ФГБОУ ВО «АРМАВИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ ИНФОРМАТИКИ, МАТЕМАТИКИ И ФИЗИКИ
Разработка элективного курса
«Практическая геометрия»
Новикова Людмила Анатольевна
(фамилия, имя, отчество)
Факультет (институт) ИПИМиФ
Основная образовательная программа 44.04.01 «Педагогическое образование»
(Направленность (профиль) «Математика и информационные технологии»
Курс 2 Форма обучения заочная Учебная группа ZММ-МатИ-2-1_
Армавир, 2021
Пояснительная записка
Геометрическая линия является одной из центральных линий курса математики. Она предполагает систематическое изучение свойств геометрических фигур на плоскости, формирование пространственных представлений, развитие логического мышления и подготовку аппарата, необходимого для изучения смежных дисциплин (физики, черчения и т. д.) и курса стереометрии.
С другой стороны, необходимость усиления геометрической линии обусловливается следующей проблемой: задание частей В и С единого государственного экзамена предполагает решение геометрических задач. Итоги экзамена показали, что учащиеся плохо справлялись с этими заданиями или вообще не приступали к ним. Для успешного выполнения этих заданий необходимы прочные знания основных геометрических фактов и опыт в решении геометрических задач. Актуальность введения данного элективного курса, направленного на реализацию пред профильной подготовки учащихся, заключается в максимальном обеспечении возможности творческой реализации математических способностей обучающихся.
Программа элективного курса разработана на основе следующих нормативно-правовых документов, обеспечивающих реализацию программы
1. Закон РФ «Об образовании»
2.Обязательный минимум содержания основного общего образования по математике,
3.Федеральный компонент государственного стандарта общего образования по математике.
4. Конвенция «О правах ребенка»
Общая характеристика курса
Содержание курса: Избранные задачи по планиметрии» расширяет и углубляет геометрические сведения, представленные в главах основного учебника: вводятся новые понятия, рассматриваются новые интересные геометрические факты, даётся обоснование некоторых утверждений, рассматриваются различные способы решения задач.
Целями данного курса являются:
1. Расширение и углубление знаний по программе курса геометрии 8 класса.
2. Создание условий для самореализации учащихся в процессе учебной деятельности.
3. Развитие математических, интеллектуальных способностей учащихся, обобщенных умственных умений.
Для достижения поставленных целей в процессе обучения решаются следующие задачи:
1. Приобщить учащихся к работе с математической литературой.
2. Выделять и способствовать осмыслению логических приемов мышления, развитию образного и ассоциативного мышления.
3. Обеспечить диалогичность процесса обучения математике.
Организация образовательного процесса
Формы организации занятий элективного курса – это лекции, беседы, дискуссии, групповые соревнования, индивидуальные консультации, теоретические практикумы по решению задач, практическая и исследовательская работа в группах и индивидуально
Виды деятельности учащихся:
Образовательные технологии, применяемые на занятиях курса:
Программа элективного курса «Практическая геометрия»
|
№ |
Тема |
Количество часов |
|
1 |
Углы. |
3 |
|
2 |
Треугольники. |
4 |
|
3 |
Многогранники. |
4 |
|
4 |
Теорема Пифагора. |
1 |
|
5 |
Взаимное расположение прямых и окружностей. |
3 |
|
6 |
Вписанные и описанные окружности |
2 |
|
|
Итого: |
17 |
СОДЕРЖАНИЕ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА
Тема 1. Углы.
Учащиеся должны знать и уметь: знать понятия и термины, относящиеся к основным геометрическим фигурам уметь находить Величину угла; градусную меру угла, смежные и вертикальные углы. Знать Признаки и свойства параллельных прямых. Углы при параллельных прямых и секущей.
Методы обучения: объяснение, решение задач используя ранее полученные знания.
Содержание работы. Учащиеся вспоминают ранее изученные теоремы и аксиомы и применяют их при решении задач.
Повторяем теорию.
Смежные и вертикальные углы.
Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными.
Сумма смежных углов равна 180о
∠𝐴𝐵𝐶 + ∠𝐶𝐵𝐷 = 180о
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.
∠1 и ∠3, ∠2 и ∠4 вертикальные.
Вертикальные углы равны. ∠1 = ∠ 3, ∠2 = ∠4.
Проверяем себя
Вопрос 1. Закончите предложения:
а) Два угла называются смежными, если …
б) Вертикальные углы …
Вопрос2. Верно ли утверждение:
а) Если два угла равны, то они вертикальные.
б) Если сумма двух углов равна 180о, то эти углы смежные.
в) Смежные углы могут быть равными.
г) Смежные углы всегда равны.
д) Всегда один из двух смежных углов острый, а другой тупой.
е) Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым.
Вопрос 3. Выберите верные утверждения:
а) Сумма вертикальных углов равна 180о.
б) Биссектриса угла делит его на два равных угла.
в) Сумма двух вертикальных углов может равняться 240о.
г) Если угол равен 70о, то смежный с ним угол равен 110о.
д) Треугольник называется остроугольным, если один из его углов
острый.
Решим задачу.
Найдите величину угла AOK, если OK –
биссектриса угла AOF, OE – биссектриса угла COB,
∠𝐶𝑂𝐸 = 25о
Углы при параллельных прямых и секущей.
|
|
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
𝑎 ∥ 𝑏
Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух точках.
При пересечении двух прямых секущей образуются 8 углов.
∠3 и ∠6 , ∠4 и ∠5 – внутренние накрест лежащие углы
∠3 и ∠5, ∠4 и ∠6 – внутренние односторонние углы
∠1 и ∠5, ∠3 и ∠7, ∠2 и ∠6, ∠4 и ∠8 – соответственные углы
Признаки параллельности прямых.
1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы
равны, то прямые параллельны.
2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы
равны, то прямые параллельны.
3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних
углов равна 180о, то прямые параллельны.
Свойства параллельных прямых.
1. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест
лежащие углы равны.
2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма
односторонних углов равна 180о.
3. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то
соответственные углы равны.
Аксиома параллельных прямых.
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая,
параллельная данной.
Следствия.
1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она
пересекает и другую.
2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Проверяем себя
Вопрос 1. Выберите верные утверждения:
а) Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны.
б) Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
в) Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные
углы равны, то эти две прямые параллельны.
г) Если при пересечении двух прямых секущей сумма накрест лежащих
углов составляют 180 º, то эти две прямые параллельны.
Вопрос 2. Выберите неверные утверждения:
а) Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, перпендикулярны.
б) Если при пересечении двух прямых третьей прямой односторонние углы
в сумме составляют 180 º, то эти две прямые параллельны.
в) Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы
равны, то эти две прямые параллельны.
г) Два перпендикуляра к одной прямой параллельны.
д) Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она не
пересекает другую прямую.
Вопрос 3. Вставьте пропущенные слова:
а) Если две прямые параллельны третьей, то ___________.
Ответ: они параллельны друг другу
б) Две прямые на плоскости называются параллельными, если _______.
Ответ: они не пересекаются
в) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую,
параллельную данной, и притом____________.
Решаем задачу
При пересечении прямых образованные
углы (см рисунок) ∠ЕСD=40°, ∠МDA=140°.
Найдите ∠СВА,
если ∠ВАD = 80°.
CF – биссектриса угла BCM, ∠𝐷𝑀𝐻 =
40о, ∠𝐴𝐶𝐿 = 140о. Найдите ∠𝑁𝐾𝐹.
Сумма углов треугольника. Внешние углы треугольника.
Теорема.
Сумма углов треугольника равна 180о
∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 = 180о
Внешним углом треугольника называется угол,
смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.
∠𝐵𝐶𝐷 – внешний.
Внешний угол треугольника равен сумме двух
углов треугольника, не смежных с ним.
∠𝐵𝐶𝐷 = ∠𝐴 + ∠𝐵.
Проверь себя.
Вопрос 1. Выберите верные утверждения:
а) Внешний угол треугольника равен сумме его внутренних углов.
б) Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180о.
в) В тупоугольном треугольнике все углы тупые.
Вопрос 2. Выберите верные утверждения:
а) В любом тупоугольном треугольнике есть острый угол.
б) Сумма углов любого треугольника равна 360о.
в) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90о.
г) Один из углов треугольника всегда не превышает 60о.
Вопрос 3. Выберите верные утверждения:
а) В остроугольном треугольнике все углы острые.
б) Если в треугольнике есть один острый угол, то этот треугольник
остроугольный.
в) Сумма углов тупоугольного треугольника больше 180°
г) Внешний угол треугольника больше не смежного с ним внутреннего
угла.
Решаем задачи
1. В треугольнике АВС угол A в 2,5 раза больше, чем угол С и на 36°меньше угла В. Найдите углы треугольника.
2. В треугольнике АВС АВ=АС. Один из углов 40°. Найдите остальные углы треугольника.
3. В треугольнике АВС ∠𝐴: ∠𝐵:∠𝐶 = 3: 4: 5 . Найдите больший угол треугольника.
Тема 2. Треугольники.
Учащиеся должны знать и уметь: знать понятия определения, относящиеся основным геометрическим фигурам уметь различать виды треугольников. Знать определения: биссектрисы, высоты, медианы треугольника. Уметь применять на практике доказательства равенства треугольников.
Методы обучения: объяснение, решение задач используя ранее полученные знания. Развитие пространственных представлений.
Содержание работы. Учащиеся вспоминают ранее изученные теоремы и аксиомы и применяют их при решении задач.
Биссектриса, высота, медиана треугольника.
Повторяем теорию.
Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий
вершину треугольника с точкой противоположной стороны,
называется биссектрисой треугольника.
BD – биссектриса треугольника ABC,∠𝐴𝐵𝐷 = ∠𝐶𝐵𝐷.
Перпендикуляр, проведенный из вершины
треугольника к прямой, содержащей противоположную
сторону, называется высотой треугольника.
BH – высота треугольника ABC, 𝐵𝐻 ⊥ 𝐴𝐶.
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с
серединой противоположной стороны, называется медианой
треугольника.
BM – медиана треугольника ABC, AM=MC.
Любой треугольник имеет три биссектрисы, три высоты и три медианы.
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная
к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Δ𝐴𝐵𝐶 – прямоугольный, CM – медиана, тогда 𝐶𝑀 =1/2𝐴𝐵.
Проверяем себя.
Вопрос 1. Закончите предложение.
Высота треугольника - это ___________
а) отрезок, перпендикулярный стороне треугольника;
б) перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой,
содержащей противоположную сторону
в) отрезок, соединяющий вершину треугольника с противолежащей
стороной под прямым углом
Вопрос 2. Укажите верные утверждения:
а) каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его
высотой;
б) биссектриса треугольника делит пополам сторону, к которой проведена;
в) в любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке.
Вопрос 3. Выберите неверные утверждения:
а) каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его
медианой;
б) медиана треугольника делит пополам угол, из вершины которого
проведена;
в) отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой
противолежащей стороны треугольника, называется медианой.
Решаем задачи
1. Острые углы прямоугольного треугольника равны 74° и 16°. Найдите угол между высотой ВМ и медианой ВК, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
2. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла равен 18о. Найдите больший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах.
3. В треугольнике ABC CH – высота, AD – биссектриса, O – точка пересечения прямых CH и AD, угол BAD равен 74о.Найдите угол AOC. Ответ дайте в градусах.
Равнобедренный треугольник.
Повторяем теорию.
Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. ∆𝐴𝐵𝐶– равнобедренный.
Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья
сторона – основанием.
𝐴𝐵 и 𝐶𝐵 – боковые стороны
𝐴𝐶 – основание
Свойства равнобедренного треугольника.
1. В равнобедренном треугольнике углы при основании
равны.
∠𝐴 = ∠𝐶
2. В равнобедренном треугольнике биссектриса,
проведенная к основанию, является медианой и высотой.
𝐵𝐷 – биссектриса, высота, медиана.
Проверяем себя
Вопрос 1. Выберите верные утверждения:
а) всякий равнобедренный треугольник является остроугольным;
б) в равнобедренном треугольнике все стороны равны;
в) если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
Вопрос 2. Выберите неверные утверждения:
а) в равнобедренном треугольнике любая высота является медианой;
б) в равнобедренном треугольнике все углы по 60°
в) если в треугольнике биссектриса является высотой, то этот треугольник
– равнобедренный.
Вопрос 3. Вставьте пропущенные слова:
а) В равнобедренном треугольнике медиана, … является биссектрисой и
высотой;
б) треугольник называется равнобедренным, если … его стороны равны.
Эти стороны называются …, а третья сторона - ….
Решаем задачи
1. В треугольнике АВЕ высота ВР является медианой. АР=13 см.
Найдите АВ, если периметр треугольника АВЕ равен 100 см.
2. В треугольнике ABC высота BD делит сторону AC пополам. Найдите
градусную меру внешнего угла при вершине C, если ∠𝐴𝐵𝐷 = 25о.
Равносторонний треугольник.
Повторяем теорию.
Треугольник, все стороны которого равны, называется
равносторонним.
∆𝐴𝐵𝐶 –
равносторонний 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶 
Свойства.
1. В равностороннем треугольнике все углы равны 60о.
2. В равностороннем треугольнике биссектриса, медиана и высота,
проведенные из одной вершины совпадают.
Проверяем себя
Вопрос 1. Вставьте пропущенные слова:
треугольник называется равносторонним, если _____________:
а) две стороны равны;
б) его углы при основании равны;
в) его стороны равны;
г) два его угла равны.
Вопрос 2. Выберите верные утверждения:
а) все высоты равностороннего треугольника равны;
б) всякий равносторонний треугольник является равнобедренным;
в) если в треугольнике два угла равны, то он равносторонний;
г) все стороны равностороннего треугольника равны;
д) в равностороннем треугольнике все углы по 60°.
Вопрос 3. Выберите неверные утверждения:
а) всякий равносторонний треугольник является остроугольным;
б) каждая из биссектрис равностороннего треугольника является его
высотой;
в) сумма углов равностороннего треугольника 360°;
г) если в треугольнике есть угол 60°, то это равносторонний треугольник;
д) высота равностороннего треугольника делит противоположную сторону
пополам.
Решаем задачи.
1. В треугольнике АВС АВ=АС ВК – биссектриса, угол КВС равен 30°. Найдите угол ВКС.
2. Периметр равнобедренного треугольника MNK равен 80 см, а периметр равностороннего треугольника DNK равен 30 см. Найдите длину стороны MN.
Признаки равенства треугольников.
Повторяем теорию.
Два треугольника называются равными, если их можно совместить
наложением.
Признаки равенства треугольников.
1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Если 𝐴𝐵 = 𝐴1 𝐵1, 𝐴𝐶 = 𝐴1 𝐶1, ∠𝐴 = ∠𝐴1 , то ∆𝐴𝐵𝐶 = ∆𝐴1𝐵1 𝐶1
2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника
соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого
треугольника, то такие треугольники равны.
Если 𝐴𝐶 = 𝐴1 𝐶1, ∠𝐴 = ∠𝐴1, ∠𝐶 = ∠𝐶1 , то ∆𝐴𝐵𝐶 = ∆𝐴1𝐵1𝐶1
3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем
сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Если 𝐴𝐵 = 𝐴1 𝐵1, 𝐴𝐶 = 𝐴1 𝐶1, 𝐵𝐶 = 𝐵1 𝐶1, то ∆𝐴𝐵𝐶 = ∆𝐴1𝐵1𝐶1
Проверяем себя
Вопрос 1. Выберите верные утверждения:
а) Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам
другого треугольника, то такие треугольники равны.
б) Если сторона и угол одного треугольника соответственно равны стороне
и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
в) Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем
сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Вопрос 2. Выберите неверные утверждения:
а) Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно
двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
б) Любые два равносторонних треугольника равны.
в) Если сторона и два угла одного треугольника соответственно равны
стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Решаем задачи.
1. На рисунке 𝐴𝑀 = 𝐵𝑀, ∠𝐵𝑀𝐶 =∠𝐴𝑀𝐶, ∠𝐴𝐶𝑀 = 40о. Найдите угол ABC.
2. Докажите, что высоты равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны.
Тема 3. Многоугольники.
Учащиеся должны знать и уметь:
Знать как строить чертежи, соответствующие условию задачи, изображать геометрические фигуры на плоскости; выбирать при решении вычислительных задач и задач на доказательство основные фигуры, выполнять дополнительные построения.
Уметь находить на чертежах параллелограмм, прямоугольник, квадрат, ромб, трапецию; изображать на чертеже параллелограмм, прямоугольник, квадрат, ромб, трапецию в соответствии с их элементами; пользоваться свойствами параллелограмма и его видов при решении задач.
Методы обучения: объяснение, решение задач используя ранее полученные знания. Развитие пространственных представлений.
Содержание работы. Учащиеся вспоминают ранее изученные теоремы и аксиомы и применяют их при решении задач.
Сумма углов выпуклого многоугольника.
Повторяем теорию
Произвольный многоугольник – объединение замкнутой ломаной и ее внутренней области. Саму ломаную называют границей многоугольника, а ее внутреннюю область - внутренней областью многоугольника. Звенья границы многоугольника называются сторонами многоугольника, а вершины - вершинами многоугольника. Отрезок, соединяющий две противолежащие вершины многоугольника, называют его диагональю.
Правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.
Произвольный четырехугольник – это фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.
Произвольный многоугольник
Сумма внутренних углов n-угольника равна 180о∙(n-2)
Многоугольники, у которых все стороны равны и все углы равны, называются правильными.
Самостоятельная работа
Вариант 1
1. Найдите сумму внутренних углов выпуклого двадцатиугольника.
2. Сколько сторон имеет n-угольник, если сумма его внутренних углов
равна1800о?
3. Три угла четырехугольника равны: а) 40о, 110о, 120о. Найдите его четвертый угол.
Вариант 2
1. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если их градусные меры
пропорциональны числам 4 ,8, 8, 16
2. Найдите углы А, В, С выпуклого четырехугольника ABCD, если:
а) ∠A=∠B=∠C, а ∠D=27о.
3. Внутри угла А взята точка, из которой опущены на его стороны
перпендикуляры. Найдите углы получившегося четырехугольника, если ∠A=175о.
Параллелограмм
Повторяем теорию
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Основные свойства параллелограмма
В параллелограмме противоположные углы и противоположные стороны равны. AB = CD, BC = AD; ∠A = ∠C, ∠B = ∠D
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. AO = OC, BO = OD Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник Биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны, а биссектрисы противоположных углов параллельны или лежат на одной прямой.
В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180о
∠А + ∠В = 180о, ∠А + ∠D = 180о
Признаки параллелограмма
1. Если в четырехугольнике две
стороны равны и параллельны, то
этот четырехугольник –
параллелограмм
2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник –параллелограмм
3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.
3.
Решаем задачи.
1. Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка M –середина стороны AD. Докажите, что CM – биссектриса угла BCD.
2. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке К. Найдите периметр параллелограмма, если ВК=11, СК=20.
Ромб.
Повторяем теорию.
Ромб - параллелограмм, у которого все стороны равны. Слово «рoмб» - греческого происхождения. Оно означало в давние времена любое круглое или вращающееся тело.
|
|
Свойства ромба:
1. В ромбе противоположные углы и
противоположные стороны равны.
AB = CD, BC = AD; ∠A = ∠C, ∠B = ∠D
2. Диагонали ромба точкой
пересечения делятся пополам.
AO = OC, BO = OD
3. Диагонали ромба взаимно
перпендикулярны и его углы делят
пополам.
4.Высоты ромба равны.
Признаки ромба:
|
|
1. Если в четырехугольнике все
стороны равны, то этот
четырехугольник ромб.
|
|
2. Если в четырехугольнике диагонали
перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник
ромб.
|
|
3. Если в параллелограмме диагональ
лежит на биссектрисе его угла, то
этот четырехугольник ромб.
|
|
4. Если в параллелограмме высоты
равны, то этот параллелограмм -ромб.
Решаем задачи.
1. Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH=28, CH=7. Найдите высоту ромба.
2. Периметр ромба равен 16 см, высота равна 2 см. Вычислите углы ромба.
Трапеция, средняя линия трапеции
Повторяем теорию
|
|
Трапецией называется четырехугольник,
у которого две стороны параллельны,
а две другие не параллельны.
Параллельные стороны трапеции называются
ее основаниями, две другие стороны – боковыми сторонами.
Основные определения и свойства трапеции
Диагоналями трапеции называются отрезки, соединяющие противоположные вершины трапеции.
Высотой трапеции называется перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания трапеции на другое основание или его продолжение.
Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полу сумме. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полу разности ее оснований.
Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции перпендикулярны.
Сумма углов трапеции равна 360°.
|
|
Решим задачи.
1. Основания BC и AD трапеции ABCD
равны 10 и 18 соответственно. Найдите отрезок KL, соединяющий середины ее диагоналей.
2. В трапеции ABCD AD и BC - основания, AD ˃ BC. На стороне AD отмечена
точка K так, что KBCD – параллелограмм. Периметр треугольника ABK равен 25 , DK= 6. Найдите периметр трапеции.
3. Каждое основание AD и BC трапеции ABCD продолжено в обе стороны.
Биссектрисы внешних углов A и B этой трапеции пересекаются в точке P,
биссектрисы внешних углов C и D пересекаются в точке R. Найдите периметр
трапеции ABCD, если длина отрезка PR равна 24 см.
Ответ: 48 см.
|
|
Тема 4. Теорема Пифагора.
Учащиеся должны знать и уметь:
Знать теоремы Фалеса и Пифагора и уметь применять их при решении задач.
Уметь решать задачи, используя теорему Пифагора и её приложения.
Методы обучения: объяснение, решение задач используя ранее полученные знания.
Содержание работы. Учащиеся вспоминают теорему Пифагора и применяют ее при решении задач.
Теорема
Пифагора
— одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая
соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. 
Теорема Пифагора: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».
АВ2 =АС2+СВ2
Теорема Пифагора дает возможность по двум сторонам найти его третью
сторону. Из теоремы Пифагора следует, что гипотенуза больше любого из катетов.
Так же верна обратная теорема Пифагора: «Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный»
Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются
целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками. Треугольник со сторонами 3, 4, 5 называют египетским треугольником.
Проверяем себя
Вопрос 1. Закончите предложения:
а) В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна…
б) Из теоремы Пифагора следует, что гипотенуза больше…
Вопрос 2. Из теоремы Пифагора следует, что гипотенуза:
1) Равна сумме катетов
2) Равна сумме квадратов катетов
3) Больше катета
4) Меньше катета
5) Равна квадрату суммы катетов
Вопрос 3. Выберете неверные утверждение:
1) Если две стороны одного прямоугольного треугольника равны двум
сторонам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
2) Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника равны
катету и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
3) Если гипотенуза и два угла одного прямоугольного треугольника
равны гипотенузе и двум углам другого прямоугольного треугольника, то такие
треугольники равны.
4) Если сторона и два угла одного прямоугольного треугольника равны
стороне и двум углам второго прямоугольного треугольника, то такие
треугольники равны.
5) Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов
двух других сторон, то треугольник прямоугольный.
Решаем задачи
1. Стороны тупоугольного треугольника равны 29, 25 и 6. Найдите
высоту треугольника, проведенную к меньшей стороне.
2. Стороны треугольника равны 36, 29 и 25. Найдите высоту
треугольника, проведенную к большей стороне.
Тема 5. Взаимное расположение прямых и окружностей.
Учащиеся должны знать и уметь:
владеть понятиями, относящимися к окружности и кругу и различать их элементы;
Уметь решать задачи, связанные с окружностью и её свойствами; изображать различные случаи взаимного расположения двух окружностей; строить касательную к окружности; решать задачи, пользуясь свойствами касательной к окружности;
Методы обучения: объяснение, решение задач используя ранее полученные знания.
Содержание работы. Учащиеся строят окружность и касательную к окружности, отвечают на вопросы, решают задачи.
Касательная и секущая к окружности.
Повторяем теорию.
Окружность – это множество точек плоскости, расположенных на одинаковом расстоянии от данной точки (центра).
Радиус – это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности.
Два радиуса, лежащие на одной прямой, образуют диаметр.
Хорда – это отрезок, соединяющий две точки окружности.
Диаметр – хорда, проходящая через центр окружности
О – центр
|
|
ОА, ОВ, ОС - радиусы
ВС – диаметр
МК, ВС – хорды
Касательная – это прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.
Секущая – это прямая, имеющая с окружностью две общие точки.
|
|
МК – касательная
ВС – секущая
Утверждения о касательных и секущих
1. Расстояние от центра окружности до касательной равно радиусу.
2. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
|
|
Окружность с центром О,
М – точка касания, следовательно,
ОМ=R, ОМ ⊥ МК.
3. Если прямая перпендикулярна радиусу и проходит через конец этого
радиуса, лежащий на окружности, то она является касательной.
(признак касательной).
Окружность с центром О, ОМ – радиус, МК ⊥ ОМ, следовательно, МК
– касательная.
4. Расстояние от центра окружности до секущей меньше радиуса.
|
|
Окружность с центром О, R- радиус, АВ –
секущая, О Н ⊥ АВ, следовательно, ОН<R.
5. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то
эта прямая – секущая. Если расстояние больше радиуса, то эта прямая
не имеет с окружностью общих точек.
6. Отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны и
составляют равные углы с прямой, проходящей через центр
|
|
окружности и эту общую точку.
Окружность с центром О, МР и
МК – касательные, К и Р точки
касания, следовательно,
МР=МК, ∠1 = ∠ 2,
ОР2 + РМ2 = ОМ2
7. Если касательная пересекается с секущей, то квадрат отрезка
касательной равен произведению расстояний от общей точки до точек
пересечения секущей с окружностью.
|
|
Окружность с центром О,
МК – секущая,
МР – касательная,
Р – точка касания, следовательно,
МР2 = МК • МК1.
8. (дополнительно) Произведение всей секущей на ее внешнюю часть для данной точки и данной окружности постоянно.
|
|
Секущие МР и МК,
следовательно,
МР • МР1 = МК • МК1.
Проверяем себя.
Вопрос 1. Вставьте пропущенное слово:
а) Отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо точкой окружности, называется ____________________ окружности.
б) Хорда, проходящая через центр окружности, называется _______________.
в) Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется _____________.
г) Центр окружности является _________________ любого диаметра.
Вопрос 2. Выберите верное утверждение
Касательной к окружности называется:
а) Прямая, которая пересекает окружность.
б) Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.
в) Прямая, имеющая с окружностью общие точки.
г) Отрезок, имеющий с окружностью только одну общую точку.
Вопрос 3. Выберите верное утверждение
Признак касательной к окружности гласит:
а) Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания
б) Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, то
она является касательной.
в) Если прямая имеет с окружностью общие точки, то она является касательной.
г) Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и
перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной.
Решаем задачи.
1. Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB=12, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 8 и 6.
2. Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB=30, CD=40, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 20.
3. Через точку A, находящуюся вне окружности на расстоянии, 7 от её
центра, проведена прямая, пересекающая окружность в точках B и C.
Найдите радиус окружности, если известно, что AB = 3, BC = 5.
Тема 6. Вписанные и описанные окружности
Учащиеся должны знать и уметь:
владеть первоначальными сведениями о вписанных в многоугольник и описанных около него окружностях.
Уметь находить на чертеже и изображать центральные и вписанные в окружность углы; находить площадь вписанной (описанной) фигуры.
Методы обучения: объяснение, решение задач, ответы на вопросы.
Содержание работы. Учащиеся строят окружность с вписанными описанными фигурами, отвечают на вопросы, решают задачи.
Повторяем теорию.
Окружность называется вписанной (в угол, в треугольник), если она касается всех его сторон.
В этом случае треугольник называется описанным около окружности.
Свойства
1. Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе угла.
|
|
Окружность с центром О вписана
в угол ВАС, следовательно. ∠ВАО = ∠САО.
2. В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.
3. Центром вписанной окружности треугольника является точка
пересечения его биссектрис.
|
|
В △ АВС О – центр вписанной окружности,
следовательно,
ВО, СО, АО – биссектрисы углов △ АВС.
4. Радиус вписанной окружности
равностороннего треугольника равен одной
|
|
трети его биссектрисы (она же является
медианой и высотой равностороннего
треугольника). △ АВС – равносторонний,
BH– биссектриса, высота, медиана
O – центр вписанной окружности,
r– радиус вписанной окружности,
𝑟 =1/3𝐵𝐻
Если сторона треугольника равна а, то 𝒓 =𝒂:(𝟐√𝟑)
5. Площадь S треугольника равна произведению полупериметра p этого
треугольника на радиус r вписанной окружности этого треугольника:
𝑆 = 𝑝𝑟
|
|
6. Если треугольник прямоугольный, то
𝒓 =(𝒂+𝒃−𝒄):2
Решим задачу.
Найдите периметр прямоугольного треугольника, если радиус вписанной окружности 2 см, а гипотенуза 13 см.
Описанная около треугольника окружность.
Повторяем теорию.
Окружность называется описанной около треугольника, если все вершины
треугольника лежат на окружности.
В этом случае треугольник называется вписанным в окружность.
Свойства.
|
|
а) Около любого треугольника можно описать
окружность и притом только одну.
б) Центром описанной около треугольника
окружности является точка пересечения
серединных перпендикуляров к его сторонам.
△ АВС, О – центр описанной окружности
в) Радиус описанной окружности
равностороннего треугольника равен двум
|
|
третям его высоты (она же является медианой
и биссектрисой равностороннего
треугольника).
△ АВС – равносторонний,
ВН – биссектриса, высота, медиана,
О – центр описанной окружности,
𝑅 – радиус вписанной окружности 𝑅 =2/3ВН
|
|
г) Центром описанной окружности прямоугольного треугольника является середина его гипотенузы, а радиус окружности равен половине гипотенузы.
△ АВС – прямоугольный,
∠С – прямой,
О – центр описанной окружности,
𝑅 – радиус вписанной окружности 𝑅 =1/2АВ
д) Площадь S треугольника может быть найдена по формуле
𝑆 =𝑎𝑏𝑐:4𝑅
где a, b, c – длины сторон треугольника, R – радиус описанной окружности треугольника.
Решаем задачи.
1. Длина стороны BC треугольника ABC равна 12 см. Около треугольника
описана окружность радиуса 10 см. Найдите длины сторон AB и AC
треугольника, если известно, что радиус OA окружности делит сторону
BC на два равных отрезка.
2. Точка Н является основанием высоты ВН, проведенной из вершины
прямого угла В прямоугольного треугольника АВС. Окружность с
диаметром ВН пересекает стороны АВ и СВ в точках Р и К
соответственно. Найдите ВН, если РК = 13.
3. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2
см, а радиус окружности, проходящей через все вершины треугольника,
равен 5 см. Найдите больший катет треугольника.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 671 639 материалов в базе
«Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Больше материалов по этому УМК
Настоящий материал опубликован пользователем Новикова Людмила Анатольевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.