Занятие по теме "Расстояние в пространстве" по дисциплине "Элементарная математика" в Педагогическом ВУЗе

ЗАНЯТИЕ НА ТЕМУ «РАССТОЯНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ»

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА» В ПЕДАГОГИЧЕСКОМ ВУЗЕ

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ

Дисциплина: Элементарная математика

Курс: второй

Время занятия: 85 минут

Тип занятия: практикум

Тема практического занятия: Расстояния в пространстве: от точки до плоскости, от прямой до плоскости, между плоскостями

Дидактическая цель:

формирование практических умений – профессиональных (выполнять определённые действия, операции), необходимых в последующем в преподавательской деятельности, и учебных (решать задачи по стереометрии), необходимых в последующей учебной деятельности по общепрофессиональным и профессиональным дисциплинам.

Образовательный аспект: систематизировать, обобщить, закрепить знания и умения учащихся, связанные с вычислением расстояний в пространстве. Отработать навыки решения задач на данную тематику.

Развивающий аспект: развитие памяти, логического мышления, умения анализировать, сравнивать, обобщать, выявлять проблемные места, самостоятельно делать выводы; развитие грамотной математической речи.

Воспитательный аспект: воспитывать аккуратность и точность при выполнении заданий, самостоятельность и самоконтроль; формирование культуры учебного труда; продолжить формирование познавательного интереса к предмету.

Задачи практического занятия:

1.       Закрепить опыт решения реальных практических задач на основе изученного теоретического материала;

2.       Изучить и систематизировать методы решения школьных задач по данной теме;

3.       Проанализировать и обсудить полученные результаты, сформулировать выводы.

ПЛАН ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ

1          Этап. Приветствие. Формулировка темы, цели и задач, обоснование её значимости в профессиональной подготовке студентов.

Планируемое время: 5 минут

Школьный курс геометрии состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии. В отличии от планиметрии, изучающей свойства геометрических фигур на плоскости, стереометрия изучает свойства фигур в пространстве. Тем самым среди важнейших целей обучения стереометрии можно выделить следующие: развитие основных психологических компонентов, пространственных представлений, пространственного воображения, логического мышления, без которых невозможно развитие творческих способностей учащихся, формирование их личности. Изучение стереометрии в школьном курсе геометрии начинается в 10 классе и изучается до конца 11 класса. Задачи по стереометрии используются в ЕГЭ и являются одними из самых сложных для школьников. Исходными понятиями стереометрии являются следующих три понятия: «точка», «расстояние между точками», «плоскость».

Цель нашего занятия - рассмотреть задачи на нахождение расстояний в пространстве: от точки до плоскости, от прямой до плоскости, от плоскости до плоскости, научиться «видеть» по условию задачи какой метод вычисления подходит той или иной задаче, какие проблемные места могут возникнуть у школьников и как их предотвратить, актуализируя ранее изученные знания. Вычисление расстояний в пространстве - важнейшая часть стереометрии, на которой основывается все метрические вопросы пространственной геометрии, в том числе – нахождение углов, площадей и объемов.

2        Этап. Повторение теоретического материала.

Планируемое время: 10 минут

Проведение фронтального опроса с целью закрепления теоретического материала.

Давайте с вами вспомним, каким образом находятся расстояния в пространстве. Для этого ответим на ряд вопросов:

Что такое расстояние от точки до точки на плоскости?

Как находится расстояние от точки до прямой на плоскости?

Как находится расстояние между прямыми на плоскости?

Похожи ли определения расстояния от точки до прямой на плоскости к расстоянию от точки до плоскости в пространстве? Почему?

Сформулируйте определение расстояния от точки до плоскости, от прямой до плоскости, между двумя плоскостями.

Чему равно расстояние между пересекающимися плоскостями? А прямой, которая пересекает плоскость?

Для наглядного закрепления теоретического материала раздаются теоретические карточки (приложение 1).

Какие методы или формулы вы знаете, с помощью которых вычисляются расстояния в пространстве?

Давайте попробуем систематизировать основные методы.

Раздаются карточки с основными методами вычисления расстояний в пространстве (приложение 2).

Какие методы вам знакомы, а какие являются новыми?

3          Этап. Решение задач.

Планируемое время: 65 минут

Раздаются распечатки с задачами, которые решаются непосредственно на занятии, а также с задачами, предназначенными для самостоятельного разбора студентами дома (приложение 3).

Первая задача (нахождение расстояния от точки до плоскости) должна быть решена всеми 4 методами, которые есть в распечатке приложения 2. Для этого учебная группа разбивается на 4 подгруппы, первая подгруппа будет решать задание геометрическим методом, вторая – с помощью метода объемов, третья – координатным и четвертая – векторным. Затем представитель каждой группы рассказывает про свой метод решения задачи у доски так, как он бы это сделал бы будучи учителем в школе перед своими учениками: с правильно построенным чертежом, с логически выстроенным ходом решения и речью. При необходимости отвечает на вопросы.

В конце всех выступлений делается обобщение, выявляются проблемные методы и методы, с помощью которых решать быстрее и проще. Вносятся предположения, какой метод лучше всего использовать при решении задачи со школьниками на уроках, а какие методы лучше использовать на факультативных занятиях. Определить «горячие точки», т.е. места, в которых у школьников могут возникнуть проблемы в понимании материала, а также понять какие знания (теоремы, формулы) необходимо актуализировать перед решением такого рода задач определенным методом.

Вторая задача (нахождение расстояния от точки до плоскости) решается у доски, предварительно обсудив, какой метод лучше всего использовать при решении данной задачи.

Третья задача (нахождение расстояния от прямой до плоскости) и четвертая задача (нахождение расстояния между двумя плоскостями) решаются по аналогии с задачей 2.

4          Этап. Подведение итогов. Домашнее задание.

Планируемое время: 5 минут

Приложение 1 

Приложение 2

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ РАССТОЯНИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ

№	Название метода	Алгоритм вычисления
1	Геометрический метод	1. Построить перпендикуляр от точки до плоскости; 2. Найти точку пересечения перпендикуляра с плоскостью; 3. Выполнить необходимое дополнительное построение; 4. Определить расстояние от точки до точки, используя необходимые геометрические теоремы (по ситуации).
2	Метод объемов	1. Доказать, что высота пирамиды и есть искомое расстояние от точки до плоскости; 2. Найти объём этой пирамиды двумя способами; 3. Выразить и вычислить высоту.
3.1.	Координатный метод. 1 способ	1. Ввести систему координат; 2. Пусть дана точка M(x0,y0,z0) и плоскость α, заданная уравнением ax + by + cz + d = 0; 3. Вычислить расстояние от точки M до плоскости α по формуле:
3.2.	Координатный метод. 2 способ	1. Составить уравнение прямой а, проходящей через точку А и одновременно перпендикулярной к плоскости χ; 2. Найти и вычислить координаты (x2, y2, z2) точки В, являющимися точками пересечения прямой a с плоскостью χ; 3. Вычислить расстояние от А до χ, используя формулу:
3.3.	Координатный метод. 3 способ	1. Определить координаты точки, принадлежащей заданной прямой; 2. Записать нормальное уравнение заданной плоскости вида cosα ⋅ x + cosβ ⋅ y + cosγ ⋅ z – p = 0; 3. Вычислить искомое расстояние по формуле:  |M1H1| = |cosα ⋅ x1 + cosβ ⋅ y1 + cosγ ⋅ z1 − p|
4	Векторный метод	1.  Дана плоскость α, содержащая два неколлинеарных вектора  , точка А принадлежит плоскости α, точка М вне плоскости α, . Расстояние от точки M до плоскости α - длина перпендикуляра MP ( ); 2.  Представим вектор  в виде 3.  Найдем неизвестные коэффициенты x, y из условия перпендикулярности вектора  векторам  : 4.  Вычислим искомое расстояние (длина вектора ) следующим образом:

Приложение 3

ЗАДАЧИ

Задача 1.  Дан прямоугольный параллелепипед АBСDA₁B₁C₁D₁: AB=2, 

BC=4, AA₁=6. Найдите расстояние от точки D до плоскости АСD₁.

Решить задачу четырьмя методами.

Задача 2. В единичном кубе АBСDA₁B₁C₁D₁ найдите расстояние от точки А до плоскости СB₁D₁.

Задача 3. АBСDA₁B₁C₁D₁ - куб, ребро которого равно  см. Найти расстояние от прямой ВС до плоскости АВ₁С₁.

Задача 4. Вычислить расстояние между параллельными плоскостями:

: 30x - 32y + 24z – 75 = 0 и : 15x - 16y + 12z – 25 = 0

Домашнее задание

Задача 1. В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD (с вершиной P) сторона основания равна 2 и высота равна 1. Найдите расстояние от точки D до плоскости BCP.

Задача 2. Вычислить расстояние d от точки M(3; -6; 7) до плоскости α:

4x - 3z – 1 = 0.

Задача 3. Вычислить расстояние между параллельными плоскостями:

30x - 32y + 24z – 75 = 0 и 15x - 16y + 12z – 25 = 0.

Задача 4. Задана прямая а:

и параллельная ей плоскость α:

3x + 2y − 6z – 2 = 0.

Необходимо определить расстояние между ними.

Задание на повторение теоретического материала: повторить все определения и теоремы, связанные с темой: расстояние между скрещивающимися прямыми.

Творческое задание: найти еще методы или способы, с помощью которых можно вычислять расстояния в пространстве.

Приложение 4

РЕШЕНИЯ К ЗАДАЧАМ

Задача 1.

1 способ. Используя определение. Найти расстояние r(D, АСD₁) от точки D до плоскости АСD₁ (рис. 1).  

Рисунок 1.

Проведем прямую DH⊥АС.

Следовательно, по тереме о трех перпендикулярах D₁H⊥АС и (DD₁H)⊥АС.

Проведем прямую DT⊥D₁H.

Прямая DT лежит в плоскости DD₁H, следовательно, DT⊥AC. 

Следовательно, DT⊥АСD₁.  

Из прямоугольного треугольника АDC найдем гипотенузу АС и высоту DH:

Из прямоугольного треугольника D₁DH найдем гипотенузу D₁H и высоту DT:

Ответ: .

2 способ. Метод объемов.

Искомым расстоянием будет высота h пирамиды ACD₁D, опущенной из вершины D на основание ACD₁ (рис. 2).

Рисунок 2.

Вычислим объем пирамиды ACD₁D двумя способами.
Вычисляя, первым способом за основание примем ∆ACD₁, тогда

Вычисляя, вторым способом за основание примем ∆ACD, тогда

Приравняем правые части последних двух равенств, получим

Из прямоугольных треугольников АСD, ADD₁, CDD₁ найдем гипотенузы:

Вычислим площадь треугольника ACD:

Вычислим площадь треугольника АСD₁, используя формулу Герона:  

Ответ: .

3 способ. Координатный метод.  

Введем систему координат (рис. 3).

Начало координат – точка В; прямая АВ — ось х, прямая ВС — ось y, прямая BB₁ — ось z.

Рисунок 3.

B(0,0,0), А(2,0,0), С(0,4,0), D(2,4,0), D₁(2,4,6).

Пусть aх+by+cz+d=0 – уравнение плоскости ACD₁. 

Подставляя в него координаты точек A, C, D₁ получим:

Уравнение плоскости ACD₁ примет вид:

Ответ:  .

4 способ. Векторный метод.

Введем базис (рис. 4):  

   

Рисунок 4.

Поэтому  

Далее имеем:

Так как 

то имеем:

  

Отсюда получаем:

Ответ: 

Задача 2.

Поместим наш куб в систему координат (рис. 5):

Рисунок 5.

А(0,1,0)

Плоскость D₁B₁C определяется тремя точками: D₁(0,0,1), B₁(1,1,1) и С(1,0,0).

Координаты данных точек подставим в уравнение плоскости:

ax + by + cz + d = 0, где коэффициент d примем равным 1.

Получим систему уравнений:

Отсюда: a = -1, b = 1, c = -1. 

Подставим координаты точки А(0,1,0) и значения коэффициентов в формулу для расстояния:

Ответ: 

Задача 3.

Рисунок 6.

Так как ВС || В₁С₁, то прямая ВС параллельна плоскости АВ₁С₁.

СD₁⊥С₁D, точка О - точка пересечения диагоналей боковой грани СD₁ и С₁D.

СО⊥АВ₁С₁; СО - искомое расстояние.

Ответ: 2 см.

Задача 4.

Пусть y = 0 и z = 0. Тогда подставив эти значения в первое уравнение, получим x = 2,5. Тем самым получили точку М(2,5; 0; 0).

Применим формулу расстояния от точки до плоскости:

d =                                = 0,5

Ответ: 0,5