Числовые характеристики случайных величин (9 класс)

• 1 слайд

  Теория вероятностей и статистика
  9 класс
  Числовые характеристики случайных величин
  

• 2 слайд

  Результаты обучения. В результате изучения материала главы 12 учащийся должен:
  знать определение математического ожидания конечной случайной величины, понимать, что математическое ожидание является обобщением среднего арифметического значений величины;
  знать свойства математического ожидания и уметь использовать их при решении простых задач;
  знать, что важным свойством распределения случайной величины является рассеивание величины, уметь вычислять дисперсию и стандартное отклонение;
  знать формулы математического ожидания и дисперсии числа успехов в серии испытаний Бернулли.
  
  
  
  

• 3 слайд

  П.53. Математическое ожидание случайной величины.
  Для введения понятия «математическое ожидание случайной величины» необходимо разобрать задачу п.53.
  Для проведения лотереи изготовили 100 билетов. Из них 1 билет с выигрышем в 500 р., 10 билетов с выигрышем по 100 р. и остальные 89 билетов без выигрыша. Какой средний выигрыш соответствует 1 билету?
  Выигрыш является случайной величиной Х, которая может принимать значение 0;100; 500, с вероятностью 0,89; 0,1 и 0,01.
  Если покупатель приобретает все 100 билетов, то выигрыш составит 1500 руб, следовательно выигрыш, соответствующий одному билету в 100 раз меньше. 15 руб. (0·89+10·100+1·500):100 = 0·0,89+100·0,1+500·0,01=15.
  15 руб – это среднее значение случайной величины. Оно называется математическим ожиданием случайной величины.
  
  

• 4 слайд

  Рассмотрим случайную величину Х.Пусть распределение случайной величины Х задано таблицей.
  
  
  
  
  Обозначим математическое ожидание Е(Х).
  Определение. Математическим ожиданием случайной величины Х называют число
  Е(Х)=х1р1+х2р2+х3р3+ … + хnрn
  Е(а)=а·1. Математическое ожидание постоянной величины равняется этой величине.
  
  
  

• 5 слайд

  Задачи № 1. а),б),в).№2 решаются по формуле.
  №3.
  
  
  
  
  
  Е(Z) = (-8-6-4-2+2+4+6+8)·1/8=0.
  
  №4.Х- «число выпавших орлов»
  
  
  
  
  
  Е(Х)= 0·0,5+1·0,5=0,5
  
  

• 6 слайд

  №5.Y – «сумма очков, выпавших при двух бросаниях игральной кости»
  
  
  
  
  
  Е(Y)=2·1/36+3·2/36+4·3/36+5·4/36+6·5/36+7·6/36+8·5/36+
  9·4/36+10·3/36+11·2/36+12·1/36=7.
  Вернуться к этой задаче в п.54, при использовании свойств.
  

• 7 слайд

  Задача № 9.
  Х – «число клеток в подбитом корабле»
  
  
  
  
  Е(Х)=0·0,8 +1·0,04 +2·0,06 +3·0,06+4·0,04 = 0,5.
  Е(Х) = 0,5.
  
  

• 8 слайд

  Задача № 10.
  а). Х – «наибольшее из двух выпавших очков»
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 9 слайд

  №10 (б). Х – «наименьшее из двух выпавших очков»
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 10 слайд

  П. 54. Свойства математического ожидания
  Свойство1.Пусть Х – случайная величина, а – некоторое число. Рассмотрим случайную величину Y=аХ. Тогда Е(Y)=аЕ(Х).
  Свойство 2. Пусть U и V – две случайные величины. Тогда U + V – также случайная величина, и при этом Е(U+V) = E(U)+E(V).
  Это значит, что математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий.
  

• 11 слайд

  Задача № 1.
  Х – «число очков, выпавших на одной игральной кости»
  Е(Х) = 3,5
  Тогда при пяти бросаниях математическое ожидание равно а).3,5·5 = 17,5
  б).3,5·7 = 24,5
  в).3,5·100 = 350
  г).3,5·k = 3,5k
  Задача № 2. Применение свойств.
  

• 12 слайд

  Задача № 3.
  
  
  
  
  р=1/11. Е(Х) = 1/11·(-3-2-1+0+1+2+3+4+5+6+7)=2
  
  
  
  р = 1/9. Е(Y)= 1/9·(1+2+3+4+5+6+7+8+9) = 5
  a). Z=X+Y, E(Z) = E(X)+E(Y) E(Z)= 2+5 = 7
  б). Z=X-Y E(Z) = 2-5 = -3.
  
  

• 13 слайд

  Задача № 5.
  Т.к. бросаний 5, то всего событий 32.
  
  Х – «выпадение орлов»
  
  
  
  
  Е(Х)=1/32·(0+ 1·5+2·10+3·10+4·5+5·1)= 80 · 1/32 = 2,5
  Е(Х) = 2,5
  Задача № 6 разбирается подробно в п.58.
  
  

• 14 слайд

  П.56- 57. Дисперсия и стандартное отклонение. Свойства дисперсии.
  Дисперсия - мера рассеивания.(п.55)
  Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание случайной величины
  (Х –Е(Х))².
  D(X) = E((Х –Е(Х))²)
  Стандартное отклонение σ = √D(X)
  Свойства дисперсии. 1.Пусть Х – случайная величина. Рассмотрим случайную величину
  Y = аХ, где а - некоторое число. Тогда D(Y) =a²D(X)
  2. Пусть Х – случайная величина . Рассмотрим случайную величину Y = X + a. Тогда
  
  D(Y) = D(X)
  

• 15 слайд

  Задача № 2.
  
  Проводится одно испытание Бернулли, с вероятностью успеха р. Случайная величина S – «число успехов». Найти D(S).
  Е(S) = р
  
  D(X) = E((Х –Е(Х))²)
  
  
  
  
  
  
  
  D(S) = р²(1- р)+(1- р)²р = р(1- р)(р + 1- р) = р(1- р) = р - р²
  
  
  

• 16 слайд

  Задача № 3.
  D(X) = E((Х –Е(Х))²)
  а).Е(Х) = -2·0,3+0·0,5+3·0,2=0
  
  
  
  
  D(X)=4·0,3+0·0,5+9·0,2=1,2+1,8=3
  б). Аналогично.
  
  

• 17 слайд

  Задача №4.б). Вычислить дисперсию случайной величины Х. D(X) = E((Х –Е(Х))²)
  Е(Х) = 3
  
  
  
  
  Е((Х-Е(Х))²) = 25·0,1+9·0,1+4·0,2+4·0,6= 6,6
  D(X) = 6,6
  Задачи № 5,6 решаются аналогично.
  

• 18 слайд

  Задача № 7.
  а). Случайная величина Х принимает значения от 0 до 6 с равными вероятностями, т.е. р =1/7.
  Найти D(X).
  D(X) = E((Х –Е(Х))²)
  Е(Х)=21·1/7 =3
  Значения Х- Е(Х) от -3 до 3. Тогда D(Х)=4.
  
  б). Случайная величина Y принимает значения от 1 до 7, т.е. Y = Х + 1. Следовательно, по свойству дисперсии D(Y) = D(X). Т.е. D(Y) = 4.
  
  
  
  

• 19 слайд

  Задача № 8. При решении используются свойства дисперсии.
  a). D(X) = 3, Y=3X, D(Y)= 9D(X), D(Y)=27
  б). Y=X+5. D(Y)=D(X) D(Y)=3.
  е). Y=-5X-7. D(Y)= 25D(X)=75.
  
  Остальные решаются аналогично.
  

• 20 слайд

  П. 58. Математическое ожидание числа успехов в серии испытаний Бернулли
  
  
  Если S – число успехов в серии n независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха р, то Е(S) = np.
  
  

• 21 слайд

  Задача № 1.
  2000 – окуней и 1000 – карасей. Всего 3000 рыб.
  Найти ожидаемое число карасей.
  E(S) = np
  S = 0;1; 2;4; …;30Е(S) = 30p
  
  
  
  E(S) = 10
  
  

• 22 слайд

  Задача № 3.
  n=120
  а).S – «число очков кратно 3»
  При бросании игральной кости с равной вероятностью 1/6 выпадают 1, 2, 3,4,5,6.
  Успехов 2 (значения 3 и 6). Следовательно вероятность события Х при однократном бросании равна 1/3.
  Т.е. Е(S) = 120∙1/3 = 40.
  б). Аналогично.
  

• 23 слайд

  Задача № 4.
  Вероятность успеха 0,25. Следовательно Е(S)=16·0.25=4. Т.е. ожидаемое число правильных ответов 4.
  
  Задача №5.
  Математическое ожидание случайной величины «число выпадений острием вверх» равно 135. n=300. Найти р.
  Е(S) = np. р·300 = 135,
  p = 0,45
  

• 24 слайд

  П. 59. Дисперсия числа успехов.
  Дисперсия числа успехов S в серии испытаний Бернулли вычисляется по формуле D(S) = npq.
  
  n – число испытаний Бернулли
  р – вероятность успеха
  q – вероятность неудачи
  

• 25 слайд

  Задача № 1.
  n = 100 p = 0,36, следовательно q = 0,64.
  
  D(S) = 0,36·0,64·100 = 23,04
  σ = √D(S) σ = √23,04 = 4,8
  
  Задача № 2. а). Х – «выпавшее число очков кратно 3»
  
  
  
  D(X) = 3000
  

• 26 слайд

  Задача № 3.
  S – число попаданий серии выстрелов по мишени.
  р – вероятность попадания (вероятность успеха)
  Найти дисперсию величины S.
  а). D(X) = npq. р=0,3, тогда вероятность неудачи равна 0,7. число выстрелов равно 100. Тогда дисперсия равна 21.
  в). При 2500 выстрелах дисперсия равна 525.
  

• 27 слайд

  К задаче № 4 даны рекомендации в ответе.