графиком является прямая, параллельная оси Ох, проходящая через точку и – квадратичная функция, графиком является парабола с вершиной в точке , ветви направлены вниз, на заданной области .

Уравнение задаёт прямую, параллельную прямой и проходящую через точку .

Если , то прямая пересекает построенный график в трёх точках: .

Если , то прямая пересекает график в двух точках: и .

Для нахождения точки касания прямой и параболы , рассмотрим уравнение:

Поскольку точка касания единственна, то и уравнение должно иметь единственный корень, а это возможно при нулевом дискриминанте.

Значит, прямая имеет с параболой одну общую точку и с прямой общую точку . Итого две общие точки.

Прямая имеет с графиком две общие точки: и .

Итак, исходная система имеет ровно два различных решения, при .

Ответ: .

22

Краткое описание документа:

Данная разработка предназначена для тех, кто готовится сдавать профильный ЕГЭ по математике и хочет получить побольше баллов. Задачи, которые здесь приведены, взяты из базы данных ЕГЭ. Я постаралась привести максимально доступное для понимания решение этих заданий. Надеюсь, что людей, полюбивших задания с параметрами, станет больше...