Анализ темы «Решение треугольников»

Анализ темы «Решение треугольников»

Мусинов Владимир Андреевич, студент 405-й группы

Учебник: Геометрия. 8 класс: учебник для учащихся общеобразовательных организаций. / под ред. В. А. Садовничего — 4-е изд. — М.: Просвещение, 2016 г., 175 с. — (МГУ — школе).

Авторы: В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, В. В. Прасолов.

Решение прямоугольных треугольников

I.                  Каким образом вводятся тригонометрические функции острого угла?

Ø Определения тригонометрических функций острого угла даются конструктивно, а именно через отношения в прямоугольном треугольнике.

Ø Определяемые понятия подчёркнуты, особого выделения сами определения не имеют.

Ø Вводимые тригонометрические функции: косинус и синус острого угла прямоугольного треугольника.

II.              Задачи по теме

№[1]	Пункт	Что известно (условие)[2]	Что найти (требование)[3]
133	а	катет и острый угол	гипотенуза и катет
	ж	проекции катетов на гипотенузу	синус и косинус угла
	з	проекции катетов на гипотенузу, отрезок катета	периметр треугольника
	и	высота	Доказать равенство
134	а	катет и острый угол	гипотенуза и катет
	ж	прямоугольная трапеция: длины оснований и высоты	острый угол трапеции
	з	проекции катетов на гипотенузу, отрезок катета	катет
	и	равнобедренный треугольник: медиана, высота, основание	Доказать равенство
135	а	высота, катеты	гипотенуза, проекции катетов на неё
	б	прямоугольная трапеция: основания, бóльшая диагональ	боковые стороны
	в	прямоугольная трапеция: боковая сторона, основание, меньшая диагональ	синус и косинус угла
	г	равнобедренная трапеция: боковая сторона, отрезок	основания
	д	остроугольный треугольник: высота	Доказать равенство
	е	косоугольный треугольник: стороны треугольника	углы
136	а	высота, катеты	гипотенуза, проекции катетов на неё
	б	прямоугольная трапеция: основания, бóльшая боковая сторона	диагонали
	г	четырёхугольник	Доказать равенство
	д	тупоугольный треугольник: высота	Доказать равенство
	е	косоугольный треугольник: стороны треугольника	углы
137	в	прямоугольный треугольник	Доказать равенство
138	в	прямоугольный треугольник	Доказать равенство
141	г	биссектриса	проекции катетов
142	г	биссектриса	проекции катетов
149#		острые углы, неравенство	Доказать неравенство
150#		острые углы, неравенство	Доказать неравенство
151#		трапеция: основание, боковая сторона, диагональ	синус угла
152#		отношение отрезков гипотенузы	углы
153#		ромб: диагонали	синус острого угла
154#		косоугольный треугольник	Доказать неравенство
155#		высота, гипотенуза	Доказать равенство
157#		косоугольный треугольник: стороны	высота, проведённая к бóльшей стороне
246*		перпендикуляры к гипотенузе и катетам	Доказать равенство

III.           Задачи на формирование навыков

1.    Вычисление значений тригонометрических функций при помощи непосредственных измерений.

Номера задач (пункт в задаче):

§  133 (б, в, ж);

§  134 (а–в, ж);

§  135 (в, е);

§  136 (е);

§  151;

§  152;

§  153.

2.    Построение острого угла по заданным линейным или угловым значениям:

§  133 (г);

§  134 (г).

IV.          Задачи с практическим содержанием:

·       № 1 (стр. 135);

·       № 6 (стр. 136);

·       № 12 (стр. 136).

Решение косоугольных треугольников

I.                  Каким образом вводятся тригонометрические функции любого угла?

Ø  Сначала доказывается утверждение: «Для любого угла  из промежутка  справедливы равенства , ».

Ø Исходя из вышеприведённых формул авторы дают определения синуса и косинуса угла  из промежутка .

Ø  Синусу угла  из промежутка  сопоставляется число .

Ø  Косинусу угла  из промежутка  сопоставляется число .

Ø Вводятся тригонометрические функции: тангенс и котангенс.

II.              Виды задач. Номера задач (пункт в задаче).

№ задачи (пункт)	Комментарий[4]
137 (а, г, е, ж, з, к)	Задачи базового уровня: вычисление углов и сторон данного треугольника, биссектрисы и высоты
138 (а, г, д, е, з, к)	Задачи базового уровня: вычисление углов, биссектрисы и высоты, сторон данного треугольника, расстояний в трапеции
139 (а, б)	Определение вида треугольника, нахождение медианы
140 (а, б)	Определение вида треугольника, нахождение бóльшей диагонали параллелограмма
141 (а, в, д, е, ж, з)	Решение треугольника, нахождение периметра треугольника, отношений отрезков
142 (а, б, в, г, д, е, ж, з)	Решение треугольника, нахождение периметра треугольника, отношений отрезков
158#	Равнобедренный треугольник: медиана, углы. Найти отрезок в треугольнике.
159#	Дано: высота, сторона, проекция стороны на другую сторону, радиус описанной окружности. Найти третью сторону.
160#	Нахождение угла по известным двум сторонам.
162#	Доказать равенство, связывающее синусы трёх углов с косинусами.
164#	Дано: сторона, проекция стороны на другую сторону. Найти периметр.
172#	Вычисление длины биссектрисы
173#	Вычисление длины биссектрисы

1.    Вычисление значений тригонометрических функций при помощи непосредственных измерений:

§  137 (а, г, е);

§  138 (а, г, е);

§  139 (а);

§  140 (а);

§  141 (а, в);

§  142 (а, в).

§  160;

§  162;

§  187;

§  192.

2.    Построение острого угла по заданным линейным или угловым значениям:

§  137 (б);

§  138 (б).

III.           Задачи с практическим содержанием:

·       № 7 (стр. 136);

·       № 11 (стр. 136);

·       № 14 (стр. 137);

·       № 15 (стр. 137);

IV.           Теоремы синусов и косинусов.

v Теорема синусов

ü Формулировка теоремы синусов присутствует ‘стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов’;

ü Доказательство проведено и опирается на теорему: «Сторона треугольника равна произведению диаметра окружности на синус противолежащего угла».

ü «Расширенная» теорема синусов неявно присутствует в доказательстве обычной теоремы синусов.

v Теорема косинусов

ü Теорема косинусов следует сразу после теоремы синусов.

ü Формулируется и доказывается разбором случаев: при доказательстве учитываются особенности одного из углов (острый он, прямой или тупой) рассматриваемого треугольника.

ü Следствия:

o   Если косинусы двух углов равны, то равны и сами углы.

o   Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник — прямоугольный.

o   Других нет.

ý Определение вида треугольника, применяя теорему косинусов, не даётся.

V.              Некорректные задачи — не выявлено.

---

[1] Задачи со звёздочкой «*» представляют собой задачи повышенной трудности. А те, что отмечены решёткой «#», представлены в отдельном разделе «Дополнительные задачи».

[2] Подразумевается, что в условии дан прямоугольный треугольник, если не сказано иное.

[3] Если не формулируется как-то иначе, то имеется в виду, что в задаче необходимо что-либо вычислить, т. е. требование трактуется так: «Найти … , если известно …».

[4] Если не оговорено иное, то считаем, что в условии дан косоугольный треугольник.