Элективный курс на тему "УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ"

Элективный курс «Уравнение и неравенство с параметром».

1. 1. Пояснительная записка.

Представленный элективный курс имеет предметно-ориентированный характер и предполагает собой реализацию, как в общеобразовательных, так и в профильных 11 классах.

Актуальность данного курса очевидна, исходя из ежегодного использования задач с параметрами в материалах ЕГЭ. Хотя должного внимания данному виду задач в школьной математике до сих пор не уделяется. Тем более при решении задач с параметром, так или иначе, приходиться прибегнуть к решению путем рассуждения, что развивает логическое мышление, а это всегда актуально. Задачи с параметром обычно включают в себя сведенья из разных тем школьной математики, при решении этих задач используются знания, полученные на протяжении всего обучения. Тем самым можно считать, что задачи с параметром являются средством для развития математической логики, которая пригодиться при решении любых других задач, а умение рассуждать понадобиться при изучении высшей математике в Вузе.

Элективный курс рассчитан на преподавание в объеме 34 часов, то есть 1 час в неделю. Изучение элективного курса поможет учащимся выпускного класса не только разобраться в этапах решения одной из самых сложных задач ЕГЭ, но и разовьют навыки исследовательской деятельности, что, несомненно, пригодиться в дальнейшем обучении в Вузе.

Целью данного элективного курса является изучение методов и приемов решения уравнений и неравенств с параметром, а также приобретение исследовательских навыков.

Данный курс призван способствовать решению следующих задач:

• овладение системой знаний по решению задач с параметром;

• расширение представлений об уравнениях и неравенствах с параметрами;

• развитие математических способностей и математической культуры;

• развитие логического мышления;

• привлечение выпускников к выбору профессии, имеющей математический уклон.

Преобладающими формами обучения являются индивидуальная, фронтальная, реже групповая, а также используются элементы исследовательской деятельности. Используются такие методы обучения как объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый, метод проектов. В качестве средств обучения используются печатные и наглядные пособия и электронные образовательные ресурсы. Для контроля знаний используются самостоятельные работы и презентация групповых учебных проектов.

1. 2. Содержание программы элективного курса.

Введение. Что такое параметр?(1ч)

Определение параметр. Понятие равносильности уравнений. Понятие уравнения с параметром, неравенств с параметром. Виды уравнений и неравенств с параметром. Решение простейших задач с параметром.

Линейные уравнения и неравенства с параметром. (5ч)

Линейные уравнения с параметром. Решение линейных уравнений с параметром. Решение линейно-кусочных уравнений. Решение уравнений с параметром, имеющих дополнительные условия, наложенные на корни уравнения. Линейные неравенства с параметром. Решение линейных неравенств с параметром.

Квадратные уравнения и неравенства с параметром. (10ч)

Квадратные уравнения с параметром. Решение квадратные уравнения с параметром. Использование теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметром. Решение квадратных уравнений с параметром, имеющих дополнительные условия, наложенные на корни уравнения. Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратичной функции. Необходимые и достаточные условия для решения конкретных случаев квадратных уравнений. Решение квадратных уравнений с параметром первого типа («для каждого значения параметра найти все решения уравнения»). Решение квадратных уравнений второго типа («найти все значения параметра, при каждом из которых уравнение удовлетворяет заданным условиям»). Квадратные неравенства с параметром. Решение квадратных неравенств с параметром. Метод интервалов при решении квадратных неравенств с параметром. Решение квадратных неравенств с параметром первого и второго типа. Нахождение заданного количества решений.

Графический метод решения уравнений и неравенств с параметром. (4ч)

Графическое решение уравнений и неравенств. Сечение семейством прямых . Сечение семейством прямых Сечение семейством прямых . Использование графического метода.

Различные виды уравнений и неравенств с параметром. (10ч)

Решение уравнений и неравенств с параметром, содержащих модуль. Решение тригонометрических уравнений и неравенств с параметром. Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств с параметром. Решение иррациональных уравнений и неравенств с параметром. Метод решения относительно параметра.

Задачи с параметром в едином государственном экзамене. (3ч)

Нетрадиционные задачи с параметром. Задачи с параметром, входящие в контрольно-измерительные материалы ЕГЭ прошлых лет. Олимпиадные задачи с параметром.

Заключение. Итоговое занятие (1ч)

Защита групповых учебных проектов.

Темы проектов:

• Параметр в системах уравнений.

• Параметр в системах неравенств.

1. 3. Учебно-тематическое планирование.

Линейные уравнения и неравенства с параметром.

2

Линейные уравнения с параметрами

1

3

Линейные уравнения с параметрами и сводимые к ним.

1

4

Линейные неравенства с параметрами

1

5

Линейные неравенства с параметрами и сводимые к ним

1

6

Линейные уравнения и неравенства с параметрами

1

Квадратные уравнения и неравенства с параметром.

7

Квадратные уравнения с параметром

1

8

Использование теоремы Виета для решения уравнений с параметром

1

9

Расположение нулей квадратичной функции на числовой прямой

10

Квадратные уравнения с параметром первого вида

1

11

Квадратные уравнения с параметром второго вида

1

12

Квадратные неравенства с параметром

1

13

Метод интервалов при решении неравенств с параметром

1

14

Решение квадратных неравенств с параметром первого и второго вида

1

15

Нахождение заданного количества решений уравнений и неравенств с параметром

1

16

Самостоятельная работа по теме: «Квадратные уравнения и неравенства с параметром».

1

Графический метод решения уравнений и неравенств с параметром.

17

Исследование неравенств с параметром с начальными условиями

1

18

Исследование неравенств с параметром с начальными условиями

1

19

Исследование неравенств с параметром с начальными условиями

1

20

Исследование неравенств с параметром с начальными условиями

1

Различные виды уравнений и неравенств с параметром.

21

Уравнения с параметром, содержащие модуль

1

22

Неравенства с параметром, содержащие модуль

1

23

Тригонометрические уравнения с параметром

1

24

Тригонометрические неравенства с параметром

1

25

Показательные и логарифмические уравнения с параметром

1

26

Показательные и логарифмические неравенства с параметром

1

27

Иррациональные уравнения с параметром

1

28

Иррациональные неравенства с параметром

1

29

Метод решения относительно параметра

1

30

Самостоятельная работа по теме «Различные уравнения и неравенства с параметром»

1

Задачи с параметром в едином государственном экзамене.

31

Задачи ЕГЭ

1

32

Практикум по решению задач ЕГЭ

1

33

Решение задач ЕГЭ

1

Заключение.

34

Итоговый урок. Защита проектов

1

Заключение.

Задачи с параметром актуальны для изучения в школе, так как они помогают в формировании логического мышления. В ходе решения уравнений и неравенств с параметром фактически проводиться исследование, поэтому можно с уверенностью сказать, что такого рода работа развивает у учащихся навыки исследовательской деятельности. Поиска способа решения того или иного уравнения с параметром требует от учащегося обладания высоким уровнем математического мышления и посильно не каждому рядовому ученику общеобразовательной школы. Поэтому изучение задач с параметром, как и любых других трудных, нестандартных задач всегда будет вопросом актуальным для учащихся профильных школ, а также для выпускников, у которых приоритетным предметом является математика и возможность получить максимальный балл при его сдаче.

В первой главе рассмотрены основные понятия, входящие в цикл понятий о параметре, а также разобраны основные методы решения уравнений и неравенств с параметром.

Вторая глава посвящена решению различных задач с параметром, которые могут встречаться на ЕГЭ, а также в составе олимпиадных заданий. При решении этих представленных уравнений и неравенств с параметром используются различные методы: аналитический, графический, метод решения относительно параметра; применяются знания по решению уравнений и неравенств различного вида, а также дополнительные знания, такие как схема Горнера, равносильные преобразования, переход от уравнения к системе простых неравенств и т.д. Задачи с параметрами являются сложными потому, что не имеют единого алгоритма решения. Из представленных в работе примеров видно, что каждый вид уравнения с параметром требует индивидуальный подход к своему решению. Любые из данных примеров, которые представлены от простого к сложному, требуют тщательного обдумывания, большого внимания и навыков исследования. Каким бы методом не решалась задача, она требует анализа.

Третья глава представляет собой программу элективного курса «Уравнения и неравенства с параметром» рассчитанного на преподавание в объеме 34 часов в 11 классе. В данную программу входят:

• пояснительная записка, содержащая актуальность, цель и задачи курса, а также методы, формы и средства обучения;

• содержание программы, в которой представлена краткая аннотация каждого раздела;

• учебно-тематическое планирование.

Правильно подобранная система задач и практически отработанный навык решения – гарантия успешного изучения темы, а возможность соблюдения этих критериев дает элективный курс. Расширенное и более подробное изучение нетрадиционных задач таких, как задачи с параметром, с помощью элективного курса оправданно, так как данный курс развивает математическую логику и логику мышления, что поможет и в решении других задач.

Задачи, содержащие в своем условие параметр, относят к наиболее сложному виду задач представленных в ЕГЭ. Спецификой подобных задач является то, что наряду с неизвестными величинами в них фигурируют параметры, численные значения которых не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом значения параметров существенно влияют на логический и технический ход решения задачи и форму ответа. По статистике многие из выпускников не приступают к решению задач с параметрами на ЕГЭ. По данным ФИПИ всего 10% выпускников приступают к решению таких задач, и процент их верного решения невысок: 2–3% [10]. Представленные элективный курс «Уравнения и неравенства с параметром» и разобранные задачи, при использовании в старших классах, помогут не только решить данный вид задач на ЕГЭ, но и научат рассуждать и анализировать любое задание, а не просто бездумно следовать заученному алгоритму. Уверенное решение задач с параметром – это достаточный уровень математической подготовки для школьника, большой шаг к дальнейшему поступлению в Вуз, подспорье в подготовке к математической олимпиаде, конкурсам, ЕГЭ.

Список литературы.

1. Беляева Э. С., Потапов А. С., Титоренко С. А. Математика. Уравнение и неравенство с параметром. Ч. 1. – М.: Дрофа, 2009 – 480 с.

2. Беляева Э. С., Потапов А. С., Титоренко С. А. Математика. Уравнение и неравенство с параметром. Ч. 2. – М.: Дрофа, 2009 – 444 с.

3. Высотский В. С., Задачи с параметром при подготовке к ЕГЭ. – М.: Научный мир, 2011. – 316 с.

4. Голубев В. И. Решение сложных и нестандартных задач по математике – М.: ИЛЕКСА, 2007. – 252 с.

5. Козко А. И., Панферов В. С, Сергеев И. Н., Чирский В. Г. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С5. Задачи с параметром — М.: МЦНМО, 2011.- 144 с.

6. Мантуров О. В., Солнцев Ю. К., Соркин Ю. И., Федин Н. Г. Толковый словарь математических терминов. – М.: Просвещение, 1965. – 540 с.

7. Мирошин В. В., Решение задач с параметрами. Теория и Практика. – М.: Издательство «Экзамен», 2009. – 282 с.

8. Субханкулова С.А. Задачи с параметрами. – М.: ИЛЕКСА, 2010. – 208 с.

9. Шабунин М. И., Прокофьев А. А., Олейник Т. А., Соколова Т. В. Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень: методическое пособие для 11 класса. – М.: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2010. – 360 с.

10. http://открытыйурок.рф/статьи/631690/

11. Козко А. И., Чирский В. Г. Задачи с параметром и другие сложные задачи. – М.: МЦНМО, 2007. – 296 с.

12. Сергеев И. Н., Панферов В. С. ЕГЭ: Математика. 1000 задач с ответами и решениями. Все задания части 2. – М. Издательство «Экзамен», 2018. – 334 с.

13. Ерина Т. М. ЕГЭ 2018. 100 баллов. Математика. Профильный уровень. Практическое руководство. – М.: УЧПЕДГИЗ, 2018. – 350 с.

14. Крамор В. С. Задачи с параметрами и методы их решения. – М.: ООО «Издательство Оникс»; ООО «Издательство «Мир и Образование», 2007. – 416 с.

Краткое описание документа:

Данный элективный курс был разработан в 2017 году. Проанализировав литературу и пособия последних лет можно сделать вывод, что в школьной практике обучения математики в профильной школе значительно возрос интерес к задачам с параметрами и это не удивительно, ведь они обладают огромной диагностической ценностью. Уравнения и неравенства с параметром актуальная тема для старшеклассников, так как задачи с параметром рассматриваются в заданиях ЕГЭ. Возможность и умение решать задачи с параметрами демонстрируют владение методами решения уравнений и неравенств, осмысленное понимание теоретических сведений, уровень логического мышления, стимулируют познавательную деятельность.