Исследовательская работа по математике "Золотое сечение в архитектуре Калининградской области"

Оглавление

1. Введение.................................................................................................... 2

2. Золотое сечение в математике................................................................... 3

   2.1. Числа Фибоначчи…………………………………………………………..4

3. Золотое сечение в архитектуре.................................................................. 7

4. Золотое сечение в зданиях Калининграда……………………………….. 10

4.1. Королевские ворота…………………………………………………….11

4.2. Кирха Святого Семейства……………………………………………...13

4.3. Кафедральный Собор Христа Спасителя........................................... 16

4.4. Калининградский областной драматический театр........................... 18

4.5. Могила Иммануила Канта................................................................. 20

4.6. Янтарная пирамида............................................................................ 22

5. Заключение.............................................................................................. 24

6. Список литературы.................................................................................. 25

“Архитектура имеет три предмета: красоту, спокойность и прочность здания… К достижению сего служит руководством знание пропорции, перспективы, механики или вообще физики, а всем им общим вождем является рассудок”.

В.И. Баженов

1. Введение

     Актуальность исследования мы видим в том, чтобы выявить наличие  золотого сечения в зданиях Калининградской области и удостовериться , что принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в архитектуре .

    Целью исследования стал поиск зданий с наличием золотого сечения в Калининградской области.

Задачи:

·       Изучить необходимую литературу по данной теме.

·       Найти здания в калининградской области, построенные с использованием правила золотого сечения.

·       Рассчитать пропорцию золотого сечения.

·       Изучить историю каждого здания с золотым сечением.

Гипотеза:

     Человеческое представление о красивом явно сформировалось под влиянием того, какой порядок и гармонию человек видит в природе.

Как вы думаете, что общего между египетскими пирамидами, картиной Леонадо да Винчи "Мона Лиза", строением тела человека, подсолнухом, улиткой, строением галактик, микробов и вирусов, молекулы ДНК, законами физики, снежинками и растениями?

Ответ на этот вопрос скрыт в удивительных числах и пропорции, которые были обнаружены математиком средневековья Леонардом Пизанским, более известным под именем Фибоначчи. После его открытия эти числа так и стали называться его именем. Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих: 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34 = 0,617, а 34 : 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом φ. Только это отношение – 0,618 : 0,382 – дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

2. Золотое сечение в математике

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или, другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему:

a : b = b : c или с : b = b : а.

Рис. 1. Золотое сечение

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

Из точки B выставляется перпендикуляр, равный половине AB. Полученная точка C соединяется линией с точкой A. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую AB. Полученная при этом точка E делит отрезок AB в соотношении золотой пропорции.

Рис. 2. Построение золотого сечения

Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618..., если AB принять за единицу, а BE = 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок AB принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.

Свойства золотого сечения описываются уравнением:

x² – x – 1 = 0.

Решение этого уравнения:

.

Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения.

                                            2.1. Числа Фибоначчи.

Числа Фибоначчи — элементы числовой последовательности 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, … в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Иногда число 0 не рассматривается как член последовательности.

Эта закономерность в математике интересовала ещё одного ученого средневековья – Фому Аквинского. Движимый желанием «алгеброй гармонию измерить», учёный сделал вывод о прямой связи математики и красоты. Эстетические чувства, возникающие при созерцании гармоничных, пропорционально созданных природой объектов, Фома Аквинский объяснял тем же принципом суммационной последовательности.

Этот принцип поясняет, что начиная с 1,1, следующим числом будет сумма двух предыдущих чисел. Эта закономерность имеет большое значение – она все медленнее и медленнее – асимптотически – приближается к некоему постоянному отношению. Однако отношение это является иррациональным, то есть имеет в дробной части бесконечную и непредсказуемую последовательность цифр. Точное его выражение найти невозможно. Разделив любой член последовательности Фибоначчи на член, предшествующий ему, мы получим величину, которая колеблется возле значения 1.61803398875... (иррациональное), которая будет то не достигать, то превосходить его всякий раз. Даже Вечности не хватит для того, чтобы точно определить это соотношение. Для краткости мы будем использовать его в виде 1.618.

Особенности чисел Фибоначчи

 1. каждое третье число Фибоначчи четно;

 2. каждое четвертое кратно 3;

 3. каждое пятнадцатое оканчивается нулем;

4. два соседних числа Фибоначчи взаимно просты.

Предел последовательности:

Связь между этой последовательностью и золотым сечением:

Ф³ = 2Ф+1

Ф⁴ =3Ф+2

Ф⁵ =5Ф+3

Ф⁶ =8Ф+5

Ф⁷ =13Ф+8

Ф⁸ =21Ф+13

………

Если обратим внимание на коэффициенты в правых частях этих выражений, то увидим, что они являются последовательными членами последовательностью Фибоначчи. Мы используем для выражения n-й степени золотого сечения, где аn является n-м членом последовательности Фибоначчи:

Фⁿ  =а_n Ф+a_n-1

     Мы говорим, что число А является пределом последовательности {an}, если члены последовательности сходятся к А – то есть достаточно большого номера n все следующие члены последовательности аn приближается к одному и тому же числу.

Например, последовательность {1/n} имеет предел 0.

(Дробь 1/n с ростом n все более приближается к 0.)

Последовательность {2n/n+1} имеет предел 2. Однако не все последовательности имеют пределы.

Теперь рассмотрим некоторые другие некоторые связи между понятиями золотого сечения и чисел Фибоначчи. Чтобы найти отношения соседних чисел в последовательности Фибоначчи: an / аn-1. Первые вычисления имеют мало общего с Ф, но мы продолжаем вычисления. Начиная с десятого члена, каждое частное отличается от предыдущего менее чем на 0,001.

Таким образом, для нахождения приближенного значения Ф нет необходимости извлекать квадратные корни, достаточно просто делить друг на друга члены последовательности Фибоначчи.

Тут необходимо отметить, что Фибоначчи лишь напомнил свою последовательность человечеству, так как она была известна еще в древнейшие времена под названием Золотое сечение.

 

3. Золотое сечение в архитектуре

Вопросам формы в архитектуре во все времена уделялось много внимания. Споры о них не прекращались веками, да и в настоящее время эти вопросы являются предметом обсуждения архитекторов, художников, критиков, философов.

Существует мнение, что с помощью чисто формальных соотношений в планировке можно построить прекрасные здания, доставляющие зрительно эстетическое наслаждение.

В книгах о “золотом сечении” можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи, все зависит от положения наблюдателя, и что если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими “золотое сечение”, то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. “Золотое сечение” дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин.

Перенесемся в эпоху классической Греции. Великолепные памятники архитектуры оставили нам зодчие древней Греции. И среди них первое место по праву принадлежит Парфенону. Храм Афины – Парфенон – был построен в честь победы эллинов над персами. Для создания гармонической композиции на холме его строители даже увеличили холм в южной части, соорудив для этого мощную насыпь.

Рис.9. Золотое сечение в пропорциях Парфенона

Как указывает Г.И. Соколов, протяженность холма перед Парфеноном, длины храма Афины и участка Акрополя за Парфеноном соотносятся как отрезки золотой пропорции. При взгляде на Парфенон с места расположения монументальных ворот при входе в город (пропилеи) видно, что отношения массива скалы у храма также соответствует золотой пропорции. Таким образом, золотая пропорция была использована уже при создании композиции храмов на священном холме.

Многие исследователи, стремившиеся раскрыть секрет гармонии Парфенона, искали и находили в соотношениях ее частей золотое сечение. Если принять за единицу ширины торцовый фасад храма, то получим прогрессию, состоящую из восьми членов ряда:

     Это древнее сооружение с его гармоническими пропорциями дарит нам эстетическое наслаждение. На рисунке виден целый ряд закономерностей, связанных с коэффициентом золотого сечения.

     Шедеврами архитектуры являются многие русские храмы, которые строились на протяжении нескольких столетий. Трудно найти человека, который бы не знал и не видел собора Василия Блаженного на Красной площади. Храм этот особенный: он отличается удивительным разнообразием форм и деталей, красочных покрытий; ему нет равных в нашей стране. Архитектурное убранство всего собора продиктовано определенной логикой и последовательностью развития форм. Исследуя его, историки пришли к выводу о преобладании в нем ряда золотого сечения. Если принять высоту собора за единицу, то основные пропорции, определяющие членение целого на части, образуют ряд золотого сечения:

Рис.10. Храм Василия Блаженного

Рис. 11. Золотое сечение в пропорциях Храма Василия Блаженного

В этом членении и заключена основная архитектурная идея создания собора, единая для всех восьми куполов, объединяющая их в одну композицию.

                 4. Золотое сечение в зданиях Калининграда

4.1. Королевские ворота

     Королевские ворота – украшение Литовского вала. После того, как в 1911 году часть вала была срыта, они остались стоять на перекрестке улиц. «Новые» Королевские ворота были построены в 1850 году и называются так в честь самых известных правителей Пруссии. На фасаде ворот были установлены три статуи: короля Чехии Оттокара II Пшемысла, основателя Кёнигсберга, первого короля Пруссии Фридриха I и герцога Альбрехта I.

Во время последней войны ворота сильно пострадали и были окончательно восстановлены только в 2005 году, к 750-летию города. В том же году королям были возвращены головы, которые были специально уничтожены при взятии города советскими войсками, как у многих других памятников «германскому милитаризму».

Гармония Королевских ворот подчинена строгим математическим законам пропорциональности. Архитектурный шедевр построен на пропорциях функции золотого сечения, что дает в плане три вписанных друг в друга «живых квадрата», отношение сторон которых √5:2 определяет пропорциональный строй здания.

Пропорции Королевских ворот определены двумя математическими закономерностями. Пропорцией, определяющей основание, а также пропорцией золотого сечения. При этом соблюден принцип встречного движения пропорций. В этом столкновении двух противоборствующих начал – горизонтального и вертикального – и заключается архитектурный образ здания.

Адрес: Россия, г.Калининград, ул. Фрунзе, 112 (пересечение ул. Фрунзе и Литовского вала).

Рис. 12. Современный вид Королевских ворот

Рис. 13. Королевские ворота в XIX веке

Рис. 14. Золотое сечение в пропорциях Королевских ворот

Если принять ширину ворот вместе с боковыми валами за единицу, то φ = 0,618 – высота ворот и расстояние от края вала до середины колонны; φ² – высота второго яруса и расстояние от центра ворот до их края без валов; φ³ – высота первого яруса, второго яруса без учета башен, расстояние между центрами башен второго яруса, расстояние между центром башни второго яруса и башней первого; φ⁴ – высота башен, ширина боковых ворот и ширина боковых валов.

4.2 Кирха Святого Семейства

      Кирха Святого Семейства – здание католической кирхи в Хаберберге является самым известным и значительным творением Фридриха Хайтманна. По первоначальному проекту здание кирхи должно было располагаться параллельно дороге своей продольной осью, при этом хоры должны были быть ориентированы на восток. Но стройплощадка была расширена, и церковь была построена симметричной, что нехарактерно для творчества Хайтманна. Многие элементы здания, его планировка заимствованы у орденских церквей, долго изучаемых архитектором. В качестве основного материала использовался красный кирпич. Строительство проходило в 1904—1907 годах. Хайтманн полагал, что Кирха Святого Семейства должна быть семейным домом, в котором царил бы дух Христа и его земных родителей. В кирхе никогда не проводились панихиды, только обряды крещения и венчания. Иногда кирху называли Катеринен Кирхе, по названию располагавшегося рядом госпиталя Святой Катерины.

Во время боев за Кенигсберг в апреле 1945 года церковь использовалась как полевой госпиталь и пострадала незначительно. В послевоенные годы здание использовали как склад удобрений, что, естественно, не могло сказаться на ее состоянии. После длительной реставрации в 1980 году она переоборудована под концертный зал Калининградской филармонии. В этом качестве церковь используется до настоящего времени.

В архитектурных памятниках готики, таких, как Кирха Святого семейства, присутствует принцип геометрических построений при назначении соотношений отдельных архитектурных частей между собой. При этом параллельно с сознательно внесенным принципом пропорциональности интуитивно проскальзывает согласование отдельных архитектурных частей с законом золотого сечения.

Адрес: г.Калининград, ул. Богдана Хмельницкого, 61а.

 

Рис. 15, 16. Современный вид Кирхи святого семейства и кирха в 1908 году.

Рис. 17. Золотое сечение в пропорциях Кирхи святого семейства

Если принять ширину высоту кирхи без башни за единицу, то φ = 0,618 – высота основной части кирхи; φ² – расстояние основной части кирхи до башни и высота боковой пристройки; φ³ – высота башни.

4.3 Кафедральный Собор Христа Спасителя

       Кафедральный Собор Христа Спасителя – образный строй здания разработан в стиле Владимиро-Суздальского храмового зодчества. Этот стиль был принят за основу как наиболее лаконичный и выразительный. Образ собора по замыслу должен воплощать в себе современные достижения архитектуры и древнерусские истоки. Особое островное расположение на генплане предопределило решение его архитектурного облика.

Само здание собора представляет собой восьмиугольник с выступающими арочными порталами входов. Размеры храма составляют 31x31 метр, высота с крестами доходит до 73 метров. Алтарная часть собора увенчана куполом и пристроена с восточной стороны здания. Вся арочная композиция покоится на стилобате-подиуме диаметром 60 метров, который является гульбищем Храма. Композиция собора строго симметричная, что подчеркивает монументальность и значимость сооружения. В основном, при выборе композиции золотое сечение не использовалось. Тем не менее, оно усматривается в отдельных группах элементов, не согласованных между собой.

Адрес: Россия, г.Калининград, площадь Победы, 2А.

Рис. 18. Храм Христа Спасителя

Рис. 19. Золотое сечение в пропорциях куполов храма Христа Спасителя

Если принять высоту башни с куполом за единицу, то φ = 0,618 – высота собственно башни; φ² – высота купола. Если принять за единицу высоту купола с крестом, то φ = 0,618 – высота собственно купола; φ² – высота креста.

4.4. Калининградский областной драматический театр

     Калининградский областной драматический театр – здание театра на этом месте было построено в 1912 г. и названо "Театр Луизы" в честь умершей в 1810 г. в возрасте 34 лет королевы Пруссии Луизы Августы Вильгельмины Амалии, которая очень сильно почиталась своим народом. Построен театр был по заказу Мартина Кляйна и изначально был коммерческим. В 1925 г. здание было выкуплено городской администрацией, а после реставрации в 1927 г. открылось под названием "Драматический театр". Во время апрельских боев 1945 года здание театра получило серьезные повреждения и выгорело, в 1960 году оно было отстроено заново с использованием старых несущих конструкций, но с изменением фасада, который стал похож на фасад Большого театра в Москве. Вход стал обрамлять портал с коринфскими колоннами. Сегодня это здание носит название "Калининградский областной драматический театр".

Только обходя театр вокруг, внимательный наблюдатель сможет почувствовать двухслойность этой постройки: высокая, чуть горделивая сценическая коробка, обработанная дорическими пилястрами, – довоенная, почти не изменилась; полукруглые выступы-экседры по бокам восходят к немецкой архитектуре; боковой портал, задний фасад и дверка в кафе, заключенная в монументальный выступ-раму, – все это тоже старое.

Адрес: Россия, г.Калининград, просп. Мира, 4.

Рис. 20. Театр Луизы

Рис. 21. Калининградский областной драматический театр

Рис. 22. Золотое сечение в пропорциях фасада драматического театра

Если принять ширину фасада за единицу, то φ = 0,618 – высота театра и расстояние между промежутками крайних из шести колонн; φ² – высота до портика и расстояние, в которое укладываются три колонны; φ³ – высота портика; φ⁴ – высота крыши; φ⁵ – высота перекрытия.

4.5. Могила Иммануила Канта

      Могила Иммануила Канта расположена в северо-восточном углу Кафедрального собора с внешней стороны.

После смерти прах великого философа удостоился чести быть погребенным в профессорском склепе, примыкавшем к Кафедральному собору с северной стороны. В 1809 году слеп из-за ветхости снесли, а на его месте построили прогулочную галерею, которая называлась “Stoa Kantiana” и просуществовала до 1880 года. В 1924 году по проекту архитектора Фридриха Ларса мемориал Иммануила Канта был восстановлен и приобрел современный вид.

После бомбежек Кенигсберга англичанами в августе 1944 года и апрельских боев 1945 года из всего комплекса Кафедрального собора только могила Канта сохранилась в удовлетворительном состоянии, все остальное вокруг было превращено в руины. После второй Мировой войны могила знаменитого философа была отреставрирована.

Рис. 23. Современный вид могилы И.Канта

Рис. 24. Золотое сечение в пропорциях могилы И.Канта

Если считать не колонны вокруг могилы, а промежутки между ними, получается: юг+восток - 5 промежутков, север+запад - 8 промежутков. 5/8 - золотое сечение.

4.6.Янтарная пирамида

       Янтарная пирамида – Калининградский янтарный комбинат в 2012 году отметил свое 65-летие. К юбилею на Смотровой площадке, расположенной на краю единственного в мире промышленного янтарного карьера, возвели необычное и величественное сооружение – янтарную пирамиду. Пирамида – это символ мастерства работников Янтарного комбината, мастерства двух его предприятий: добычного комплекса и ювелирного производства.

Пирамида удачно вписалась в окружающий ландшафт. Высота сооружения 3,3 метра, в основе её архитектуры – принцип золотого сечения. Четыре стены строго ориентированы по сторонам света, как египетские древние пирамиды. Площадь – 25 квадратных метров, внутрь одновременно могут зайти человек 10-12.

Ежегодно десятки тысяч туристов приезжают, чтобы со Смотровой площадки взглянуть на уникальный янтарный карьер, где добывается почти весь янтарь мира. Теперь у посетителей есть возможность увидеть монументальное сооружение из янтаря, прикоснуться к нему, загадать желание внутри пирамиды, ощутить вечное тепло солнечного камня Балтики.

Рис. 25. Янтарная пирамида

Рис. 26. Поперечный разрез классической пирамиды с пропорциями золотого сечения

5. Заключение

Проведена исследовательская работа по нахождению пропорций золотого сечения в архитектурных строениях старого Кенигсберга (Королевские ворота, Кирха Святого Семейства, могила И.Канта), современного Калининграда (драматический театр, Храм Христа Спасителя) и Калининградской области (янтарная пирамида в Янтарном).

·        Мы изучили необходимую литературу по данной теме.

·        Нашли здания в калининградской области, построенные с использованием правила золотого сечения.

·        Рассчитали  пропорцию золотого сечения.

·        Изучили историю каждого здания с золотым сечением.

·        Были получены результаты, подтверждающие полное или частичное использование «золотых пропорций» при проектировании и построении изученных зданий.

В ходе работы подтвердилась гипотеза о том, что человеческое представление о красивом явно сформировалось под влиянием того, какой порядок и гармонию человек видит в природе.

Несмотря на то, что заканчиваем школу, мы продолжим работу по нахождению архитектурных сооружений в Калининградской области в которых присутствуют пропорции золотого сечения.

6. Список литературы

1.     Васютинский Н. А. Золотая пропорция. – М.: Молодая гвардия, 1990.

2.     Петров, В.М. Формулы прекрасных пропорций / число и мысль [Текст]: В.М.Петров, Р.Е.Прянников. – М.: Знание, 1979.

3.     Шмигевский Н. В. Формула совершенства // Страна знаний. – 2010.

4.     http://ru.wikipedia.org/wiki/ – Википедия – свободная энциклопедия

5.     http://www.abc-people.com/data/leonardov/zolot_sech-txt.htm – электронная версия энциклопедии «энциклопедия замечательных людей и идей».

6.     http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm – электронная библиотека «Наука и техника».

7.     https://sites.google.com/site/mojkenigsbergkaliningrad/ – Мой Königsberg-Калининград.

8.     http://forum.kenig.org/ – История Восточной Пруссии и Калининградской области.

9.     http://www.patriarchia.ru – официальный сайт Московского Патриархата.

Краткое описание документа:

1. Исследовательская работа по теме: Золотое сечение в архитектуре Калининградской области. Работа носит реферативно-экспериментальный характер.

2.В основе лежат две причины, побудившие нас заняться данным вопросом. Первая и главная – это доказать гипотезу о том, что здания, построенные по канонам золотого сечения, способствуют наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Также расширение знаний об истории Калининградской области .

3.Перед нами стояли задачи:

• Изучить необходимую литературу по данной теме.
• Найти здания в Калининградской области, построенные с использованием пропорций золотого сечения.
• С помощью расчетов выявить присутствие пропорций золотого сечения в архитектуре зданий старого Кенигсберга и Калининграда.
• Изучить историю каждого здания с золотым сечением.

4. Проведена исследовательская работа по нахождению пропорций золотого сечения в архитектурных строениях старого Кенигсберга (Королевские ворота, Кирха Святого Семейства, могила И.Канта), современного Калининграда (драматический театр, Храм Христа Спасителя) и Калининградской области (янтарная пирамида в Янтарном).