Интегрированный урок математики и информатики "Число Пи" (10 класс)

• 1 слайд

  Что я знаю о кругах?
  Перельман Я.И.
  Конина Н.Л, учитель информатики
  

• 2 слайд

       - это математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра
  l = 2R = D
  
     
  Его обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια — окружность, периферия и περίμετρος — периметр.
  

• 3 слайд

      площадь круга
  Формулы, в которых встречается число 
      площадь поверхности шара
      объем шара
      площадь боковой поверхности конуса
      1/3R2H
      R2
      4R2
      4/3R3
      объем конуса
      RL
  

• 4 слайд

      визуальный период
  История вычисления числа 
      геометрический период
     классический (математический) период
      компьютерный период
  

• 5 слайд

      Клинописные таблички Древнего Междуречья:
  окружность ровно в три раза длиннее диаметра.
  визуальный период
     Текст Библии: «И сделал литое из меди море, - от края его до края его десять локтей, - совсем круглое… и снурок в тридцать локтей обнимал его кругом».
  

• 6 слайд

      Длина окружности вычисляется как предел, находящийся между периметрами вписанного и описанного многоугольника. Первым это сделал Архимед в сочинении «Измерение круга» .
  геометрический период
     Рассматривая правильный 96-угольник, Архимед получил оценку 3+10/71 <  < 3+1/7, то есть 3,1408 <  < 3.1428.
  Значение 3 1/7 до сих пор считается хорошим приближением числа  для прикладных задач.
  В том же сочинении, последовательно удваивая число сторон квадрата, Архимед нашел формулу площади круга. Позднее он дополнил ее также формулами площади сферы и объема шара.
  

• 7 слайд

      С развитием математического анализа его методы начали применяться и для числа . В этом принимали участие почти все известные математики. Они получали различные выражения для  в виде бесконечного произведения, суммы ряда, бесконечной дроби.
  классический (математический) период
     Французский математик Франсуа Виет, 1593
  Некоторые примеры
  =
  
     Российский и швейцарский ученый Леонард Эйлер, 1735
  

• 8 слайд

  классический (математический) период
     Английский математик Джон Валлис, 1655
     Немецкий ученый Готфрид Лейбниц, 1674
     Однако этот ряд сходится очень медленно. Чтобы вычислить  до 10 знаков, потребовалось бы, как показал Ньютон, найти сумму 5 млрд чисел и затратить на это около тысячи лет непрерывной работы (ЭВМ справится гораздо быстрее!).
  

• 9 слайд

      1949 год. Джон фон Нейман и другие использовали ЭНИАК для вычисления 2037 цифр , которое заняло 70 часов.
  1973 год. Вычислено 1 000 000 знаков после запятой.
  
  Сейчас, с использованием компьютерной техники получено двести миллиардов знаков после запятой (средний размер файла около 57 мегабайт).
  
   ≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884…
  компьютерный период
  

• 10 слайд

      Неофициальный праздник «День числа пи» отмечается 14 марта, которое в американском формате дат (месяц/день) записывается как 3.14, что соответствует приближённому значению числа π.
  
  В Сиэтле, на ступенях перед зданием Музея искусств, установлен памятник числу «пи».
  
  Существует художественный фильм, названный в честь числа Пи.
  Интересные факты из жизни числа Пи
  

• 11 слайд

      Чтобы нам не ошибаться,
  Надо правильно прочесть:
  Три, четырнадцать, пятнадцать,
  Девяносто два и шесть.
  С. Бобров. Волшебный двурог
  Стихи и поговорки для запоминания знаков числа 
     «Что я знаю о кругах?» (  3,1416) (Автор – известный популизатор науки Яков Исидорович Перельман)
     «Вот и знаю я число, именуемую Пи. – Молодец!» (  3,1415927)
  

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ГИМНАЗИЯ СЕЛА МЕСЯГУТОВО

МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА ДУВАНСКИЙ РАЙОН

РЕСПУБЛИКИ БАШКОРТОСТАН

Интегрированный урок математики и информатики

«Вычисление значения p»

                                                                                     Разработал:

                                                                                     преподаватель информатики

                                                                                     Конина Н.Л.

2018

Что я знаю о кругах?

Перельман Я.И.

Цели урока:

1.     Воспитательная — развитие познавательного интереса, логического мышления.

2.     Учебная — закрепления правил вычисления определенного интеграла различными методами;

3.     Развивающая — развитие алгоритмического мышления, памяти, внимательности.

Задачи урока:

1.     Продолжить формирование общеучебные и общекультурных навыков работы с информацией.

2.     Способствовать развитию теоретического, творческого мышления учащихся.

3.     Добиться обобщения и закрепления знаний о значении числа p.

4.     Закрепить умение учащихся использовать информационные технологии и программирование при вычислении определенного интеграла методом трапеций, методом Монте-Карло, методом ряда Тейлора.

5.     Активизировать познавательную деятельность учащихся.

Ход урока.

1. Актуализация знаний.

Ребята, посмотрите на эпиграф нашего занятия и определите, вычислению какого числа оно посвящено. – Это число p.

2. Повторение и обобщение предыдущих знаний.

1) Что такое число p?  Это математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра (l = 2pR = pD).

                         

Его обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια — окружность, периферия и περίμετρος — периметр. Впервые обозначение p использовал в 1706 году английский математик У.Джонс, но общепринятым оно стало после того, как его (начиная с 1736 года) стал систематически употреблять Леонард Эйлер.

Вспомните, в каких еще формулах встречается это число.

pR² – площадь круга;

4pR² – площадь поверхности шара;

4/3pR³ – объем шара;

pRL – площадь боковой поверхности конуса;

1/3pR²H – объем конуса.

Как видим, во всех вычислениях, связанных с телами, в которых присутствует круг, присутствует и число p.

Чему оно равно? – Приблизительно 3,14. Как это можно вычислить?

История числа π шла параллельно с развитием всей математики. Можно разделить весь процесс на 3 периода: древний период, в течение которого π изучалось с позиции геометрии, классическая эра, последовавшая за развитием математического анализа в Европе в XVII веке, и эра цифровых компьютеров.

В глубокой древности считалось, что окружность ровно в три раза длиннее диаметра. Эти сведения содержатся в клинописных табличках Древнего Междуречья. Такое же значение можно извлечь из текста Библии: «И сделал литое из меди море, - от края его до края его десять локтей, - совсем круглое… и снурок в тридцать локтей обнимал его кругом».

В сочинении «Измерение круга» Архимед, возможно, первым предложил математический способ вычисления π. Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. Принимая диаметр окружности за единицу, Архимед рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю оценку. Зная периметр правильного шестиугольника и последовательно удваивая число его сторон, Архимед вычислил периметр правильного 96-угольника, откуда и получил оценку

                                 , то есть 3,1408 <  π < 3.1428.

                            

Значение 3 1/7 до сих пор считается хорошим приближением числа π для прикладных задач.

В том же сочинении, последовательно удваивая число сторон квадрата, Архимед нашел формулу площади круга. Позднее он дополнил ее также формулами площади сферы и объема шара.

Индийцы и арабы полагали, что π = Ö10.

С развитием математического анализа его методы начали применяться и для числа π. В этом принимали участие почти все известные математики: Ф. Виет, Х.Гюйгенс, Дж. Валлис, Г. В. Лейбниц, Л.Эйлер. они получали различные выражения для π в виде бесконечного произведения, суммы ряда, бесконечной дроби.

Например, Лейбниц установил следующую формулу (1674):

Однако этот ряд сходится очень медленно. Чтобы вычислить π до 10 знаков, потребовалось бы, как показал Ньютон, найти сумму 5 млрд чисел и затратить на это около тысячи лет непрерывной работы (ЭВМ справится гораздо быстрее!).

Другие формулы:

  - Ф.Виет, 1593

 - Дж. Валлис, 1655

  =  - Л. Эйлер, 1735.

Эпоха цифровой техники в XX веке привела к увеличению скорости появления вычислительных рекордов. Джон фон Нейман и другие использовали в 1949 году ЭНИАК для вычисления 2037 цифр π, которое заняло 70 часов. Ещё одна тысяча цифр была получена в последующие десятилетия, а отметка в миллион была пройдена в 1973 году. Такой прогресс имел место не только благодаря более быстрому аппаратному обеспечению, но и благодаря алгоритмам.

В начале XX века индийский математик Сриниваса Рамануджан обнаружил множество новых формул для π, некоторые из которых стали знаменитыми из-за своей элегантности и математической глубины. Одна из этих формул — это ряд

                          

Сейчас, с использованием компьютерной техники получено двести миллиардов знаков после запятой (средний размер файла около 57 мегабайт).

π ≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884…

Запомнить три первые цифры числа совсем несложно. А для запоминания большего числа знаков существуют забавные поговорки и стихи. Например, такие:

Чтобы нам не ошибаться,

Надо правильно прочесть:

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девяносто два и шесть.

Надо только постараться

И запомнить всё как есть:

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девяносто два и шесть.

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девять, два, шесть, пять, три, пять.

Чтоб наукой заниматься,

Это каждый должен знать.

Можно просто постараться

И почаще повторять:

«Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девять, двадцать шесть и пять».

              (С. Бобров. Волшебный двурог)

В следующих фразах знаки числа p можно определить по количеству букв в каждом слове:

«Что я знаю о кругах?» (p @ 3,1416) (Автор – известный популизатор науки Яков Исидорович Перельман);

«Вот и знаю я число, именуемое Пи. – Молодец!» (p @ 3,1415927);

«Это я знаю и помню прекрасно:

Пи многие знаки мне лишни, напрасны.

Доверимся знаньям громадным

Тех, пи кто сосчитал, цифр армаду.».

Интересные факты из жизни числа Пи:

§  Неофициальный праздник «День числа пи» отмечается 14 марта, которое в американском формате дат (месяц/день) записывается как 3.14, что соответствует приближённому значению числа π.

§  В Сиэтле, на ступенях перед зданием Музея искусств, установлен памятник числу «пи».

             

§  Существует художественный фильм, названный в честь числа Пи.

3. Вычисление значения π методами численного интегрирования.

Численные методы – один из разделов информатики. Численные методы используются при решении сложных вычислительных задач, возникающих при исследовании физических и технических проблем, таких как интегрирование, решение дифференциальных уравнений, решение систем линейных уравнений и т. д.

Можно ли применить численные методы для вычисления значения числа π?

Геометрический смысл определенного интеграла – площадь поверхности, ограниченной графиком подынтегральной функции, осью Ох и прямыми, параллельными оси Оу. Число π участвует в формуле вычисления площади круга. Следовательно, вычисляя площадь круга или его часть, можно определить и значение π. Рассмотрим окружность радиусом 1 и с центром в начале координат.

                          

Уравнение графика окружности (полуокружности) –  . Площадь четверти круга равна  . Вспомним формулу площади круга: pR². Следовательно, получаем равенство pR² = 4. И так как R=1 окончательно получаем:  p = 4.

Вычислить определенный интеграл можно различными методами: методом трапеций, методом Симпсона, методом Монте-Карло.

1) Метод трапеций с использованием средств Excel.

Название метода связано с тем, что интеграл по отрезку  заменяется площадью трапеции с основаниями, равными значениям функции  на краях отрезка, и высотой, равной  h_i.

Площадь трапеции, очевидно, равна . Если h_i – постоянная величина для всех отрезков, равная h = (b-a)/n, где n – количество отрезков, то формула трапеций принимает вид

Вычисление по этой формуле можно легко организовать средствами Excel:

-       в столбце A расположить значение аргумента x_i с шагом 0,1;

-       в столбце B – только два значения функции: для первой и последней точки (формула =КОРЕНЬ(1-А2*А2)/2  );

-       в столбце С – остальные значения функции (формула =КОРЕНЬ(1-А2*А2)  );

-       в нижней строке столбцов В и С – суммы значений этих столбцов, вычисленные с использованием команды Автосумма;

-       если полученные суммы обозначить S₁ и S₂ , то значение p вычисляется по формуле p ≈ 4*0,1*( S₁ + S₂).

x	yi/2	Yi
0	0,5
0,1		0,994987
0,2		0,979796
0,3		0,953939		p =	3,104518
0,4		0,916515
0,5		0,866025
0,6		0,800000
0,7		0,714143
0,8		0,600000
0,9		0,435890
1	0
Суммы	0,5	7,261296

Можно увидеть, что значение получается не очень точное. Точность вычисления зависит от количества отрезков: чем больше отрезков (следовательно, чем меньше длина отрезков), тем выше точность.

2) Метод Монте-Карло.

Это фактически метод статистических испытаний. Свое экзотическое название он получил от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своими игорными домами. Одним из простейших приборов, генерирующие случайные числа, может служить рулетка. Но можно получить случайные числа и при помощи дождя. Представим, что у нас есть квадратный кусок картона, в который вписана четверть круга. Если такой чертеж некоторое время подержать под дождем, то на его поверхности останутся следы капель. При подсчете числа следов на картоне и внутри четверти круга, очевидно, что их отношение будет приблизительно равно отношению площадей этих фигур, так как попадание капель в различные места чертежа равновероятно. Пусть Nkr – число капель в круге, Nkv – число капель в квадрате, Skr и Skv – площади четверти круга и квадрата соответственно. Тогда

Skr = pR² /4= p/4;    Skv = 1;    Skr/Skv = p/4;    Skr/Skv = Nkr/Nkv . Следовательно, p = 4*Nkr/Nkv .

Дождь можно заменить генератором случайных чисел, который присутствует практически во всех языках программирования. Например, в языке Паскаль есть функция random, которая возвращает случайное число в промежутке [0,1). Задавая разное количество точек–«капель», можно получать значение с различной степенью точности. Программа реализует описанный метод:

Program M_K;

uses crt;

var x,y,S,pi:real; i,n,m:integer;

begin

clrscr;

readln(n);

m:=0;

For i:=1 to n do

  begin

  x:=random;

y:=random;

  If x*x+y*y<1 then m:=m=1

  end;

S:=n/m;

pi:=4*S;

write(pi:8:6);

repeat until keypressed

end.

3) Метод Тейлора.

Ряд Тейлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки a. Формальный ряд

 называется рядом Тейлора функции f в точке a.

Рассмотрим функцию f(x) = arctg(x) при -1 <= x <= 1  и а=0. Тогда

                           

Если х=1, arctg(1)=p/4 и, значит,

                        

Получили формулу Лейбница для вычисления числа p.

Вычисления с помощью этого ряда будут тем точнее, чем больше членов ряда будет задействовано. Данный способ можно реализовать с помощью следующей программы:

Program Teilor;

uses crt;

var a,S,pi:real; i,k,n:integer;

begin

clrscr;

readln(n);

S:=0; k:=1;

For i:=1 to n do

  begin

  a:=k/(2*i-1);

S:=S+a;

k:=k*(-1)

  end;

pi:=4*S;

write(pi:8:6);

repeat until keypressed

end.

4. Лабораторная работа «Парный биатлон».

Задание: работая в парах, пройти как можно больше этапов – методов вычисления числа Пи и поразить при этом как можно больше мишеней.

Этап № 1. Метод трапеций.

Мишени:

-       Вычислить число Пи средствами Excel (6 знаков после запятой).

-       Оформить отчет (постановка задачи, геометрическая модель, математическая модель, расчеты).

-       Записать ответ.

Этап № 2. Метод Монте-Карло.

Мишени:

-         Вычислить число Пи с помощью программы на языке Паскаль.

-         Оформить отчет (блок-схема, текст программы, ответ при n=100, 1000, 10000).

-         Записать ответы с учетом верных цифр.

Этап № 3. Метод Тейлора.

Мишени:

-         Вычислить число Пи с помощью программы на языке Паскаль.

-         Оформить отчет (блок-схема, текст программы, ответ при n=100, 1000, 10000).

-         Записать ответы с учетом верных цифр.

5. Подведение итогов урока.

6. Домашнее задание.

Уровень знания: повторить основные понятия, связанные с использованными методами.

Уровень понимания: составить программу для вычисления числа Пи, используя формулу Эйлера.

Использованная литература

1.     Поляков К. Ю. Информатика. Углубленный уровень: учебник для 10 класса: в 2 ч. Ч. 2 / К.Ю. Поляков, Е.А. Еремин. – 5-е изд. – М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2016. – 304с.

2.     Маликов Р.Ф., Сулейманов Р.Р. Информатика занимательная и не только…,: Книга для учителей и студентов. – Уфа: БашГУ. – 2001. -110 с..

3.     Энциклопедия для детей. [Том 11.] математика. / ред. коллегия: М. Аксенова, В. Володин, М. Самсонов. – М.: Мир энциклопедий Аванта+, Астрель, - 2007. – 621 с..

4.     Википедия. http://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_Тейлора

5.     Википедия. http://ru.wikipedia.org/wiki/Pi