Исследовательская работа по математике обучающейся 11 класса Петряевой Марии на тему "Матрицы. Решение систем линейных уравнений"

Научно - практическая конференция «Первые шаги в науку»

Направление: математика

Название работы: Матрицы. Решение систем линейных уравнений

Автор работы: Петряева Мария Савровна

Место выполнения работы: РК, Яшалтинский р-н, с. Яшалта, МКОУ «Яшалтинская СОШ имени В. А. Панченко» Руководитель : Точка И. Г. , учитель математики.

2019 г

Содержание.

Введение_____________________________________________________ 3

Глава 1. Матрицы. Действия с матрицами ____________________________ 5

1. 1. Основные сведения о матрицах_______________________________ 5

1.2 Операции над матрицами_______________________________ ______ 6

Глава 2. Определители. Метод Крамера. Решение систем линейных уравнений.______________________________________________________ 7

2.1 Определители. Способы вычисления определителей. ___________ ____7

2.2 Решение систем линейных уравнений методом Крамера._____________ 9

Глава 3. Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы._______________________________________10

Глава 4. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.____________11

4.1 Ранг матрицы и его вычисление__________________________________11

4.2 Теорема Кронекера-Капелли.____________________________________12

4.3 Метод Гаусса__________________________________________________13

Глава 5 . Практикум по решению систем линейных уравнений различными способами. Применение матричного исчисления для решения экономических задач ________________________________________________________14

Заключение__________________________________________________ 27

Список литературы ___________________________________________ 29

Приложение _________________________________________________ 30

Введение

Обоснование выбора темы: Посмотрев фильм 2017 года «Матрица времени», я поняла, что слышу понятие матрицы довольно часто, но не знаю, что оно означает. И вот у меня возник вопрос: «Что такое матрица?». Поискав нужное определение в интернете, я узнала, что это математическое понятие, и меня это очень порадовало, потому что математика была всегда интересна мне. Изучив это понятие глубже, я увидела некую связь с темой «Массивы» в информатике, а также выяснила, что с помощью матриц можно решать системы линейных уравнений с произвольным количеством переменных и уравнений. В школьном курсе мы изучали способы решения систем уравнений: способ подстановки, сложения, графический. При этом разбирали системы с двумя неизвестными. Теперь в задачнике встретились системы с тремя неизвестными, т.е. они стали сложнее, поэтому возникла проблема, найти для себя способ решения систем удобный, короткий, универсальный. Кроме того, я нашла непосредственно примеры применения линейной алгебры при решении экономических задач.

Поэтому мой интерес к матрицам усилился. Именно поэтому я решила более детально изучить тему, которая затрагивает два моих любимых предмета: математику и информатику.

Цели и задачи исследования:

1. Познакомиться с понятием «Матрица».

2. Изучить возможные операции над матрицами.

3. Научиться решать системы линейных уравнений разными способами.

4 . Рассмотреть применение матриц в жизни человека.

Новизна исследования: написание программы на языке программирования Pascal для решения систем линейных уравнений.

Практическая значимость: полученные мною знания пригодятся мне в дальнейшем изучении математики, так как я планирую продолжить обучение в ВУЗе, где математика будет ведущим предметом. Также подобранный мною материал пригодится ученикам и учителям для расширения математического кругозора школьников.

Гипотеза: возможно ли ученикам средней школы воспринять материал, который студенты изучают на первом курсе университетов.

Актуальность: Сегодня  любому  квалифицированному  экономисту, финансисту, логисту, статисту   просто  необходима  мощная  математическая  база.  Для  них,  одним  из  главных  предметов  в  высшей  математике  является  линейная  алгебра,  а  именно  матричная  алгебра.  Именно она является   наиболее  компактной и  удобной для  решения  многих  поставленных  задач. Матричные  методы  все  чаще  применяются  на  практике:  различные  виды  статистических  расчётов,  сокращение  документооборота,  организация  внутри  производства  хозяйственных  расчётов  и  экономико-математического  анализа.  Поэтому, выполнив свою работу, я получу полезные знания, которые, уверенна, пригодятся мне в будущем.

Объект исследования: матрицы

Предмет исследования: способы решения систем линейных уравнений.

Методы исследования: анализ, синтез, сравнение.

ГЛАВА 1.МАТРИЦЫ. ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ
1.1. Основные сведения о матрицах.

Матрицей размерности m×n называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы, содержащей m строк и n столбцов:

, (1)

где a_ij∈ R (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n).
Числа ij a называются элементами матрицы. Индекс i– номер строки (он всегда стоит на первом месте), j– номер столбца. 
Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита, в сокращённой записи: 
A= (a_ij); i =1, 2, …, m; j =1, 2, …, n. Например:A_2×3=

Если матрица состоит из одной строки, то она называется матрицей–строкой размерности 1×n: 

A = (a₁₁ a₁₂ ... a_1n).

Если матрица состоит из одного столбца, то она называется матрицей–столбцом размерности m×1: 

а₁₁

A= а₂₁

…

а_m1

При n=m матрица (1) называется квадратной матрицей n–го порядка.

a₁₁ a₁₂ a₁₃
Например:  A= a₂₁ a₂₂ a₂₃ – квадратная матрица третьего порядка.
a₃₁ a₃₂ a₃₃

Элементы матрицы ij a , у которых номер строки равен номеру
столбца (i=j), называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы.
Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной. 
Если у диагональной матрицы n–го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей n–го порядка, она обозначается E.

Например: E= . 

Матрица любого размера называется нулевой, или нуль–матрицей, если все её элементы равны нулю: O= .

1.2. Операции над матрицами

Над матрицами, как и над числами, можно производить ряд операций, причём некоторые из них аналогичны операциям над числами, а некоторые специфические. 

1. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А на
число λ (l∈ R) называется матрица B = λ ⋅ A с элементами b_ij = λ ⋅ a_ij для i =1,2, ... m,;

j =1,2,... n, (размерности матриц А и В одинаковые). 
Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно
выносить за знак матрицы. 
Матрица (–1)⋅А называется противоположной матрице А и обозначается –А.

2. Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинаковой размерности m×n называется матрица С=А+В размерности m×n, элементы которой определяются равенствами c_ij = a_ij + b_ij для всех значений индексов i и j (т.е. две матрицы складываются поэлементно). В
частном случае A = A + 0 , где 0– нулевая матрица.

3. Вычитание матриц. Разностью двух матриц А и В одинаковой размерности m×n называется матрица С=А+(–1)⋅В той же размерности, если для всех значений индексов i, j выполнены равенства c_ij = a_ij –b_ij , (т.е. две матрицы вычитаются поэлементно). 

4. Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц A ⋅ B называется такая m×k k×n матрица C_m×n , каждый элемент которой равен сумме произведений соответствующих элементов i–й строки первой матрицы на элементы j–го столбца второй матрицы: c_ij=a_i1⋅ b_1j+ a_i2⋅ b_2j+...+ a_ik⋅ b_kj, где i =1, 2, …, m; j =1, 2, …, n. 
5. Транспонирование матриц. Транспонирование – переход от матрицы А к матрице A^T , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица A^T называется транспонированной относительно матрицы А. 

ГЛАВА 2.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МЕТОД КРАМЕРА. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

2.1 Определители. Способы вычисления определителей.

Определителем матрицы первого порядка А= (а_ij) называется элемент а₁₁.

Обозначают определитель матрицы А как : Δ, det, │А│.

Определителем матрицы второго порядка А=( а_ij) называется число , которое вычисляется по формуле:

Δ= = .

Определителем матрицы третьего порядка А= (а_ij) называется число, которое вычисляют по формуле:

a₁₁ a₁₂ a₁₃

Δ= a₂₁ a₂₂ a_{23 =}+ +- ( ++)

a₃₁ a₃₂ a₃₃

Знаки, с которыми члены определителя входят в формулу легко запомнить, пользуясь схемой ,которой называется «правилом треугольников».

Свойства определителей:

1. Определитель не изменится , если строки определителя заменить столбцами, а столбцы- соответствующими строками.

2. Общий множитель всех элементов какой-нибудь строки (или столбца) можно выносить за знак определителя

3. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами ) равен нулю.

4. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет свой знак на противоположный.

5. Определитель с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

6. Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

Определителем квадратной матрицы n-го порядка называется число, равное алгебраической сумме n! Членов, каждый из которых является произведением n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и и каждого столбца.

На практике расчет определителей n-го порядка удобнее вести с помощью разложения по элементам строки или столбца. Для использования этого метода введем определения минора и алгебраического дополнения.

Минором М_ij элемента a_ij матрицы n –порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием i-строки и j-го столбца. Каждая матрица n-го порядка имеет n² миноров (n-1)-го порядка.

Алгебраическим дополнением А_ij элемента a_ij матрицы n –порядка называется соответствующий этому элементу минор, умноженный на

(-1)^i+j , т. е. А_ij= (-1)^i+j М_ij

Теорема разложения. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки или любого столбца на соответствующее им алгебраическое дополнения.

2.2 Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

С помощью определителей очень удобно записывать решение СЛУ. Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Обозначим Δ –определитель , составленный из коэффициентов при неизвестных, такой определитель называется главным определителем системы.

Если Δǂ 0, система имеет единственное решение, которое определяется по формулам:

х₁= ; х₂= ; х₃=, (*)

b₁ a₁₂ a₁₃ a₁₁ b₁ a₁₃ a₁₁ a₁₂ b₁

где Δ₁= b₂ a₂₂ a_{23 ,} Δ ₂= a₂₁ b₂ a_{23 ,} Δ ₃= a₂₁ a₂₂ b_{2 ,}

b₃ a₃₂ a₃₃ a₃₁ b₃ a₃₃ a₃₁ a₃₂ b₃

т. е. определители Δ ₁, Δ₂, Δ₃ получаются из определителя Δ путем замены его первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов.

Формулы (*) называются формулами Крамера.

Эти же формулы обобщаются и на систему n линейных уравнений с n неизвестными.

ГЛАВА 3. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.

Пусть матрица А невырожденная матрица, т. е. ее определитель не равен нулю. Матрица А^-1 , удовлетворяющая условию: А*А^-1= Е, называется обратной матрицей.

Формула расчета обратной матрицы имеет вид:

А₁₁ А_{12 …} А_n1
А^-1= A₂₁ A_{22 …} A_n2 , где Δ – определитель матрицы А,

_{………………………} А_ij- алгебраическое дополнение к элементу а_ij.

A_n1 A _n2 … A _nn

С помощью обратной матрицы можно находить решения СЛУ.

Пусть требуется решить систему из n линейных уравнений с n неизвестными:

Введем обозначение матриц:

a₁₁ a_{12 …} a_1n х₁ b₁

А = a₂₁ a_{22 ….} a_{2n ,} Х= х₂ , B = b₂

A_n1 a_{n2 ….} a_nn х_n b_n

Найдем решение системы уравнений в матричной форме: используя правило умножения матриц и условие равенства матриц, систему уравнений можно представить в виде:

А*Х=В

А^-1*А*Х=А^-1*В

Е*Х= А^-1*В

Х= А^-1*В.

Таким образом, чтобы найти матрицу неизвестных Х, достаточно найти матрицу А^-1 и умножить ее на матрицу свободных членов В.

ГЛАВА4. МЕТОД ГАУССА РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

4.1 Ранг матрицы и его вычисление

В матрице А размера mxn вычеркиванием каких-либо строк или столбцов можно вычленить квадратные матрицы k-го порядка, где k≤ min(m;n). Определители таких подматриц называют минорами k-го порядка матрицы А.

Рангом матрицы А называется наибольший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Ранг матрицы А обозначают rangA или r(A) . Из определения матрицы следует:

А) ранг матрицы А_mxn не превосходит меньшего из ее размеров ;

Б) r(A)=0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю.

В) для квадратной матрицы n-го порядка r(A)= n тогда и только тогда, когда матрица А – невырожденная.

В общем случае определение ранга матрицы перебором всех миноров достаточно трудоемко. Для облегчения этой задачи используются элементарные преобразования матрицы:

1. Вычеркивание нулевой строки (столбца);

2. Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю;

3. Изменение порядка строк (столбцов)

4. Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на число, отличное от нуля;

5. Транспонирование матрицы.

В результате таких преобразований исходную матрицу можно преобразовать в единичную. Число единиц на главной диагонали равно рангу этой матрицы.

4.2 Теорема Кронекера-Капелли.

Нахождение ранга матрицы позволяет упростить решение СЛУ.

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

Cистема уравнений называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Если система не имеет решений, то она называется несовместной.

Система называется определенной, если она имеет только одно решение, и неопределенной если таких решений несколько.

a₁₁ a_{12 …} a_1n a₁₁ a_{12 …} a_1n b₁

Матрицы А = a₂₁ a_{22 ….} a_{2n ,} , B = a₂₁ a_{22 ….} a_2n b₂

_{………………….. …….. ………………..}

a_m1 a_{m2 ….} a_mn a_m1 a_{m2 ….} a_mn b_n

называются соответственно основной матрицей и расширенной матрицей системы уравнений. Очевидно, что rang A≤rangB.

Теорема Кронекера- Капелли: система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы А равен рангу расширенной матрицы В этой системы.

Из теоремы Кронекера- Капелли следует, что :

1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, то система является определенной и имеет единственное решение, т. е.

r(A)= r(В)=n.

2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, то система неопределенная и имеет бесконечное множество решений,

т. е. r(A)= r(В)<n.

3. Если r(A)< r(В) , то система несовместна и решений не имеет.

С помощью элементарных преобразований строк расширенная (и одновременно основная ) матрицы системы могут быть приведены к упрощенной форме.

Для того, чтобы решить систему уравнений , можно придерживаться следующей схемы:

1. Расширенную матрицу системы приводим к упрощенной форме.

2. Проверяем совместность, пользуясь теоремой Кронекера –Капелли.

3. Решаем упрощенную систему уравнений, если она оказалась совместной.

4.3 Метод Гаусса.

Поиск ранга матрицы удобно совместить с решением системы методом Гаусса, который обеспечивает последовательное исключение переменных и заключается в том , что с помощью элементарных преобразований СЛУ приводится к системе ступенчатого вида.

Если система имеет единственное решение, то ступенчатая система уравнений приводится к треугольной, т. е. к такой, в которой последнее уравнение содержит одно неизвестное. Переход системы к равносильной треугольной называют прямым ходом метода Гаусса, а нахождение переменных из треугольной системы- обратным ходом метода Гаусса.

В случае неопределенной системы, допускающей бесконечное множество решений , треугольной системы не получается.

Когда же система несовместна, то после приведения к ступенчатому виду она содержит хотя бы одно уравнение вида 0=1. Такая система не имеет решений.

ГЛАВА 5. ПРАКТИКУМ ПО НАХОЖДЕНИЮ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РАЗНЫМИ СПОСОБАМИ.

№1 Найти матрицу 3·А+4·B-5·E, если А=,В=,Е – единичная матрица.

Решение. Имеем 3·А=, 4·B=, 5·E=.

Найдем 3·А+4·B==.

3·А+4·B-5·E== .

Ответ: 3·А+4·B-5·E=.

№2 Найти матрицу А-2·В^Т·С, если А=, В=, С=.

Решение. Имеем А=, 2·В^Т=.

Произведение матриц 2·В^Т и С возможно, т.к. в матрице 2·В^Т один столбец, а в матрице С одна строка. Матрица 2·В^Т·С будет иметь размер 3×2.

Найдем 2·В^Т·С=.

Найдем А-2·В^Т·С==.

Ответ: А-2·В^Т·С=.

№3 Вычислить матрицу D=(A·B)^T-C², если А=, В=,С=.

Решение. Произведение матриц А и В возможно, т.к. в матрице А три столбца, а в матрице В три строки. Матрица A·B будет иметь размер 2×2.

Найдем A·B==.

Тогда (A·B)^T=

Матрица произведение С² возможно, т.к. в матрице число столбцов равно числу строк. Матрица С² будет иметь размер 2×2.

Найдем С²==.

Найдем D=(A·B)^T-C²=.

Ответ: D=(A·B)^T-C².

№ 4 Найти произведение матриц А·В, В·А, (А+В^Т)·В, если А=,В=.

Решение. Произведение матриц А и В возможно, т.к. в матрице А три столбца, а в матрице В три строки. Матрица A·B будет иметь размер 2×2.

Найдем A·B=.

Произведение матриц В и А возможно, т.к. в матрице В два столбца, а в матрице А две строки. Матрица A·B будет иметь размер 2×3.

Найдем В·А=.

Имеем В^Т=.

Найдем А+В^Т=.

Произведение матриц А+В^Т и В возможно, т.к. в матрице А+В^Т три столбца, а в матрице В три строки. Матрица A·B будет иметь размер 2×2.

Найдем (А+В^Т)·В=.

Ответ: А·B, В·А , (А+В^Т)·В = .

№5 Вычислить определитель .

Решение. Воспользуемся правилом треугольника:

Δ==1-2-4+5=0.

Ответ: 0.

№6 Вычислить определитель .

Решение. Вычислим определитель разложением по первой строке:

Δ=2·(-1)¹⁺¹·+1·(-1)¹⁺²·-1·(-1)¹⁺³·=2·1-1·5-1·(-1)=2-5+1=-2.

Ответ:-2.

№7 Решить неравенство

Решение. Раскроем определитель:2(3х²-7)-12х<4, раскроем скобки: 6х²-14-12х<4, приведем подобные: 6х²-12х-18<0. Разложим квадратный трехчлен на множители:

6(х+1)(х-3)<0.

Решим это неравенство методом интервалов, получим х (-1;3).

Ответ: (-1;3).

№8 Решить уравнение =0.

Решение. Найдем определитель: (х-2)·(-1)·1+х·2·(-2)+3·2·3-(х·(-1)·3+2·3·1+(х-2)·(-2)·2), раскроем скобки:-х+2-4х+18+3х-6+4х-8=0, приведем подобные: 2х+6=0. Решим уравнение: х=-3.

Ответ:-3.

№9 Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера: .

Решение. ==5+21+12+10+6-21=33. Определитель данной системы отличен от нуля, следовательно, она имеет единственное решение. Находим его по формулам Крамера.

_х==20 +7+48+40-84+2=33.

х = = =1.

_y== -1+24+24-2-24+12=33.

y = = =1.

_z==-40+84+4+40-48-7=33.

z = = =1.

Ответ: x=1, y=1, z=1.

№10 Найти обратную матрицу для А=.

Решение. Определитель матрицы А=20.

Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А:

А₁₁=(-1)²·9=9; А₁₂=(-1)³·5=-5;

А₂₁=(-1)³·5=-5; А₂₂=(-1)⁴·3=3;

Матрица , обратная для матрицы А имеет вид:

=·=.

Ответ:.

№11 Найти обратную матрицу для А=.

Решение. Определитель матрицы А=10.

Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А:

А₁₁=(-1)²·=1 А₁₂=(-1)³·=1 А₁₃=(-1)⁴·=2

А₂₁=(-1)³·=1 А₂₂=(-1)⁴·=2 А₂₃=(1)⁵·=3

А₃₁=(-1)⁴·=1 А₃₂=(-1)⁵·=2 А₃₃=(-1)⁶·=4

Следовательно, А^-1=.

Ответ: А^-1=.

№12 С помощью элементарных преобразований вычислить ранг матрицы А=.

Решение. Прибавим к третьему столбцу второй, затем к первому столбцу прибавим удвоенный третий. Вычтем из второго столбца удвоенный третий

А.

Ответ: ранг исходной матрицы равен 3.

№13 Решить систему линейных уравнений методом Гаусса, предварительно исследовав систему с помощью теоремы Кронекера-Капелли..

Решение. Выписав расширенную матрицу этой системы, после элементарных преобразований получим:

откуда rangA=rangB= n =3,следовательно, система совместна и является определенной. Значит система имеет единственное решение. Вернемся к системе уравнений:

Решение этой системы можно получить при использовании обратного хода метода Гаусса. Из последних двух уравнений можно найти y и z: y=11,5; z=10.Подставив их в первое уравнение, найдем х: x=36-10-11,5=14,5.

С помощью программы, которую я создала, найдем решение данной системы линейных уравнений . Вводим коэффициенты перед неизвестными в ABC Pascal

(Приложение таблица 1), получаем серии ответов:

Ответ: x=14,5; y=11,5; z=10.

№14 Решить систему линейных уравнений методом Гаусса, предварительно исследовав систему с помощью теоремы Кронекера-Капелли.

Решение: Выписав расширенную матрицу этой системы, после элементарных преобразований получим:

-4 7 5 -2 -4 7 5 -2 -4 7 5 -2

3 - 1 2 3 0 0

9 8 1 -7 0 - 0 0

5 15 6 -9 0 - 0 0

-1 6 7 1 0 0 0 0 0

-4 7 5 -2

0

0 0 ,

0 0

0 0 0 0

откуда rangA=rangB= n =3,следовательно, система совместна и является определенной. Значит система имеет единственное решение. Вернемся к системе уравнений:

Решение этой системы можно получить при использовании обратного хода метода Гаусса. Из последних двух уравнений можно найти х₂ и х_1.

х₁=

х₂=

х₃=1

Подставив нижнее выражение в верхнее, получим решение

х₁ =0 ; х₂ =-1 ; х₃=1

Также решить данное уравнение можно с помощью составленной программы (Приложение таблица 1). Вводим коэффициенты перед неизвестными в ABC Pascal и получаем серии ответов:

Ответ: х₁ =0 ; х₂ =-1 ; х₃=1

№ 15 Исследовать систему линейных уравнений:

Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

Так как r (A)=r (A B)=24=n, то система совместна и определенна.

Количество главных переменных равно r (А)=2, количество свободных переменных равно n-r (А)=4-2=2.

№16 Исследовать систему линейных уравнений на наличие корней

Приведем к ступенчатому виду расширенную матрицу системы:

Так как r (A)=2≠3=r (B), то система несовместна (не имеет решений). В самом деле, последней строке полученной расширенной матрицы соответствует уравнение 0·х₁+0·х₂+0х₃=-13, не имеющее решение.

5.1ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В ЭКОНОМИКЕ

Рассмотрим задачи, в которых необходимо использовать действия над матрицами или составлять и решать системы линейных алгебраических уравнений.

№1 Обувная фабрика специализируется по выпуску изделий трех видов: сапог, кроссовок и ботинок; при этом используется сырье трех типов:S₁S₂S₃/ нормы расхода каждого их них на одну пару обуви и объем расхода сырья на 1 день заданы таблицей:

Найти ежедневный объем выпуска каждого вида обуви.

Решение: Пусть ежедневно фабрика выпускает х₁ пар сапог, х₂ пар кроссовок и х₃ пар ботинок. Тогда в соответствии с расходом сырья каждого вида имеем систему:

Решая систему любым способом, находим(200,300,200), т.е. фабрика выпускает 200 пар сапог, 300-кроссовок и 200 пар ботинок.

№2 В три магазина завозят два раза в месяц одинаковое количество диванов, кресел, тумбочек. В первый – по 10 диванов, 6 кресел, 8 тумбочек, во второй –по 5 диванов, 7 кресел, 10 тумбочек, в третий – по 2 дивана, 3 кресла и 5 тумбочек. Во всех магазинах устанавливали одинаковые цены и меняли их в связи с завозами. Найдите суммарные месячные выручки, если в магазинах все распродали, и матрица цен выглядит так:

P= (цены указаны в тыс.руб.).

Решение :

Найдем матрицу поступлений товаров:

A= ,

а теперь найдем суммарные выручки:

C= * =

=

№3 Поступление товаров на первый склад описывается матрицей

A₁= , а поступление товаров на второй склад

описывается матрицей

A₂= .

Найдите суммарный завоз товаров на склады; годовой завоз на склады, если по договору, производится ежемесячный завоз одинаковых партий товаров.

Решение:

Найдем суммарный завоз:

A₁+A₂= + = ,

Найдем годовой завоз:

12(A₁+A₂)=12 = .

№4 По заказу с завода в магазин доставили товары, поступление которых описывается матрицей

A₁= ,

но данные товары не пользуются большим спросом. Найдите количество товаров, оставшихся на складе, если количество купленных товаров описывается матрицей

A₂= .

Решение:

Найдем разность этих двух матриц:

A₁- A₂= - =

Заключение.

В процессе моего исследования я научилась самостоятельно решать системы линейных уравнений различными методами: методом Крамера , методом обратной матрицы, методом Гаусса. Кроме этого я познакомилась с удивительным миром линейной алгебры, а именно с ее матричным аппаратом. Научилась совершать операции над матрицами, и это не показалось мне трудным, а наоборот меня это очень увлекло. Также я усовершенствовала специальную программу для решения систем линейных уравнений методом Гаусса на языке ABC Pascal. Мне было очень интересно изучать новый для себя материал и расширять свой математический кругозор. Я выяснила, что обычные простые экономические задачи можно решать новыми, интересными и нестандартными методами. Думаю, в будущем полученные знания не раз еще пригодятся мне.

Проделав свою работу, я пришла к выводу, что данная тема вполне доступна и для детей моего возраста, и что напрасно ее не включили в школьную программу. Я уверена, что тема « Матрицы» заинтересовала бы многих моих сверстников.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Голомазов М.М. Линейная алгебра и аналитическая геометрия– М: 1999.

2. Козак  А.В.,  Пилиди  В.С.  Линейная  алгебра.  М.:  Вузовская  книга,  2005.

3.Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике – М.: 1978.

4. Хоменко А.П. Основы линейной алгебра. Системы линейных уравнений. -И.: 2003

5. Чулков П.В. Уравнения и неравенства в школьном курсе математики-М.: 2006

6. Лунгу К.Н Сборник задач по высшей математики-М.:2006

.

ПРИЛОЖЕНИЕ

АВС Pascal:

a,a1: array[1..10, 1..10] of real;

b,b1: array[1..10] of real;

x: array[1..10] of real;

s, n, m, i, j, k: integer;z, r, g: real;

uses crt;

var

begin

clrscr;

write('Через пробел введите количество уравнений и переменных: ');

readln(m,n);

writeln('Введите коэффициенты перед переменными и свободные члены по строкам');

for i := 1 to m do

begin

for j := 1 to n do

begin

if n>m then s:=m

else s:=n;

write('a[', i, ',', j, ']= ');

readln(a[i, j]);

a1[i,j]:=a[i,j];

end;

Write('b[', i, ']= ');

readln(b[i]);

end;

for k := 1 to s do

begin

for j := k + 1 to s do

begin

r := a[j, k] / a[k, k];

for i := k to s do

begin

a[j, i] := a[j, i] - r * a[k, i];

end;

b[j] := b[j] - r * b[k];

end;

end;

for k := s downto 1 do

begin

r := 0;

for j := k + 1 to s do

begin

g := a[k, j] * x[j];

r := r + g;

end;

x[k] := (b[k] - r) / a[k, k];

end;

writeln('Корни системы:');

for i := 1 to s do

write('x[', i, ']=', x[i]:0:2, ' ');

writeln;

end.

29