Арифметическая прогрессия конспект открытого урока на неделе математики

Неделя математики проходила  с 10.02.2020г-17.02.2020г в МКОУ»Гимназия с. Дружба».

Открыйтый урок

составила и провела учитель высшей категории

 Гедиева Гульзина Алихановна в 9а классе   на тему: «Арифметическая прогрессия»

История возникновения арифметической и геометрической прогрессий.

Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др.

Понятие числовой последовательности возникло и развивалось задолго до создания учения о функциях.

На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий Архимед. (ок. 287 – 212 гг. до н.э.).

Термин «прогрессия» был введён римским автором Боэцием (в 6 веке) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Название «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.

Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим учёным Диофантом (в 3 веке). Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида «Начала» (в 3 веке до н.э.). Правило нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении «Книга абака» в 1202г. (Леонардо Пизанский).

В XVIII веке в английских учебниках появились обозначения арифметической и геометрической прогрессии.

Сведения, связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции. Уже в 3 веке до н.э. греки знали эти прогрессии и их суммы:

Межпредметные звязи

Прогрессия в литературе.

Даже в литературе мы встречаемся с математическими понятиями. Так, вспомним строки из «Евгения Онегина». «… Не мог он ямба от хорея,

Как мы не бились отличить …».

Ямб - это стихотворный размер с ударением на чётных слогах 2, 4, 6, 8,…стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разность прогрессии 2.

Хорей - это стихотворный размер с ударением на нечётных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1, 3, 5, 7,…

Прогрессии в жизни и быту.

Для решения некоторых задач по физике, геометрии, биологии, химии, экономике, строительному делу используются формулы арифметической и геометрической прогрессий.

Интересные факты.

1.химия

При повышении температуры по арифметической прогрессии скорость химических реакций растёт по геометрической прогрессии.

2.                         Геометрия.

Вписанные друг в друга правильные треугольники образуют геометрическую прогрессию.

3.                         Физика.

Нейтрон, ударяя по ядру урана, раскалывает его на две части. Получаются 2 нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывает их ещё на 4части и т.д. - это геометрическая прогрессия.

4.                         Биология.

Микроорганизмы размножаются делением пополам, поэтому при благоприятных условиях, через одинаковый промежуток времени их число удваивается.

5.                         Экономика.

Вклады в банках увеличиваются по схемам сложных и простых процентов. Простые проценты – увеличение первоначального вклада в арифметической прогрессии, сложные проценты – увеличение в геометрической прогрессии.

Цели урока:  

Ввести понятие арифметической прогрессии и разности арифметической прогрессии; рассмотреть нахождение разности и несколько первых членов прогрессии.

• способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, применять приемы сравнения, переноса знаний в новую ситуацию; развитию логического мышления, творческих способностей учащихся путем решения межпредметной задачи.

Оборудование: карточки с разноуровневыми заданиями,  интердоска, компьютер.

Ход урока

1. Организационный момент.

- Ребята, предыдущие уроки алгебры были посвящены теме «Последовательность». Из всех числовых последовательностей особо выделяют две. Их назвали прогрессиями. В силу своих особенностей, или закономерностей, одну прогрессию назвали арифметической, другую – геометрической. Слово «прогрессия» (с латинского) буквально означает «движение вперёд» (как и слово «прогресс»). , Сегодня на уроке мы познакомимся с понятием арифметической прогрессии и разности арифметической прогрессии; рассмотрим нахождение разности и несколько первых членов прогрессии.и суммы нескольких членов  арифметичкской прогрессии  и  послушаем историю возникновения ариф. прогрессии   и мета предметные связи.

 2. Актуализация знаний.

Учитель предлагает учащимся ответить на вопросы и выполнить устное задание:

• Что называется числовой  последовательностью?
• Какие способы задания последовательностей вы знаете?

  Задание. Определить закономерность числовых последовательностей:

1) 6, 8, 10,…

2) 2, 6, 18,…

3) 25, 21, 17,…

3.       Изучение нового материала.

Данный этап урока учитель проводит в виде учебно-познавательной работы по самостоятельному приобретению знаний.

На раздаточных карточках у учащихся записана задача и вопросы, на которые необходимо ответить.

Задача.  Вертикальные стержни фермы имеют такую длину: наименьший а = 5 дм, а каждый следующий на 2 дм длиннее. Записать длину семи стержней.

Вопросы к задаче:

• Записать последовательность в соответствии с условием задачи;
• Записать эту же последовательность с помощью таблицы;
• Найти разность между предыдущим и последующим членами последовательности;
• Задать эту последовательность рекуррентным  способом;
• Дать определение арифметической прогрессии;

Обучающиеся выполняют работу на доске и в тетрадях, отвечая на поставленные вопросы.

Учитель подводит итог работы учащихся, обращая внимание на новые формулы и определения. Предлагает составить опорный конспект-таблицу.

	АРИФМЕТИЧЕСКАЯ  ПРОГРЕССИЯ
Определение	Числовая последовательность, первый член  которой равен а1 , а каждый следующий, начиная       со второго, равен предыдущему, сложенному с некоторым постоянным числом d.
Рекуррентная  формула	аn+1  = аn   +  d
Формула     n-го члена	аn  = а1 + (n – 1) d
Свойства	d = аn+1  -  аn     аn  = (аn-1 + аn+1) : 2,   где n = 2; 3; 4;…

Проводит с учащимися физкультминутку для глаз.

4.  Закрепление изученного материала.

 Учитель разбивает класс на две группы: 1 группа работает самостоятельно по карточкам  (вызывает за доску учащегося из группы), 2 группа - с учителем (у каждого на парте карточка с заданием).

Задание 1 группы.

1.Найти разность арифметической  прогрессии, если:

а₁=-2, а₆=4

2.  Дана арифметическая  прогрессия 3, 6, 9,…

а) Вычислить двадцатый член этой прогрессии;

б) Найти номер члена последовательности, равного 129.

3.№575,578

4,579

Задание 2 группы.

1.  Для арифметической прогрессии вычислить:

а₁₀, если ₁=-3 и d=2

2.  Записать формулу  n члена арифметической прогрессии: -5, -7, -9,…

3.  Найти номер подчеркнутого члена арифметической прогрессии:

4, 16, 28, …, 748,…

Затем учащиеся 2 группы выполняют самостоятельно с последующей проверкой

      Решить     №565,569 на доске

Учащиеся 1 группы проверяют задания с  доской. Затем  выполняют задание, предложенное  учителем на доске и в тетради:

Задание 1 группы.

1. Между числами 8 и 26 вставьте пять чисел, которые вместе с данными числами составляют арифметическую прогрессию.

2. В арифметической прогрессии а₁ =3 _(-10,5)             а₆₀ =57(51,5)

3.найти сумму 60членов арифм.прог

4.Решить №584,584

5.Итог урока.

- Сегодня на уроке мы познакомились с новой последовательностью - арифметической прогрессией, применяли к решению задач формулу n-го члена арифметической прогрессии.  Нахождение суммы членов ариф. прогрессии

6. Домашнее задание.

№566,572,574. п24-26

                        Фрагменты урока