Исследовательская работа по математике "Вторая средняя линия трапеции"

Министерство образования Республики Башкортостан

Муниципальное казенное учреждение  Управление образования Администрации муниципального района Белебеевский район Республики Башкортостан

муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа с.Усень-Ивановское муниципального района Белебеевский район Республики Башкортостан

                                                                             452033

                                                                             Республика Башкортостан

                                                                             Белебеевский район

                                                                             с.Усень-Ивановское

                                                                              ул. Комсомольская, д.70        

                                                                              т. 2-73-15

  МАОУ СОШ

                                                                              с.Усень-Ивановское

                                                                              «Интеллект будущего»

                                                                                  Секция: «математика»

  «Нужно ли изучать вторую среднюю линию трапеции?»

                                                               Автор:  Подтеребкова Виктория

                                                               ученица 11 класса,

                                                               Научный руководитель:

                                                               Булатова Флюра Минниахметовна,

                                                               учитель   математики,

                                                               МАОУ СОШ с.Усень-Ивановское.

Белебей

Оглавление

1.      Введение                                                                                        3 стр.

2.      Основная часть

2.1    Определение второй средней линия трапеции                           4 стр.                                                                                                       

2.2    Свойства второй средней линии трапеции                                 5 стр.

2.3   Задачи ОГЭ и ЕГЭ                                                                          8 стр.

2.4   Задачи  составленные мною                                                          9 стр

3. Заключение                                                                                         12 стр.

4. Список  литературы                                                                           13 стр.

Введение.

         На консультации по математике решая вариант ЕГЭ я столкнулась  с  геометрической задачей, которую не могла решить. За помощью обратилась учительнице. Она мне напомнила урок геометрии в 9 классе, когда изучая, тему средняя линия трапеции задали вопрос: а почему у трапеции только отрезок соединяющая середины боковых сторон называется средней линией трапеции, ведь можно так же соединить середины основании трапеции (по аналогии определения средней линии треугольника). Наша учительница сказала, что существует вторая средняя линия трапеции, но данная тема не изучается в школьном курсе.   Но если знать свойства второй средней линии трапеции данная задача ЕГЭ решается очень просто.

            Я заинтересовалась, а что же такое вторая средняя линия трапеции? После окончания школы я собираюсь поступать в ВУЗ, значит, мои знания должны быть шире школьной программы.  Чтобы расширить свои знания по теме трапеция я в интернете, в журналах  и в книгах по математике  стала искать информацию о второй средней линии трапеции.

    Цель работы: исследовать вторую среднюю линию трапеции.

Задачи:

·        Собрать информацию о второй средней линии трапеции.

·        Изучить свойства второй средней линии трапеции.

·        Решить задачи, имеющиеся в литературе, КИМах ОГЭ и ЕГЭ.

·        Составить и решить свои собственные задачи

·        Проанализировать каталог заданий ОГЭ и ЕГЭ

Актуальность темы: все больше и больше геометрических задач встречается в КИМах ОГЭ и  ЕГЭ   по математике в 9 и 11 классах,   материалы данного исследования можно использовать при подготовке к экзаменам.

Много интересного я нашла в статье «Вторая средняя линия трапеции» в журнале  «Математика в школе» № 2, 1993. Автор статьи Кушнир И.А.

2.1 Основная часть

2.1 Определение второй средней линия трапеции.

         Средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Если же соединить отрезком середины оснований, получится вторая средняя линия трапеции. Итак, вторая средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины оснований трапеции.  

                                                       В          Е          С

 

                                   А                          К                     D

                                        ЕК – вторая средняя линия трапеции АВСD

             Как известно, средняя линия трапеции равна полусумме оснований. А есть ли связь между второй средней линией трапеции и её боковыми сторонами? Очевидно, что вторая средняя линия трапеции не равна полусумме боковых сторон, в чём можно убедиться, хотя бы растяжением одного из оснований:  

рис.1                             В         Е         С

 

              N              А                 К                   D                     M

сумма боковых сторон трапеции изменилась, а длина KS осталась прежней. И всё же связь между второй средней линией трапеции и боковыми сторонами есть. Воспользуемся векторным способом:

в трапеции АВСD (рис.1) ВС || АD, EK – вторая средняя линия.

 

EK = EB + BA +AК, с другой стороны,  ЕK = ЕC + CD + DК. Сложив оба равенства, получим:

                                                                

2ЕK = (ЕB + ЕC) + (BA + CD)+ (AК + DК)=0+(ВА+СD) + 0 = ВА + СD, т.е.

EK = (BA + CD)

Сделаем вывод: вектор второй средней линии трапеции равен полусумме векторов боковых сторон, взятых в одном порядке (сверху вниз).

Это утверждение можно доказать и вторым способом:

рис.2    О             

          В         Е     С                           В трапеции АВСD (ВС || АD) КS – вторая                    

                                                             средняя линия, О – произвольная точка

                                                         По формуле для середины отрезка:

    А              К               D                   ОЕ = (ОВ + ОС), OК = (OA + OD)

ЕК   =  OК – OЕ = ((OA – OB) + (OD – OC)),       ЕK = (BA + CD)

       При изучении данной темы, я узнала некоторые свойства средних линии трапеции.

2.2 Свойства средних линии трапеции.

1. Средние  линии трапеции пересекаются и в точке пересечения делятся пополам.

рис.3                                                                      Дано: АВСД- трапеция

                                                                              ЕК, MN- средние линии

                                                                             Доказать: MO=ON

                  B        Е        C                                  Доказательство: рассмотрим            

                В            Е          С                                  ВСD и    ABD: KN -

          M                                     N                          средняя линия       BCD                     

                              О                                                 EN || BD и EN=1/2 BD.

    А                      К                         D                 MK – средняя линия      ABD, MK || BD, MK=1/2BD. Аналогично, МE || АС, ME=1/2AC, NK || AC, NK=1/2AC. Таким образом, MENK – параллелограмм, (противоположные стороны четырехугольника параллельны) MN и EK – его диагонали, следовательно, KO = OE, MO = ON.

2. Если средние линии трапеции равны, то  диагонали трапеции перпендикулярны.

рис.4     В        Е      С            Дано: АВСD- трапеция                              

                                                   EK, MN- средние линии, ЕК=MN

          M                          N        АС, BD-диагонали                                                   

                                                   Доказать: AC┴BD

A                    K               D        Доказательство:

          МЕNK – параллелограмм (МЕ║АС, КN║AC, EN║BD, MK║BD), по условию MN=EK.Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник, ENME, т.к. EN||BD, ME||AC, то BDAC

Утверждение доказано.

Обратное утверждение: если диагонали трапеции перпендикулярны, то средние линии этой трапеции равны.

              В        Е      С            Дано: АВСD- трапеция                              

                                                   EK, MN- средние линии

          M                          N        АС, BD- диагонали,  AC┴BD                                               

                                                   Доказать: ЕК=MN

A                    K               D        Доказательство:

ACBD,  MEEN, MККN  MENК – прямоугольник  EК=MN

Применяя данное утверждение можно решить задачу ЕГЭ профильного уровня.

3. Вторая средняя линия трапеции проходит через точку пересечения диагоналей.  

рис.5     B        Е           C                              Дано:  АВСД - трапеция

                      О                                           АС, ВД – диагонали, АС ՌВD=O

                                                                    Е€ ВС,  ВЕ = ЕС, EOՌAD=К

      А                    К                    D            Доказать: AК = КD

     Доказательство:      как накрест лежащие при  ВС || AD и секущей BD. < ВОЕ=<КОD как вертикальные. ▲BOE∞ ▲KOD, аналогично,  ▲EOC∞AOK. BE/KD=OE/OK, EC/AK=OE/OK.

      Из этих равенств следует, что BE/KD=EC/AK, а т.к. BE = EC (по условию), то  AK = KD .  Значит, ЕК – вторая средняя линия трапеции и она проходит через точку пересечения диагоналей.        

4. Прямая, содержащая вторую среднюю линию трапеции, проходит через точку пересечения прямых, содержащих боковые стороны.

рис.6             О              Дано: АВСD-трапеция

                                        ЕК- вторая средняя линия  

                                        Доказать: АВՌЕКՌСD=О

          B          Е      C      Доказательство:

                                        Рассмотрим ▲ВОС и  ▲AOD.    

                                        Они подобны по двум углам (<В=<А, <С=<D)

A               К            D                           ОА/ОВ=ОD/OC=k

                      ODOC, OBOA,  OA =k ·OB,  OD = k ·OC.

                                               По формуле середины отрезка:

OE = (ОВ+ОС),   OK = (OA+OD),   OK = (k ·OB + k ·OC)= k (OB+ OC)= = k ·OE   OE  коллинеарен  OK,  ОEK.

Обратное утверждение: если прямая проходит через точку пересечения прямых, содержащих боковые стороны и середину одного из оснований, то она является второй средней линией трапеции.

        Дано: трапеция- ABCD, АВՌDC=O, OК- прямая, К€АD, AK=KD.

       Доказать: ВЕ = ЕС

       Доказательство: (по рис.6)

∆ЕOC ~ ∆КOD  КD/EC=OK/OE  

∆ВОE ~ ∆AOK  AK/BE=OK/OE , т.к. АK = KD(по условию), то EС = ВE.

4. В равнобедренной трапеции средние линии перпендикулярны.

рис.7

      В       Е        С                                             Дано: ABCD - трапеция, АВ = CD,

                                                                            MN, ЕK – средние линии

М                             N                                         Доказать: MNЕK.

                                                 Доказательство:  

А             К               D                MЕ – средняя линия ∆АВС, МЕ||АС, МЕ=АС

 NК – средняя линия ∆ADC, NК||AC, NК =АС. Если противоположные стороны четырехугольника MЕNК равны и  параллельны, то по признаку MЕNК – параллелограмм  Т.к. трапеция ABCD – равнобедренная, то AC = BD,

MЕ = АС,   ЕN = BD,  MЕ = ЕN,   MЕNК - ромб           

По свойству ромба, диагонали  MNЕK.

         Обратное утверждение: если средние линии трапеции перпендикулярны, то эта трапеция равнобедренная.

Доказательство (по рис.7) :

По теореме о средней линии трапеции MN||BC, MN||AD

По условию MNЕK,  BCЕK, ADЕK

BЕ=ЕC, AК=КD,  ЕK- ось симметрии трапеции ABCD,

AB и CD симметричны относительно ЕK,  AB=CD.

Из этого свойства, следует следующее:

          5. В равнобедренной трапеции вторая средняя линия перпендикулярна основаниям ( доказательство аналогичное)

2.3 Задачи по теме средние линии трапеции

         Приведу вашему вниманию задачи по теме вторая средняя линия трапеции .

ЕГЭ № 27844  В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 12. Найдите ее среднюю линию. (чертеж дан)                               

                 В        Е      С                                  

                                                  

A                    K               D        Если диагонали перпендикулярны, то средние линии  трапеции равны, и в вторая средняя линия перпендикулярна основаниям. Следовательно, средняя линия равна 12. Ответ: 12.

Задача ОГЭ:

 Найти площадь равнобедренной трапеции, у которой диагонали взаимно перпендикулярны и высота равна 10 см. 

Sравн.трапеции=h²    если  d1 _┴ d2, высота трапеции будет равна средней линии трапеции. Ответ: 100см². 

В учебнике «Геометрия 7-9 » (автор Л.С.Атанасян) имеется задача №820, в разделе задачи повышенной трудности в главе V.

         Решим еще несколько задач.           

№1. Доказать, что площадь трапеции равна произведению второй средней линии на диагональ трапеции и на синус угла между ними.

             B      E        C

рис.9                                                                 Дано: ABCD – трапеция,

                                                                         EF – вторая средняя линия.

                       

                                                                          Доказать:

A                                F                          D

         Доказательство. Соединив точки А и E, С и F,  получим что площадь трапеции AECF,  , где  - угол между отрезками EF и AC.   и   . Значит, площадь трапеции ABCD равна удвоенной площади трапеции AECF, что и требовалось доказать.

№2. Доказать, что площадь трапеции равна произведению второй средней линии на сумму перпендикуляров, проведенных к этой средней линии (или её продолжению) из двух противоположных вершин трапеции.

               B      E    C

рис.10         N                                                Дано: ABCD – трапеция,

                                                                       EF – вторая средняя линия,

                               M                                     СNEF, AMEF.  

                                                                       Доказать:

A                               F                     D

Доказательство:  Рассмотрим треугольники AEF и ECF. , . Тогда . Т. к. , то .

№3. Как с помощью одной линейки провести в трапеции вторую среднюю линию?

         Решение:

1)    Провести диагонали.

2)    Продолжить боковые стороны до их пересечения.

3)    Через точку пересечения диагоналей и точку пересечения продолжений боковых сторон провести прямую.

4)    Отрезок прямой, заключенный между основаниями трапеции – искомая вторая средняя линия трапеции.

№4. Можно ли построить трапецию, если известны её средние линии и угол между ними?

         Решение: можно; решений будет бесконечное множество. При построении нужно воспользоваться свойством 1.

№5.  (№820) Докажите, что прямая, проходящая через середины оснований равнобедренной трапеции, перпендикулярна к основаниям.

         Решение: см. доказательство свойства 4.

№6. В трапеции ABCD сумма углов при основании  AD равна 90º. Доказать, что отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований.

рис.11           M                                                           Решение: AF = FD, BN = NC

                                                                                   º, º,

                                                                                    AD – гипотенуза,

       B                   N                          C                         MF = AF = FD = AD

         А                      F                                        D        MN = BC

                                                                                     FN = MF – MN 

                                                                  FN = AD - BC = (AD – BC)

№7. В трапеции ABCD сумма углов при меньшем основании равна 270º. Найти длину второй средней линии, если основания равны а и в (а >в).

         Решение: воспользуемся рис.11: в треугольнике AMD , значит, . Поэтому MN = , MF=.

NF = MF – MN = (a – b)/2.

Мне так же удалось составить несколько задач по данной теме.

№1.В равнобедренной трапеции АВСD   MN и KЕ средние линии. Они пересекаются в точке О. Известно КО=4см, МN=16 см. Найти среднюю линию КР и отрезок МО. (8см, 8см)

№2. В равнобедренной трапеции средняя линия трапеции равна 13см, а вторая средняя линия равна 6см. Найти площадь трапеции. (13*6=78 см²).

№3. Площадь равнобедренной трапеции равна 28см² . Вторая средняя линия равна 7см. Найти высоту трапеции. (7см).

№4.             B    E    C                              Дано: ABCD – трапеция,

                        N                                         EK – вторая средняя линия,

                               M                          СNEK, AMEK.EK=10, CN=5, AM=8.

    А                           K                       D

                                                                    Найти : S_ABCD

Решение:      S_ABCD = EK*(CN+AM)= 10(5+8)= 130

№5. Верно ли утверждение: если прямая проходит через середину одного основания трапеции и точку пересечения диагоналей, то и другое основание она делит пополам?

         Решение: Да, см. свойство 2.

№6 Основания трапеции равны 10 см и 6 см, вторая средняя линия – 4 см, угол между средними линиями 30º. Найти площадь трапеции.

Решение:

    B            K            С

 

M                              O                        N

 

             A              H                 S                                   D

(соответственные), ,   КН = 2 см

   см².

Заключение

         Развитие науки, необходимость мыслить по-новому, поиски нового - все эти требования современной жизни заставляют искать новые знания и методы, которые способны изменить решение тех или иных задач, расширить мышление.  В результате проделанной работы  узнала понятие второй средней линии трапеции, ее свойства. Так же доказала свойства второй средней линии, проанализировала КИМы ОГЭ и ЕГЭ, разобрала  задачи, связанные с этой линией, так  же составила свои задачи для закрепления свойств второй средней линии трапеции.

Выяснила, что вторая средняя линия трапеции используется в решении задач повышенной трудности.  Если знать свойства, которые мы доказали, то сложные задачи решаются просто и легко.  Все доказанные свойства собрала и сделала брошуру по данной теме.

         Учитель при изучении темы средняя линия трапеции и площадь трапеции сможет воспользоваться брошурой , где я собрала понятие и свойства второй средней линии трапеции.  Я надеюсь, что мои задачи помогут учащимся закрепить свойства второй средней линии, а мне решить планиметрические задачи ЕГЭ.

Литература

1.     Л. С. Атанасян и др. «Геометрия 7-9» Учебник для образовательных учреждений/- М., Просвещение, 2006

2.     Википедия.- ru.wikipedia.org/wiki/средняя линия

3.     И. А. Кушнир «Вторая средняя линия трапеции», журнал «Математика в школе» №2, 1993.

4.     В. Б. Лидский, Л. В. Овсянников, А. Н. Тулайков, М. И. Шабунин «Задачи по элементарной математике» - М., Физматгиз, 1960.

5.     Научный форум dxdy. – dxdy.ru/topic20315.html

6.     В. В. Прасолов «Задачи по планиметрии» -М.: Наука, 1986.

7.     И. Х. Сивашинский «Задачник по элементарной математике», - М., Наука, 1966.

8.     Фестиваль идей – portfolio.1september.ru/work

9.     К. У. Шахно «Сборник задач по элементарной математике повышенной трудности», - Минск, Высшая школа, 1966.