Задание для дистанционной работы студента по теме "Первообразная"

Задание: 1) посмотреть видеоуроки; 2) прочитать ниже приведенный текст; 3) выполнить самостоятельную работу (к следующему уроку математики).

Видеоуроки:

https://infourok.ru/videouroki/1232

https://infourok.ru/videouroki/1233

https://infourok.ru/videouroki/1235

Первообразная. Правила нахождения первообразных.

Взаимно-обратные операции в математике. В  математике существуют взаимно-обратные операции. Рассмотрим в сравнении. ПРЯМАЯ. ОБРАТНАЯ. Сложение Умножение - возведение в квадрат. Вычитание Деление - извлечение из квадратного корня. - синус угла. ………………………….. - арксинус угла. ……………………………… дифференцирование вычисление производной интегрирование восстановление функции из производной Взаимно-обратные операции в физике. Рассматриваются две взаимно-обратные задачи в разделе механике. Нахождение скорости по заданному уравнению движения материальной точки (нахождение производной функции) и нахождение уравнения траектории движения по известной формуле скорости (нахождение первообразной). ***Производная – «производит» на свет новую функцию. Первообразная - первичный образ. 1.      Из истории интегрального исчисления. (История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачами, которые мы сейчас относим к задачам на вычисление площадей. Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении таких задач связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским. С помощью этого метода Евдокс доказал: 1. Площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров. 2. Объём конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же высоту и основание. Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом и были доказаны такие вещи: 1. Вывод формулы площади круга. 2. Объем шара равен 2/3 объема цилиндра. Все достижения были доказаны великими математиками с применением интегралов.) 2.      Определение первообразной, её основное свойство, правила нахождения первообразных. Определение 1. Функцию F (x) , заданную на некотором промежутке X, называют первообразной для функции задан ной на том же промежутке, если для  всех xX выполняется равенство  . Теорема (о неоднозначности первообразной): y = f(x) имеет бесконечно много первообразных вида y = F(x)+C, где C - произвольное число.  С геометрической точки зрения это означает, что графики любых двух первообразных для функции   получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Oy. Найдем первообразные функций (С-любое число): 1)         для функции Проверим: (4x + C)’= 4 2)для , т.к. (- х + С)’ = -1 Аналогично рассуждая, получим: 3) 4) 5) ,  проверка: ,  проверка: ,  проверка: Свойство 1. Если F есть первообразная для функции f, а G – первообразная для g, то F+G – есть первообразная для f+g. Пример. Свойство 2. Если F – первообразная для f, а k – постоянная, то функция kF – первообразная для kf. Пример.         (здесь k = 5) Свойство 3. Если F – первообразная для f, а k и b– постоянные (), то функция - первообразная для f(kx+b).                  Примеры: 3.      Понятие неопределенного интеграла, его свойства. О происхождении терминов и обозначений. Определение: Неопределенным интегралом от функции y = f(x) называется совокупность первообразных F(x)+C, т.е. , где функцию f(x) называется подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx – подынтегральным выражением, переменную x – переменной интегрирования, слагаемое C - постоянной интегрирования. Символ введен Лейбницем в 1675 г. Этот знак является изменением латинской буквы S. Само слово «интеграл» придумано Бернулли в 1690 г. Оно происходит от латинского integro, которое переводится, как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. Пример:  . Запишем то же выражение с помощью неопределенного интеграла:

Задания для самостоятельной работы:

номер варианта соответствует

порядковому номеру студента по списку группы