Урок алгебры по теме: "Числовые последовательности". 9-й класс
Иванова
Наталья Михайловна, учитель математики
МОУ СОШ №19 г. Иркутска
Цели:
·
Образовательная: разъяснить учащимся
смысл понятий «последовательность», «n-ый член последовательности»; познакомить
со способами задания последовательности.
·
Развивающая: развитие самостоятельности,
взаимопомощи при работе в группе, сообразительности.
·
Воспитательная: воспитание активности и
аккуратности.
Ход
урока:
1.
Организационный момент
Сегодня
на уроке мы познакомимся с понятием «последовательность», узнаем, какими могут
быть последовательности и рассмотрим способы задания последовательностей.
2.
Подготовка обучающихся к активной учебно-познавательной деятельности на
основном этапе урока (работа в группах, дифференцированный подход)
Каждая
группа учеников получает свое задание. После его выполнения отчитывается каждая
группа перед классом, начинают ученики 1 группы.
Задание
для учеников 1 группы:
Какие
события в нашей жизни происходят последовательно? Приведите примеры таких
явлений и событий.
Ответы
учеников 1 группы: дни недели, названия месяцев, возраст
человека, номер счёта в банке, последовательно происходит смена дня и ночи,
последовательно увеличивает скорость автомобиль, последовательно пронумерованы
дома на улице и т. д.
Задание
для учеников 2 и 3 групп: ученикам предлагается
найти закономерности и показать их с помощью стрелки.
2
группа:
В порядке
возрастания положительные нечетные числа
|
1/2; 1/3; 1/4; 1/5; 1/6…
|
В порядке убывания
правильные дроби с числителем, равным 1
|
1; 3; 5; 7; 9; …
|
В порядке
возрастания положительные числа, кратные 5
|
5; 10; 15; 20; 25; …
|
3
группа: найдите закономерности
1; 4; 7; 10; 13; …
|
Увеличение на 3
|
10; 19; 37; 73; 145; …
|
Чередовать
увеличение на 2 и увеличение в 2 раза
|
6; 8; 16; 18; 36; …
|
Увеличение в 2 раза
и уменьшение на 1
|
Ответы
2 группы:
1.
В порядке возрастания положительные нечетные числа (1; 3; 5; 7;
9; … )
2.
В порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1 (1/2;
1/3; 1/4; 1/5; 1/6…)
3.
В порядке возрастания положительные числа, кратные 5 (5; 10; 15;
20; 25; …)
Ответы
3 группы:
1.
1; 4; 7; 10; 13; … (Увеличение на 3)
2.
10; 19; 37; 73; 145; … (Увеличение в 2 раза и уменьшение на 1)
3.
6; 8; 16; 18; 36; … (Чередовать увеличение на 2 и увеличение в 2
раза)
3.
Изучение нового материала
Рассмотренные
нами числовые ряды и есть примеры числовых последовательностей.
Числа,
образующие последовательность, называют соответственно первым, вторым, третьим,
и т. д., n-ным членами последовательности.
Обозначают
члены последовательности так а1; а2; а3; а4;
… аn;
Последовательности
могут быть конечными и бесконечными, возрастающими и убывающими.
Задания
для устной работы
1.
Назовите в последовательности 1; 1/2; 1/3; 1/4; 1/5; … 1/n;
1/(n+1) члены а1; а4; а10; аn;
2.
Является ли последовательность четырёхзначных чисел конечной?
(да)
3.
Назовите её первый и последний члены. (Ответ: 1000; 9999)
4.
Является ли последовательностью запись чисел 2; 4; 7; 1; -21;
-15; …? (нет, так как нельзя по первым шести членам обнаружить какую-нибудь
закономерность)
Существуют
различные способы, которые позволяют задать последовательность.
С
помощью формулы n-ого члена последовательности (аналитический способ).
Формула
общего члена позволяет вычислить член последовательности с любым заданным
номером. Например, если хn=3n+2, то
х5=3.5+2=17;
х45=3.45+2=137.
Рекуррентный
способ
Формулу,
выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через
предыдущие (один или несколько), называют рекуррентной (от
латинского слова recurro– возвращаться).
Например,
последовательность, заданную правилом
а1=1;
аn+1= аn +3
можно
записать с многоточием:
1;
4; 7; 10; 13; …
4.
Закрепление изученного материала (работа в группах, дифференцированный подход)
Каждая
группа получает индивидуальное задание, которое выполняют самостоятельно. При
выполнении заданий ребята обсуждают решение и записывают его в тетрадь.
Даны
последовательности: аn=n4 ; аn=(-1)nn2 ;
аn=n +4; аn=-n-4; аn=2n -5;
аn=3n -1.
Задание
для учеников 1 группы: Последовательности заданны
формулами. Впишите пропущенные члены последовательности:
1;
___; 81; ___; 625; ...
-1; 4; ___; ___; -25; …
5; ___; ___; ___; 9; …
___; -6; ___; ___ ; -9; …
___; ___; 3; 11; ___; …
2; 8; ___; ___; ___; …
Задание
для учеников 2 группы:
Выписать
первые пять членов последовательности, заданной формулой своего n-ого члена.
Задание
для учеников 3 группы:
Определите,
какими числами являются члены этих последовательностей, заполните таблицу.
Положительные и
отрицательные числа
|
Положительные числа
|
Отрицательные числа
|
|
|
|
5.
Историческая справка
Рекуррентное
задание последовательности может быть и более сложным. Например, равенства: х1=1;
х2=1; хn+2= хn+1 + хn
Также
позволяют вычислять поочередно члены последовательности:
х3=
х2 + х1 =1+1=2;
х4= х3 + х2 =2+1=3;
х5= х4 + х3 =3+2=5;
… .
Проще
всего выписывать члены этой последовательности, если перевести равенство на
русский язык: каждый член последовательности, начиная с третьего, равен сумме
двух предыдущих членов.
1,
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, … .
Члены
этой последовательности называются числами Фибоначчи – по имени
средневекового итальянского ученого Леонардо Фибоначчи (1180 – 1240 ) из
г. Пизы. Последовательность Фибоначчи рассмотрена им в 1202 году в книге «Liber
abacci». Эти числа встречаются в математике и природе довольно часто:
треугольник Паскаля, количество веток на дереве или приплод от пары кроликов за
определенный период времени, семена в подсолнечнике.
Блез
Паскаль (1623 – 1662 ) один из самых знаменитых людей в
истории человечества. Треугольник Паскаля – это бесконечная числовая таблица
треугольной формы, в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы,
каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и
справа в предшествующей строке:
Продолжите
строчку сами!
|
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
(1 6 15 20 15 6 1)
|
Между
числами Фибоначчи и треугольником Паскаля существует интересная связь.
Подсчитав для каждой восходящей диагонали треугольника Паскаля сумму всех
стоящих на этой диагонали чисел, получим:
для
1 диагонали – 1;
для
2 диагонали – 1;
для
3 диагонали – 1+1=2;
для
4 диагонали – 1+2=3;
для
5 диагонали – 1+3+1=5;
для
6 диагонали – 1+4+3=8;
для
7 диагонали – 1+5+6+1=13 ….
Мы
получили не что иное, как числа Фибоначчи. Оказывается, что всегда сумма чисел
n-ой диагонали есть n-ое число Фибоначчи.
6.
Подведение итогов урока
Итак,
мы разобрали понятие последовательности и способы ее задания.
Приведите
примеры числовой последовательности: конечной и бесконечной.
Какие
способы задания последовательности вы знаете.
Какая
формула называется рекуррентной?
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.