ЗАДАНИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ "СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ"

Вариант 12

№ варианта	Операнды	Задание 1 (ЧФЗ) X+Y, X-Y, X*Y	Задание 2A,2 Б (ЧПЗ) X+Y, X-Y, X*Y	Задание 2В (ЧПЗ) X+Y, X-Y, X*Y	Задание 3 (2-10) X+Y, X-Y, X*Y
№ 12	X Y	22 47	22.47 47.22	122.47 0.00004722	224 472

Задание 1.

Выполнить арифметические действия, рассматривая операнды как двоичные целые числа в формате 2 байта (short int). Определить модуль результата. Формат результата – 2 байта.

1.                 Выполним перевод чисел:

X = 22₍₁₀₎ = 0000 0000 0001 0110₍₂₎;

Y = 47₍₁₀₎ = 0000 0000 0010 1111₍₂₎.

2.                 Выполним операцию сложения для проверки в десятичной системе счисления:

 Z = X+Y = 22₍₁₀₎ + 47₍₁₀₎ = 69₍₁₀₎.

3.                 Выполним сложение (прямой код):

	Машинный код (2 байта)	В десятичной системе
X	0000  0000  0001  0110	22
Y	0000  0000  0010  1111	47
Z = X+Y	0000  0000  0100  0101	69

4.                 Выполним операцию вычитания для проверки в десятичной системе счисления:

Z = X-Y = 22₍₁₀₎ – 49₍₁₀₎ = -25₍₁₀₎.

Уменьшаемое X – прямой код, вычитаемое Y – дополнительный код

5.                 Выполним вычитание (с использованием дополнительного кода):

	Машинный код (2 байта)	В десятичной системе
Y	0000  0000  0010  1111	47
Z (обратный код)	1111  1111  1101  0000
Y (дополнительный код)	1111  1111  1101  0001	- 47
X	0000  0000  0001  0110	22
Z = X–Y (дополнительный код)	1111  1111  1110  0111
Перенос из знакового разряда отсутствует. Число отрицательное, так как знаковый разряд равен 1. Найдём модуль результата Z
|Z| (обратный код)	0000 0000  0001  1000
|Z| (прямой код)	0000 0000  0001  1001	25

6.                 Выполним операцию умножения для проверки в десятичной системе

Z = X*Y = 22₍₁₀₎*47₍₁₀₎ = 1034₍₁₀₎.

7.                 Выполним операцию умножения младшими разрядами вперёд:

Y=0000000000101111	0000000000010110 = X
	0000000000010110	P1
	00000000000010110	сдвиг на 1 разряд вправо
	0000000000010110	P2
	00000000001000010	P1+ P2
	000000000001000010	сдвиг на 1 разряд вправо
	0000000000010110	P3
	000000000010011010	P1+ P2 + P3
	0000000000010011010	сдвиг на 1 разряд вправо
	0000000000010110	P4
	0000000000101001010	P1+ P2 + P3 +P4
	00000000000101001010	сдвиг на 1 разряд вправо
	0000000000000000	P5
	00000000000101001010	P1+ P2 + P3 +P4 +P5
	000000000000101001010	сдвиг на 1 разряд вправо
	0000000000010110	P6
	000000000010000001010	P1+ P2 + P3 +P4 +P5 +P6
	0000000000010000001010	сдвиг на 1 разряд вправо

Оставшиеся 10 нулей дадут сдвиг на 10 разрядов:

00000000000000000000010000001010

однако в разрядную сетку вносятся только самые правые 16 бит:

0000010000001010

Z = X*Y=0000  0100  0000  1010 ₍₂₎=1024+8+2=1034₍₁₀₎

Задание 2 А

Выполнить арифметические действия, рассматривая операнды как ЧПЗ с основанием 2 в следующем формате: знак – 1 бит, несмещённый порядок – 4 бита, мантисса – 11 бит

Формат результата – тот же. Округление производить после приведения операнда к нормализованной форме. Результат нормализовать.

X = 22.47₍₁₀₎;        Y = 47.22₍₁₀₎.

1.                 Преобразуем дробную часть Х, равную 0.47₍₁₀₎, в двоичное число:

1.     2*0.47=0.94 (0)

2.     2*0.94=1.88 (1)

3.     2*0.88=1.76 (1)

4.     2*0.76=1.52 (1)

5.     2*0.52=1.04 (1)

6.     2*0.04=0.08 (0)

7.     2*0.08=0.16 (0)

8.     2*0.16=0.32 (0)

9.     2*0.32=0.64 (0)

10. 2*0.64=1.28 (1)

Таким образом, 0.47₍₁₀₎ = 0.0111100001₍₂₎, a X = 22.47₍₁₀₎ = 10110. 0111100001 _(2).

2.                 Представим X в формате ЧПЗ, отбросив младшие разряды мантиссы после 11 (ненормализованное число):

X = 10110.0111100001_(2).

Порядок P_x ненормализованного числа равен нулю (четыре разряда – 0000).

Отсчитаем 11 цифр слева направо – мантисса Q_x = 10110.011110

3.                 Нормализуем X, для этого мантисса должна быть сдвинута вправо на 5 разрядов, соответственно порядок должен увеличиться на 5:

P_норм x=P_x+5=0101₍₂₎       Q_норм x = 0. 10110011110

Погрешность: Dx=22.47–(22+0.25+0.0625+0,015625)= 22.47–22.328125=0,141875

4.                 Преобразуем дробную часть Y, равную 0.22₍₁₀₎, в двоичное число:

1.     2*0.22=0.44 (0)

2.     2*0.44=0.88 (0)

3.     2*0.88=1.76 (1)

4.     2*0.76=1.52 (1)

5.     2*0.52=1.04 (1)

6.     2*0.04=0.08 (0)

7.     2*0.08=0.16 (0)

8.     2*0.16=0.32 (0)

9.     2*0.32=0.64 (0)

10. 2*0.64=1.28 (1)

Таким образом, 0.22₍₁₀₎ = 0.0011100001₍₂₎, a Y = 47.22₍₁₀₎ = 101111.0011100001₍₂₎.

5.                 Представим Y в формате ЧПЗ,  отбросив младшие разряды мантиссы после 11 разрядов (ненормализованное число):

Y = 101111.0011100001₍₂₎       P_y=0000      Q_y=101111.00111

Нормализуем Y (мантисса сдвигается вправо на 6 разрядов):

P_норм y=P_y+6=0110₍₂₎       Q_норм y = 0.10111100111

Погрешность: Dy=47.22–(47+0.125+0.03125)= 47.22–47.15625=0.06375

6.                 Выполним операцию сложения

Z = X+Y = 22.47₍₁₀₎ + 47.22₍₁₀₎ = 69.69₍₁₀₎.

	Порядок	Мантисса
X	0101	10110011110
Y	0110	10111100111
Порядок Y больше, поэтому выравниваем по нему порядок X:
X	0110	010110011110
Последняя единица выходит за разрядную сетку
X	0110	01011001111
Y	0110	10111100111
Z=X+Y	0110	100010110110

Результат Z=2^Pz_*Q_z=2⁶*(1/2+1/32+1/128+1/256+1/1024+1/2048)=

=32+2+1/2+1/4+1/16+1/32=34,84375

Погрешность: Dz=69.69–34.84375=34,84625

7.                 Выполним операцию вычитания

Z = X-Y = 22.47₍₁₀₎ - 47.22₍₁₀₎ = -24.75₍₁₀₎.

	Порядок	Знак	Мантисса
X	0101	0	10110011110
Y	0110	1	10111100111
Порядок Y больше, поэтому выравниваем по нему порядок X:
X	0110	0	010110011110
Последняя единица выходит за разрядную сетку
X	0110	0	01011001111
Преобразуем мантиссу Y в дополнительный код
Y	0110	1	10111100111 прямой
Y	0110	1	01000011000 обратный
Y	0110	1	01000011001 дополнительный
X	0110	0	01011001111
Z=X+Y	0110	1	10011101000 дополнительный
Z	0110	1	10011100111 обратный
Z	0110	1	01100011000 прямой

Перенос из знакового разряда отсутствует, это означает, что знак результата определяется  значением знакового разряда (1), то есть результат отрицательный, число в дополнительном коде. Преобразуем его в прямой код, инверсируя все разряды, кроме знакового.

Результат |Z|=2^Pz_*Q_z=2⁶*(1/4+1/8+1/128+1/256)=

=16+8+1/2+1/4=24,75, Z= –24,75

Погрешность: Dz=–24,75+24,75=0

8.                 Выполним операцию умножения

Z = X*Y = 22.47₍₁₀₎*47.22₍₁₀₎ = 1061.0334₍₁₀₎.

P_норм x = 0101

Q_норм x = 0. 10110011110

P_норм y = 0110

Q_норм у = 0.10111100111

Перемножим мантиссы сомножителей (вариант умножения младшими разрядами вперёд):

Qнорм у 10111100111	Qнорм x 10110011110
	10110011110	P1
	010110011110	сдвиг на 1 разряд вправо
	10110011110	P2
	1000011011010	P1+ P2
	01000011011010	сдвиг на 1 разряд вправо
	10110011110	P3
	10011101010010	P1+ P2 + P3
	010011101010010	сдвиг на 1 разряд вправо
	00000000000	P4
	010011101010010	P1+ P2 + P3 +P4
	0010011101010010	сдвиг на 1 разряд вправо
	00000000000	P5
	0010011101010010	P1+ P2 + P3 +P4 +P5
	00010011101010010	сдвиг на 1 разряд вправо
	10110011110	P6
	1101101100010010	P1+ P2 + P3 +P4 +P5 +P6
	01101101100010010	сдвиг на 1 разряд вправо
	10110011110	P7
	100100001010010010	P1+ P2 + P3 +P4 +P5 +P6+P7
	0100100001010010010	сдвиг на 1 разряд вправо
	10110011110	P8
	1010001000110010010	P1+ P2 + P3 +P4 +P5 +P6+P7+P8
	01010001000110010010	сдвиг на 1 разряд вправо
	10110011110	P9
	10101010111110010010	P1+ P2 + P3 +P4 +P5 +P6+P7+P8+P9
	010101010111110010010	сдвиг на 1 разряд вправо
	00000000000	P10
	010101010111110010010	P1+ P2 + P3 +P4 +P5 +P6+P7 +P8 +P9 +P10
	0010101010111110010010	сдвиг на 1 разряд вправо
	10110011110	P11
	1000010010011110010010	P1 + P2 + P3 + P4 + P5 +P6 +P7 + P8 + P9 + P10 + P11
	01000010010011110010010	сдвиг на 1 разряд вправо

Мантисса результата Q_z=0.01000010010011110010010 – не нормализована

Сложим порядки сомножителей, получим порядок ненормализованного результата: P_z=0101+0110=1011

Для нормализации мантиссу необходимо сдвинуть влево на 1 бит, следовательно, порядок необходимо уменьшить на 1

Q_норм z=0. 1000010010011110010010=0. 10000100100 (крайние правые 11 бит не помещаются в разрядную сетку)

P_норм z=1010

Результат: Z=2^Pz_*Q_z=2¹⁰*(1/2+1/64+1/512)=512+16+2= 530.

Погрешность: Dz=1061.0334–530=531.0334

Задание 3.

Выполнить арифметические действия над операндами, представив их в двоично-десятичном коде.

1.                X = 224₍₁₀₎ = 0010 0010 0100_(2-10); Y = 472₍₁₀₎ = 0100 0111 0010_(2-10).

2.                Выполним операцию сложения

Z=X+Y= 224₍₁₀₎ + 472₍₁₀₎ = 696₍₁₀₎.

X	0010	0010	0100
Y	0100	0111	0010
X+Y	0110	1001	0110

Результат:  Z = 0110  1001  0110_(2-10) = 696₍₁₀₎.

3.                Выполним операцию вычитания

Z = X – Y = 224₍₁₀₎ – 472₍₁₀₎ = -248₍₁₀₎.

Представим |Y| в ДК с избытком 6:

с	0100	0111	0010
Y (обратный код)	1011	1000	1101
			+0001
Y (дополнительный код)	1011	1000	1110

Выполним сложение:

X (прямой код)	0010	0010	0100
Y (дополнительный код)	1011	1000	1110
Переносы	1101	1010	10010
Нескорректированное Z (в дополнительном коде)	1101	1011	0010

Отсутствие переноса из старшей тетрады является признаком того, что результат получился в дополнительном коде (т.е. отрицательный).

Перейдем к нескорректированному избыточному ПК:

Z (нескорр., ДК)	1101	1011	0010
Инверсия Z (нескорр., ДК)	0010	0100	1101
			+0001
Z (нескорр., прямой код)	0010	0100	1110

Произведём коррекцию результата:

Z (нескорр., прямой код)	0010	0100	1110
+ коррекция	+0000	+1010	+1010
Z (нескорр., прямой код)	0010	1110	1 1000
		>1001 Требуется коррекция +0110
Z (нескорр., прямой код)	0010	10100	1 1000
Переносы отбросить	0010	0100	1000

Результат |Z|=0010  0100  1000_(2-10)=248₍₁₀₎

Поскольку ранее результат получался в ДК, т.е. отрицательный, Z= –248

1.     Выполним операцию умножения Z = X * Y = 224(10) * 472(10) = 105728(10) Для решения примера выберем вариант перемножения "младшие разряды вперед". В соответствии с п. 1 алгоритма полагаем сумму частичных произведений P0=0. (Частичные произведения будем обозначать Pi). P1 =0100  0100  1000 (2-10) P2 =0001  0101  0110  1000(2-10) Р3 =1000  1001  0110(2-10) Теперь можно вычислить сумму первого, второго и третьего частичного произведений, т.е. результат. Окончательный результат: Z = 0001  0000  0101  0111  0010  1000(2-10) = 105728(10).