ЕГЭ-2023. Профильная математика. Вариант №1

ЕГЭ 2023. Профильная математика. Вариант №1.

1.  Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны  и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ укажите в градусах.

2.  В правильной шестиугольной призме  площадь основания равна 12, а боковое ребро равно 8. Найдите объём призмы .

3.  В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 5 или 6.

4.  Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,2 при каждом отдельном выстреле. Сколько патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,6?

5.  Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

6.  Найдите значение выражения .

7.  На рисунке изображён график  − производной функции , определённой на интервале . Найдите количество точек максимума функции , принадлежащих отрезку .

8.  Небольшой мячик бросают под острым углом  к плоскости горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота мячика, выраженная в метрах, определяется по формуле , где  м/с − начальная скорость мячика, а  − ускорение свободного падения (считайте  м/с²). При каком значении  (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 4 м на расстоянии 1 м от неё?

9.  Пароход, отчалив от пристани А, спустился вниз по течению реки на 60 км до устья впадающего в реку притока и поднялся вверх по притоку (против течения) на 20 км до пристани В. Весь путь от А до В пароход прошёл за 7 часов. Скорость течения реки и скорость течения притока равны 1 км/ч. Найти собственную скорость парохода в км/ч. (Собственная скорость − скорость в неподвижной воде).

10.  На рисунке изображён график функции . Найдите значение .

11.  Найдите наибольшее значение функции  на отрезке .

________________

12.  а)  Решите уравнение: ;

              б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку: .

13.  На ребре АА₁ прямоугольного параллелепипеда АВСDA₁B₁C₁D₁ взята точка Е так, что А₁Е : ЕА = 6 : 1, а на ребре ВВ₁ − точка F так, что В₁F : FB = 3 : 4.

Известно, что АВ = 2√2, AD = 12, АА₁ = 14.

а) Докажите, что плоскость EFD₁ делит ребро B₁C₁ на два равных отрезка.

б) Найдите угол между плоскостью EFD₁ и плоскостью АА₁В₁.

14.  Решите неравенство .

15.  В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг будет возрастать на 14 % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна сумма всех платежей после полного погашения кредита, если наименьший годовой платёж будет составлять 475 000 рублей?

16.  Диагонали АС и ВD выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Р . Известно, что угол DAC равен 90° , а угол ACB в 2 раза больше угла ADB . Сумма угла DBС и удвоенного угла ADС равна 180°

а) Докажите, что ВР = 2АР.

б) Найдите площадь четырёхугольника AВCD , если BD = 8 и точка Р является серединой диагонали BD .

17.  Найдите все значения параметра , при которых уравнение имеет ровно два решения: .

18.  Символом  обозначается целая часть числа а, то есть наибольшее целое число, не превосходящее а. Например,  и .

а)  Существует ли такое натуральное число , что ?

б)  Существует ли такое натуральное число , что ?

в)  Найите все натураьные числа n, для которых .

Ответы:

1.	102	12	А) , ,
2.	64		Б) ,
3.	0,25	13	Б)
4.	5	14
5.	0	15	9 550 т.р.
6.	4	16	Б)
7.	2	17
8.	30	18	А) да
9.	11		Б) нет
10	-67
11	17

Краткое описание документа:

Вариант для работы в школе на уроках, либо для самостоятельной подготовки к профильному ЕГЭ по математике. Составлен в соответствии с кодификатором ЕГЭ 2023. Ответы есть в работе.