Конспект для самостоятельной подготовки к экзамену по ТОНКМ с методикой преподавания

Ответы на вопросы к теоретической части билетов к экзамену по ТОНКМ с методикой преподавания и математике

-------------------------------------------------------------------------------------------------

Вопрос № 1.

Цели и задачи обучения математике в начальных классах

(по ФГОС второго поколения).

Основной целью является формирование функционально грамотной личности, готовой к активной деятельности и непрерывному образованию в современном обществе, владеющей системой математических знаний и умений, позволяющих применять эти знания для решения практических жизненных задач, руководствуясь при этом идейно-нравственными, культурными и этическими принципами, нормами поведения, которые формируются в ходе учебно-воспитательного процесса.

Цели обучения в курсе математики в 1–4 классах, сформулированные как линии развития личности ученика средствами предмета:

уметь

· использовать математические представления для описания окружающего мира (предметов, процессов, явлений) в количественном и пространственном отношении;

· производить вычисления для принятия решений в различных жизненных ситуациях;

· читать и записывать сведения об окружающем мире на языке математики;

· формировать основы рационального мышления, математической речи и аргументации;

· работать в соответствии с заданными алгоритмами;

· узнавать в объектах окружающего мира известные геометрические формы и работать с ними;

· вести поиск информации (фактов, закономерностей, оснований для упорядочивания), преобразовать её в удобные для изучения и применения формы.

В результате освоения предметного содержания предлагаемого курса математики у учащихся предполагается формирование универсальных учебных действий (познавательных, регулятивных, коммуникативных) позволяющих достигать предметных, метапредметных и личностных результатов.

Исходя из общих положений концепции математического образования, начальный курс математики призван решать следующие задачи:

· создать условия для формирования логического и абстрактного мышления у младших школьников на входе в основную школу как основы их дальнейшего эффективного обучения;

· сформировать набор необходимых для дальнейшего обучения предметных и общеучебных умений на основе решения как предметных, так и интегрированных жизненных задач;

· обеспечить прочное и сознательное овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования;

· обеспечить интеллектуальное развитие, сформировать качества мышления, характерные для математической деятельности и необходимые для полноценной жизни в обществе;

· сформировать представление об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания окружающего мира;

· сформировать представление о математике как части общечеловеческой культуры, понимание значимости математики для общественного прогресса;

· сформировать устойчивый интерес к математике на основе дифференцированного подхода к учащимся;

· выявить и развить математические и творческие способности на основе заданий, носящих нестандартный, занимательный характер.

Вопрос № 2.

Содержание и построение начального курса математики.

Начальный курс - исходная база для курса математики, поэтому

включает: арифметику целых неотрицательных чисел и основных величин, элементы алгебры и геометрии.

Главное содержание составляет арифметический материал, элементы алгебры и геометрии органически связываются с арифметическим материалом. Арифметический материал вводится концентрически:

1. Нумерация первого десятка;

2. Нумерация чисел в пределах 100;

3. Нумерация чисел в пределах 1000;

4. Нумерация многозначных чисел.

В тесной связи с арифметическим материалом изучаются: величины,

дроби, алгебраический и геометрический материал.

Кроме пяти традиционных содержательных разделов:

1. Числа и величины

2. Арифметические действия над числами

3. Работа с текстовыми задачами

4. Пространственные отношения. Геометрические фигуры.

5. Геометрические величины.

в современных программах есть шестой содержательный раздел:

Работа с информацией.

Вопросы теории и практического характера органически связаны

между собой.

Многие вопросы теории вводятся индуктивно, т.е. на основе обобщения частных фактов.

Математические понятия, свойства, закономерности, раскрываются в курсе в их взаимосвязи:

1.связь между арифметическим, алгебраическим и геометрическим материалом;

2. внутренние связи между различными понятиями курса, свойствами и закономерностями;

3. В процессе изучения каждое понятие получает своё развитие;

4. Сходные и связанные между собой вопросы раскрываются в сравнении.

В основу построения программы положен принцип построения содержания предмета «по спирали». Многие математические понятия и методы не могут быть восприняты учащимися сразу. Необходим долгий и трудный путь к их осознанному пониманию. Процесс формирования математических понятий должен проходить в своём развитии несколько ступеней, стадий, уровней.

Сложность содержания материала, недостаточная подготовленность учащихся к его осмыслению приводят к необходимости растягивания процесса его изучения во времени и отказа от линейного пути его изучения.

Построение содержания предмета «по спирали» позволяет к концу обучения в школе постепенно перейти от наглядного к формально-логическому изложению, от наблюдений и экспериментов – к точным формулировкам и доказательствам.

Материал излагается так, что при дальнейшем изучении происходит развитие имеющихся знаний учащегося, их перевод на более высокий уровень усвоения, но не происходит отрицания того, что учащийся знает.

В рабочей программе по любому УМК есть 3 группы планируемых результатов: предметные, метапредметные (Регулятивные УУД, Познавательные УУД, Коммуникативные УУД), личностные.

Основным средством формирования УУД в курсе математики являются вариативные по формулировке учебные задания (объясни, проверь, оцени, выбери, сравни, найди закономерность, верно ли утверждение, догадайся, наблюдай, сделай вывод), которые нацеливают обучающихся на выполнение различных видов деятельности, формируя тем самым умение действовать в соответствии с поставленной целью. Учебные задания побуждают детей анализировать объекты с целью выделения их существенных и несущественных признаков; выявлять их сходство и различие; проводить сравнение и классификацию по заданным или самостоятельно выделенным признакам (основаниям); устанавливать причинно следственные связи; строить рассуждения в форме связи простых суждений об объекте, его структуре, свойствах; обобщать, т.е. осуществлять генерализацию для целого ряда единичных объектов на основе выделения сущностной связи.

На всех этапах усвоения математического содержания (кроме контроля) приоритетная роль отводится обучающим заданиям. Они могут выполняться как фронтально, так и в процессе самостоятельной работы в парах или индивидуально.

Важно, чтобы полученные результаты самостоятельной работы (как верные, так и неверные) обсуждались коллективно и создавали условия для общения детей не только с учителем, но и друг с другом, что важно для формирования коммуникативных УУД (умения слышать, слушать и понимать партнёра, планировать и согласованно выполнять совместную деятельность, распределять роли, взаимно контролировать действия друг друга и уметь договариваться учитывать позицию собеседника). Самостоятельно определять и высказывать самые простые общие для всех людей правила поведения при общении и сотрудничестве (этические нормы общения и сотрудничества).

В процессе изучения математики осуществляется знакомство с математическим языком, формируются речевые умения: дети учатся высказывать суждения с использованием математических терминов и понятий, формулировать вопросы и ответы в ходе выполнения задания, доказательства верности или неверности выполненного действия, обосновывают этапы решения учебной задачи.

Вопрос № 3.

Характеристика личностных, метапредметных и предметных результатов начального математического образования.

В составе основных видов универсальных учебных действий, соответствующих ключевым целям общего образования, можно выделить четыре блока:

1) личностный;

2) регулятивный (включающий также действия саморегуляции);

3) познавательный;

4) коммуникативный.

Формирование личностных универсальных учебных действий.

Личностные действия обеспечивают ценностно-смысловую ориентацию учащихся (знание моральных норм, умение соотносить поступки и события с принятыми этическими принципами, умение выделить нравственный аспект поведения) и ориентацию в социальных ролях и межличностных отношениях. Применительно к учебной деятельности следует выделить три вида личностных действий:

- личностное, профессиональное, жизненное самоопределение;

- смыслообразование – установление учащимися связи между целью учебной деятельности и ее мотивом, между результатом учения и тем, что побуждает деятельность, ради чего она осуществляется. Ученик должен задаваться вопросом: какое значение и какой смысл имеет для меня учение? и уметь на него отвечать;

- нравственно-этическая ориентация, в том числе и оценивание усваиваемого содержания (исходя из социальных и личностных ценностей), обеспечивающее личностный моральный выбор.

Личностные УУД формируются, когда:

‐ учитель задает вопросы, способствующие созданию мотивации, т.е., вопрос направлен непосредственно на формирования интереса, любознательности учащихся. Например: «Как бы вы поступили…»; «Что бы вы сделали…»;

‐ учитель способствует возникновению личного, эмоционального отношения учащихся к изучаемой теме. Обычно этому способствуют вопросы: «Как вы относитесь…»; «Как вам нравится…».

Регулятивные действия обеспечивают учащимся организацию их учебной деятельности.

К ним относятся:

- целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимся, и того, что еще неизвестно;

- планирование — определение последовательности промежуточных целей с учетом конечного результата; составление плана и последовательности действий;

- прогнозирование – предвосхищение результата и уровня усвоения знаний, его временных характеристик;

- контроль в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона;

- коррекция – внесение необходимых дополнений и корректив в план и способ действия в случае расхождения эталона, реального действия и его результата;

- оценка – выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще нужно усвоить, осознание качества и уровня усвоения;

- саморегуляция как способность к мобилизации сил и энергии, к волевому усилию (к выбору в ситуации мотивационного конфликта) и к преодолению препятствий.

Регулятивные УУД формируются, когда:

‐ учитель учит конкретным способам действия: планировать, ставить цель, использовать алгоритм решения какой‐либо задачи, оценивать свои достижения.

Познавательные универсальные действия включают: общеучебные, логические, а также постановку и решение проблемы.

Общеучебные универсальные действия:

- самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели;

- поиск и выделение необходимой информации; применение методов информационного поиска, в том числе с помощью компьютерных средств;

- структурирование знаний;

- осознанное и произвольное построение речевого высказывания в устной и письменной форме;

- выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий;

- рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности;

- смысловое чтение как осмысление цели чтения и выбор вида чтения в зависимости от цели; извлечение необходимой информации из прослушанных текстов различных жанров; определение основной и второстепенной информации; свободная ориентация и восприятие текстов художественного, научного, публицистического и официально-делового стилей; понимание и адекватная оценка языка средств массовой информации;

- постановка и формулирование проблемы, самостоятельное создание алгоритмов деятельности при решении проблем творческого и поискового характера.

Особую группу общеучебных универсальных действий составляют знаково-символические действия:

- моделирование – преобразование объекта из чувственной формы в модель, где выделены существенные характеристики объекта (пространственно-графическая или знаково-символическая);

- преобразование модели с целью выявления общих законов, определяющих данную предметную область.

Логические универсальные действия:

- анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных);

- синтез – составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание с восполнением недостающих компонентов;

- выбор оснований и критериев для сравнения, сериации, классификации объектов;

- подведение под понятие, выведение следствий;

- установление причинно-следственных связей;

- построение логической цепи рассуждений;

- доказательство;

- выдвижение гипотез и их обоснование.

Постановка и решение проблемы:

- формулирование проблемы;

- самостоятельное создание способов решения проблем творческого и поискового характера.

Познавательные УУД формируются, когда:

‐ учитель говорит: «Подумайте»; «Выполните задание»; «Проанализируйте»; «Сделайте вывод…».

Коммуникативные действия обеспечивают социальную компетентность и учет позиции других людей, партнеров по общению или деятельности; умение слушать и вступать в диалог; участвовать в коллективном обсуждении проблем; интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие и сотрудничество со сверстниками и взрослыми.

К коммуникативным действиям относятся:

- планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками – определение цели, функций участников, способов взаимодействия;

- постановка вопросов – инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации;

- разрешение конфликтов – выявление, идентификация проблемы, поиск и оценка альтернативных способов разрешения конфликта, принятие решения и его реализация;

- управление поведением партнера – контроль, коррекция, оценка его действий;

- умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации; владение монологической и диалогической формами речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка.

Развитие системы универсальных учебных действий в составе личностных, регулятивных, познавательных и коммуникативных действий, определяющих развитие психологических способностей личности, осуществляется в рамках нормативно-возрастного развития личностной и познавательной сфер ребенка. Процесс обучения задает содержание и характеристики учебной деятельности ребенка и тем самым определяет зону ближайшего развития указанных универсальных учебных действий (их уровень развития, соответствующий «высокой норме») и их свойства.

Вопрос № 4.

Методы обучения математике, их особенности.

«Метод» – по-гречески – «путь к чему-либо» – способ достижения цели. Метод обучения – способ приобретения знаний

Методы обучения - это взаимосвязанные способы целенаправленной деятельности учителя и учащихся. Под методами обучения понимают последовательное чередование способов взаимодействия учителя и учащихся, направленных на достижение определенной дидактической цели..

Любой метод обучения предполагает цель, систему действий, средства обучения и намеченный результат.

Объектом и субъектом метода обучения является ученик.

Очень редко какой-либо один метод обучения используется в чистом виде. Обычно преподаватель сочетает различные методы обучения. Методы в чистом виде применяют лишь в специально спланированных учебных или исследовательских целях.

Метод обучения - историческая категория. На протяжении всей истории педагогики проблема методов обучения разрешалась с различных точек зрения: через формы деятельности; через логические структуры и функции форм деятельности; через характер познавательной деятельности. Сегодня существуют различные подходы к современной теории методов обучения. Классификация методов обучения проводится по различным основаниям.

Наиболее приемлема для преподавания математики разбиение методов на три группы:

1)По совместной деятельности учителя и учащихся:

а) объяснение материала учителем; б) беседа; в) самостоятельная деятельность учащихся.

2)В зависимости от способов приобретения знаний детьми:

а) догматический; б) эвристический; в) исследовательский.

3) Если рассматривать методы с точки зрения пути, по которому движется мысль:

а) индуктивный; б) дедуктивный; в) аналогия.

Выбор методов обучения - дело творческое, однако, оно основано

на знании теории обучения. Методы обучения невозможно разделить, универсализировать или рассматривать изолированно. Кроме того, один и тот же метод обучения может оказаться эффективным или неэффективным в зависимости от условий его применения.

Новое содержание образования порождает новые методы в обучении математике. Необходим комплексный подход в применении методов обучения, их гибкость и динамичность.

Деятельностный подход – основной способ получения знаний. В результате освоения предметного содержания курса математики у учащихся должны сформироваться как предметные, так и общие учебные умения, а также способы познавательной деятельности. Такая работа может эффективно осуществляться только в том случае, если ребёнок будет испытывать мотивацию к деятельности, для него будут не только ясны рассматриваемые знания и алгоритмы действий, но и представлена интересная возможность для их реализации.

Предполагается, что образовательные и воспитательные задачи обучения математике будут решаться комплексно. Учитель имеет право самостоятельного выбора технологий, методик и приёмов педагогической деятельности, однако при этом необходимо понимать, что необходимо эффективное достижение целей, обозначенных федеральным государственным образовательным стандартом начального общего образования.

Курс математики предлагает решение новых образовательных задач путём использования современных образовательных технологий.

В основе методического аппарата курса математики лежит проблемно-диалогическая технология, технология правильного типа читательской деятельности и технология оценивания достижений, позволяющие формировать у учащихся умение обучаться с высокой степенью самостоятельности.

При этом в первом классе проблемная ситуация естественным образом строится на дидактической игре.

Материалы курса организованы таким образом, чтобы педагог и дети могли осуществлять дифференцированный подход в обучении и обладали правом выбора уровня решаемых математических задач.

В курсе математики представлены задачи разного уровня сложности по изучаемым темам. Это создаёт возможность построения для каждого ученика самостоятельного образовательного маршрута. Важно, чтобы его вместе планировали ученик и учитель. Учитель при этом ориентируется на требования стандартов российского образования как основы изучаемого материала. Учителя пользуются общим для учебников математики принципом минимакса. Согласно этому принципу учебники содержат учебные материалы, входящие в минимум содержания (базовый уровень), и задачи повышенного уровня сложности (программный и максимальный уровень), не обязательные для всех. Таким образом, ученик должен освоить минимум, но может освоить максимум.

Важнейшей отличительной особенностью современных УМК с точки зрения деятельностного подхода является включение в него специальных заданий на применение существующих знаний «для себя» через дидактическую игру, проектную деятельность и работу с жизненными (компетентностными) задачами.

Педагогическая классификация методов обучения разделяет методы преподавания и методы изучения (учения), которые в свою очередь представлены научными и учебными методами изучения математики .

Методы преподавания - средства и приёмы, способы информации, управления и контроля познавательной деятельностью учащихся.

Методы учения - средства и приемы, способы усвоения учебного материала, репродуктивные и продуктивные приемы учения и самоконтроля.

Основными методами математического исследования являются: наблюдение и опыт; сравнение; анализ и синтез; обобщение и специализация; абстрагирование и конкретизация.

Современные методы обучения математике: проблемный (перспективный) метод; лабораторный метод; метод программированного обучения; эвристический метод; метод построения математических моделей, и др.

Информационно-развивающие методы обучения разделяются на два класса: а) передача информации в готовом виде (лекция, объяснение, демонстрация учебных кинофильмов и видеофильмов, слушание магнитозаписей и др.);

б) самостоятельное добывание знаний (самостоятельная работа с книгой, самостоятельная работа с обучающей программой, самостоятельная работа с информационными базами данных - использование информационных технологий).

К проблемно-поисковым методам относятся: проблемное изложение учебного материала (эвристическая беседа), учебная дискуссия, лабораторная поисковая работа (предшествующая изучению материала), организация коллективной мыслительной деятельности (КМД) в работе малыми группами, организационно-деятельностная игра, исследовательская работа.

Репродуктивные методы: пересказ учебного материала, выполнение упражнения по образцу, лабораторная работа по инструкции, упражнения на тренажерах.

Творчески-репродуктивные методы: сочинение, вариативные упражнения, анализ производственных ситуаций, деловые игры и другие виды имитации профессиональной деятельности.

Составной частью методов обучения являются приемы учебной деятельности учителя и учащихся (М.И. Махмутов).

Методические приёмы - действия, способы работы, направленные на решение конкретной задачи. За приёмами учебной работы скрыты приёмы умственной деятельности (анализ и синтез, сравнение и обобщение, доказательство, абстрагирование, конкретизация, выявление существенного, формулирование выводов, понятий, приёмы воображения и запоминания).

Методы обучения постоянно дополняются современными методами обучения, главным образом ориентированными на обучение не готовым знаниям, а деятельности по самостоятельному приобретению новых знаний, т.е. познавательной деятельностью.

Вопрос № 5.

Формы организации деятельности учащихся на уроках математики в начальных классах

Учебный процесс предполагает органическое единство, средств, методов и приёмов работы с организационными формами обучения. Каждому методу, приему обучения соответствует своя организационная форма, определяющаяся отношениями между учителем и учащимися и учащихся между собой.

Учитель управляет всей учебной деятельностью на уроке, используя при этом различные формы организации деятельности учащихся: фронтальные (работа со всем классом), групповые (звено, группа, пара и др.), индивидуальные.

Формы организации учебной деятельности выступают на уроке в различных сочетаниях и последовательностях.

Огромная роль здесь принадлежит коллективным формам работы, которые позволяют уплотнять время урока, создают ситуации взаимообучения учащихся и существенно влияют на развитие личности школьника. Коллективный способ обучения – это форма сотрудничества, где взаимодействие идет в парах сменного состава или микрогруппах.

Урок заранее должен быть продуман учителем во всех деталях и нюансах: продумано распределение всей работы на уроке во времени и распределение этой работы между исполнителями - учителем и учащимися, различными категориями учащихся; продумано содержание и распределение записей на классной доске и в тетрадях учащихся; до урока отобраны (изготовлены) необходимые технические средства обучения, проверена их готовность к использованию.

Современная школа стремится воспитать ученика, умеющего учиться, стремится обучить детей умению спорить, отстаивать своё мнение, задавать вопросы, быть инициативным в получении новых знаний. Известно, что умение учиться – это «новообразование, которое в первую очередь связано с освоением формы учебного сотрудничества»

Тесный контакт и взаимопонимание между учителем и учеником на занятии – это половина процесса успешного восприятия последним материала. Определяющей чертой современных методических новаций является ориентация на поисковую деятельность, формирование навыков рефлексивного мышления. Она находит воплощение в разработках по организации учебного процесса с помощью диалоговых форм, направленных на развитие интеллектуально-творческой и коммуникативно-дискуссионной культуры личности. В дидактических поисках незаменимым ресурсом становится учебный диалог, понимаемый и как способ работы над содержанием урока, и как форма организации обучения.

При обучении детей математике применение учебного диалога создает положительный эмоциональный фон, на котором все психические процессы протекают наиболее активно.

Учебный диалог в школьной практике представлен в основном двумя видами: учитель - ученик и ученик - ученик. Долгий диалог между одним учеником и учителем в классе происходит нечасто, потому что на уроке редко встречается возможность обмениваться репликами с одним учеником. Даже если это и происходит, то с ориентацией на весь класс в целом.

Говоря об учебном диалоге, следует учитывать ряд организационных моментов:

ни одна реплика такого диалога не может остаться без ответа;
учебный диалог строго ограничен по времени;
если ученик не активен, значит, он испытывает недостаток знаний;
речевые характеристики учебного диалога связаны с требованием полных ответов;
учебный диалог требует предварительной подготовки.

Учитель в учебном диалоге:

1) ставит учебную проблему, задавая последовательность работы, т.е. реализует определенную программу диалогического обучения;

2) является активным участником диалога. Он не играет в незнание и непонимание. Диалог продуктивен лишь тогда, когда выводит его участников на уровень вечных проблем, окончательного решения которых не знает не только ученик, но и учитель;

3) помогает детям оформить свою мысль о предмете.

В школьном обучении возможны разные виды учебного диалога: учитель – ученик, учитель – класс, ученик – класс, ученик – ученик.

Самый распространенный вид диалога в начальной школе учитель – класс (такой диалог ещё называют вопросно-ответным) требует к себе определенного мастерства от педагога. Данный вид диалога характерен для беседы.

Беседа – очень распространенный способ обучения, который можно применять на любом этапе урока с различными учебными целями: при проверке домашних и самостоятельных работ, объяснении нового материала, закреплении и повторении, подведении итогов учебного занятия, при ответах на вопросы учащихся.

Беседу проводят в тех случаях, когда есть основания для беседы, т.е. учащиеся имеют сведения и знания об изучаемом материале. Беседа позволяет связать учебный материал с личным опытом ребенка. В процессе беседы учащиеся воспроизводят необходимые знания и связывают их с сообщаемым учебным материалом. Учитель имеет хорошую обратную связь. По вопросам и ответам ученика он видит, что ребенок понимает и чего не понимает. Поэтому в ходе он может вносить коррективы, изменять глубину и объем материала, давать дополнительные сведения.

Структура учебного диалога учитель-класс может быть такой:

1.Сообщение темы.

2.Постановка учебной задачи.

3.Совместный поиск решения учебной задачи; выслушивание разных точек

зрения собеседников; корректировка (при необходимости).

4.Получение совместного окончательного решения.

5.Обобщение.

Учащихся нужно приучать к полным ответам, особенно в начальных классах. Формулировка под руководством учителя четких, понятных по содержанию и форме изложения ответов является одним из важных средств развития логического мышления учащихся. В начальных классах важно научить ребенка в ответе излагать все содержание мысли.

Ученик – класс (межструктурный диалог).

Перед одним учеником и классом встает проблема, единое решение которой идет с учетом мнения своих единомышленников.

Ученик обобщает, систематизирует полученные на предыдущих этапах знания и выступает как носитель информации.

Этот вид диалога реализуется в таких его формах, как дискуссия, групповой диалог.

Вид диалога ученик – ученик используется в следующих формах диалога: работа в парах, групповой и коллективный диалоги, спор.

Диалог учитель – ученик

должен иметь вид продуктивного общения, а также предполагает безусловное принятие и признание партнера по общению. Вид диалога учитель – ученик характерен для беседы, дискуссии при активном участии самого учителя.

Имеется еще одна система: «ученик – учебный материал». Здесь «происходит встреча субъектного «Я» образовывающегося и нового учебного материала.

Общие педагогические правила организации всякой групповой работы таковы:

1) Детское сотрудничество следует культивировать с той же тщательностью, что и любой другой навык: не игнорируя "мелочей", не пытаясь перейти к сложному раньше уяснения простейшего. С этой целью учителя, работающие на этапе начального образования, должны предусмотреть в календарно-тематическом планировании такие учебные занятия, где на предметном материале будет происходить освоение учащимися разных способов группового и межгруппового взаимодействия;

2) Вводя новую форму сотрудничества, необходимо дать ее образец, обсудить с детьми нормы и правила такого взаимодействия представить детям;

3)По настоящему образец совместной работы будет освоен детьми только после разбора 2-3 ошибок. Главный принцип разбора ошибок совместной работы: разбирать не содержательную ошибку, а ход взаимодействия.

4) В пределах начальной школы работа в группе не может продолжаться более 10 минут. Через каждые 7-10 минут работы в группе необходимо переключаться на другие формы организации учебной работы.

5) Особое внимание необходимо обратить на формирование групп. Необходимо учитывать, с одной стороны, личные склонности учащихся, с другой стороны, необходимо подбирать группы так, чтобы в ней не было только одних "слабых" или "сильных" учеников. Самому слабому ученику нужен не столько "сильный", сколько терпеливый и доброжелательный партнер;

6) Нецелесообразно заставлять учащихся объединяться. Если ученик хочет работать один, необходимо дать ему такую возможность. Но в ходе обсуждения результатов желательно продемонстрировать детям преимущество совместной работы;

7) Для складывания работоспособных групп нужны минимум 3-5 занятий. Поэтому часто пересаживать детей не стоит. Но и закреплять единый состав групп не рекомендуется;

8) При оценке работы групп следует подчеркивать не столько ученические, сколько человеческие качества: терпеливость, доброжелательность, дружелюбие, вежливость, приветливость. Оценивать можно лишь общую работу группы, ни в коем случае не давать детям, работающих вместе, разных оценок;

9) Групповая работа требует перестановки парт. Для такой работы необходимо общее пространство, чтобы дети могли смотреть друг на друга и слышать друг друга.

10) Больше всего в групповой работе появляется необходимость на втором этапе движения в цикле постановки и решения учебной задачи, когда основной шаг в открытии способа действий уже сделан (в форме общеклассной дискуссии) и требуется сделать ряд «небольших» открытий.

11)Эффективна работа группами (по 4-6человек). При этом лучше сделать небольшую перестановку столов. В каждой группе выбирается ведущий, который распределяет работу между членами группы. Каждая группа получает задания, которые можно выполнить за определенное время. При выполнении задания можно обращаться за помощью друг к другу, можно и поспорить, лишь бы найти правильные ответы на вопросы и верные решения.

Приведем следующий алгоритм движения при выполнении задания в группе:

Повторение задания, которое будет выполняться, для более осознанного его понимания.
Анализ условия (разграничение границ знаний для нахождения способа решения поставленной задачи).
Выдвижение версий всеми членами группы (формулировка собственной точки зрения, выяснение точек зрения партнеров, выявление разницы).
Обоснование версий, их проверка, исключение неподходящих для выполнения задания.
Совместное принятие решения.
Анализ решения задания, его оформление.
Проговаривание в группе выступления спикера.
Представление решения спикером.

Групповое средство обучения имеет свои минусы:

· учитель не сможет своевременно проверить каждого ученика по каждой изученной теме;

· учитель не сможет своевременно корректировать усвоение программного материала;

· учитель не сможет непосредственно на уроках удовлетворять повышенные интересы успевающих и преуспевающих учеников;

· учитель не сможет систематически приобщать школьников к самостоятельной работе с новым учебным материалом, готовить их к самообразованию;

· учитель не сможет успешно решать проблемы воспитательного характера.

Обучение с помощью групповых форм следует начинать с первого класса с работы в паре. Такая работа способствует активизации их познавательной деятельности и формированию таких качеств, как взаимоконтроль и взаимопомощь. Работая в парах, дети приучаются внимательно слушать ответ товарища, постоянно готовится к ответу, ибо тебя обязательно тоже спросят. Также ученик получает возможность еще раз проверить и закрепить свои знания, пока слушает соседа, учится говорить, отвечать, доказывать товарищу какое-то положение, пример, задачу. Он может делать на этом уроке или в момент урока то, что в другое время не разрешалось – свободно общаться с товарищем, свободно сидеть. Ученикам нравится такая работа, так как они говорят, но разговор деловой. Дети ограничены временем, поэтому стараются не отвлекаться, чтобы не отставать от других групп. Интересно, что, спрашивая друг друга, дети – «учителя» оказываются нередко более требовательны к проверяемому, нежели сам учитель. Но эта работа учит сочувствовать тем, кто с трудом справляется с заданием или не справляется совсем.

Следующий вид групповой работы – четверки.

Они эффективно применяются при проверке теории (правил) по математике. «У каждого в четверке листочек со своей фамилией. Он передает его товарищу (по часовой стрелке). Затем поочередно дети отвечают на вопросы». Даже тот ученик, который не знает теории, имеет возможность прослушать ее три раза и тут же ее заучить.

Несколько советов, чего не стоит делать при организации групповой работы:

· нельзя принуждать к общей работе детей, которые не хотят вместе работать;

· разрешить отсесть в другое место ученику, который хочет работать один;

· групповая работа должна занимать не более 15 – 20 минут в 1-2классах, не более 20 – 30минут – в 3-4классах;

· нельзя требовать в классе абсолютной тишины, так как дети должны обменяться мнениями, прежде чем представит «продукт» совместного труда. В классе существует условный сигнал, говорящий о превышении допустимого уровня шума (обыкновенный колокольчик);

· нельзя наказывать детей лишением права участвовать в совместной работе.

В групповой работе нельзя ожидать быстрых результатов, все осваивается практически. Не стоит переходить к более сложной работе, пока не будут проработаны простейшие формы общения. Нужно время, нужна практика, разбор ошибок. Это требует от учителя терпения и кропотливой работы.

Вопрос № 6

Средства обучения математике, их роль в обучении математике младших школьников.

Средства обучения дают возможность делать процесс овладения ЗУНами более эффективным.

Средства обучения:

1. Учебники и учебные пособия ( тетради на печатной основе, сборники упражнений, материал для индивидуальной работы с учащимися, дидактические материалы), литература для внеклассной работы, журналы «Начальная школа», « Начальная школа до и после», журнал- приложение к газете «Первое сентября» «Начальная школа» .

2. Наглядные пособия и технические средства.

Наглядные пособия делятся на натуральные и изобразительные.

С точки зрения использования наглядные пособия делятся на

общеклассные и индивидуальные.

С точки зрения изготовления различают: изготовленные типографским

способом и самодельные.

Наглядные пособия используют с различными целями:

1. Для ознакомления с новым материалом;

2. Для закрепления знаний, умений и навыков;

3. Для проверки усвоения ЗУН.

Особенности использования наглядных пособий:

1) Когда оно используется как источник знаний, учебное пособие должно подчёркивать существенное (основу для обобщения) и показывать несущественное (то что имеет второстепенное значение.

2) Знакомя с новым материалом, учитель использует наглядные пособия с целью конкретизации сообщаемых знаний, в этом случае наглядные пособия являются иллюстрацией словестных объяснений, поэтому чертежи и записи на доске необходимо выполнять грамотно, красиво располагать их на доске и следить, чтобы они были хорошо видны всем детям.

3) При закреплении ЗУН надо организовывать работу так, чтобы ученики сами манипулировали наглядными пособиями, так как в работу включаются различные анализаторы (зрительные, двигательные, речевые, слуховые). На этом этапе широко используются справочные таблицы, таблицы для устного счёта, рисунки, схемы, чертежи для составления задач. Для выработки измерительных навыков включают упражнения в чтении и измерении с помощью чертёжных инструментов.

4) Для проверки ЗУН используют раздаточный дидактический материал.

В процессе обучения важно своевременно переходить от предметных и образных наглядных пособий к условной или символической наглядности (схемы, чертежи, математические записи и т.д.)

Вопрос № 7.

Внеурочная деятельность по математике, ее особенности и формы проведения в начальных классах.

Внеурочная деятельность определяется как составная часть учебно-воспитательной работы школы, как одна из форм организации досуга учащихся. Она бывает разнообразной по содержанию и формам. Внеурочная деятельность по математике составляет неразрывную часть учебно-воспитательного процесса обучения математике, сложного процесса воздействия на сознание и поведение младших школьников, углубление и расширение их знаний и навыков математики. Значение внеурочной деятельности по математике с младшими школьниками состоит в следующем:

1.Различные виды этой работы в их совокупности содействуют развитиюпознавательной деятельности учащихся: восприятия, внимания, представлений, памяти, мышления, речи, воображения.

2. Она помогает формированию творческих способностей учащихся, элементы которых проявляются в процессе выбора наиболее рациональных способов решения задач, в математической или логической смекалке, при проведении на внеклассных занятиях соответствующих игр.

3. Некоторые виды внеклассной работы позволяют детям глубже понять роль математики в жизни.

4 Внеурочная деятельность по математике содействует воспитанию коллективизма и товарищества, накоплению наблюдений за трудом и отношением к нему взрослых и в связи с этим воспитанию любви к труду.

5. Различные виды внеурочной деятельности способствуют воспитанию у детей культуры чувств, т. к. дети в своих поступках обычно руководствуются прежде всего не логическими рассуждениями, а чувствами. При этом речь, главным образом, идет о воспитании таких чувств, многие из которых связаны с умственной деятельностью - так называемых интеллектуальных чувств (чувства справедливости, чести, долга, ответственности).

Внеурочная деятельность при всей своей мощи и гибкости помогает и учителям, и ученикам, как можно быстрее, находить общий язык и решить проблемы. Как показывает изучение по сравнению с классно-урочной системой внеурочная деятельность по математике имеет ряд особенностей. По своему содержанию она строго не регламентирована государственной программой. Однако на внеклассных занятиях математический материал предлагается в соответствии со знаниями и умениями учащихся. Это означает, что при подборе заданий по математике для внеклассных занятий учитывается непосредственная связь с текущим программным материалом, а также желание исходить из общего уровня знаний и умений учащихся по математике. А именно, что сами задания по математике по форме не обязательно должны быть точно такими, какие встречаются на уроках. Если уроки во всех отношениях планируются на 45 минут, то внеклассные занятия в зависимости от содержания и формы проведения могут быть рассчитаны и на 2-3 минуты, и на целый час.

Если классно-урочная форма требует постоянного состава учащихся, объединенных в коллектив по возрастному признаку, с учетом микрорайона жительства, то для внеклассной работы по математике дети из данной школы могут объединиться в группы, обучаясь либо в одном и том же классе, либо в разных классах, при этом группы создаются на добровольных началах. Состав учащихся даже при наличии одной и той же формы внеклассной работы, может меняться. Внеурочная деятельность характеризируется многообразием форм и видов: групповые занятия, кружки, викторины, тематические уголки, олимпиады и т. д.

Особенностью внеурочная деятельности по математике является занимательность предлагаемого материала либо по содержанию, либо по форме, более свободные выражения своих чувств работы, более широкое использование игровых форм проведения занятий и элементов соревнования на них. Привлечь первоначальное внимание детей к внеклассным занятиям по математике можно разными средствами: особым, красочным оформлением классного помещения, в котором отражалось бы сочетание знакомого детям мира сказок с таинственным миром математики, необычными вступительными словами учителя. Математика и сказки! Математика и любимые герои! Интерес к математике в младших классах поддерживается занимательностью самих задач, вопросов, заданий. Говоря о занимательности, мы имеем в виду не развлечения математических заданий, либо формы, в которые они облекаются. Педагогически оправданная занимательность имеет целью привлечь внимание детей, усилить его, активизировать их мыслительную в этом смысле на внимательность в этом смысле на внеклассных занятиях всегда несет элементы остроумия, игрового настроя, праздничности.

Внеурочная деятельность по математике содействует воспитанию коллективизма, способствует воспитанию культуры чувств. Главное же значение различных видов внеклассной работы состоит в том, что она помогает усилить интерес учащихся к математике, содействует развитию математических способностей младших школьников.

Необходимость массовой внеурочной деятельности по математике с учащимися начальных классов вызвано тем, что наше общество ждет от школы всесторонней подготовки подрастающего поколения в жизни. Без формирования интереса к математике, без образования и воспитания учащихся средствами математики, начиная с младшего школьного возраста, без взаимосвязи классной и внеклассной работы школа не сможет с надлежащей полнотой выполнить этот заказ общества. Внеурочная деятельность по математике нужно рассматривать как одно из важных средств совершенствования математических знаний в начальных классах общеобразовательной школы.

Внеурочная деятельность может влиять на качество знаний непосредственно через содержание заданий, в частности, в результате поддержания интереса к предмету.

Внеурочная деятельность по математике создает дополнительные возможности учителям начальных классов по осуществлению дифференцированного подхода к «средним» и «слабым» учащимся для достижения планируемых результатов обучения. В этом случае она может способствовать совершенствованию математических знаний и умений.

Методика организации и проведения внеурочной деятельности, ориентированная на совершенствование математических знаний младших школьников, позволяющая сочетать групповые, индивидуальные и массовые формы работы.

Внеурочная деятельность в начальных классах должны быть связаны с классными. Добиваясь единства урочной и внеурочной деятельности в начальных классах, учителя совершенствуют математические знания учащихся, развивают их познавательный интерес, расширяют кругозор.

Массовая внеурочная деятельность по математике в начальных классах может успешно осуществляться, оказывая положительное влияние на совершенствование математических знаний учащихся, при соблюдении некоторых условий:

· в разных формах она должна проводиться со всеми учащимися систематически с постоянной опорой на индивидуальные особенности младших школьников;

· содержание занятий должно быть связано с программой математики начальных классов, что не препятствует использованию во внеклассной работе внепрограммного материала для совершенствования математических знаний учащихся младших классов;

· использование различных форм, методов и средств обучения на внеклассных занятиях должно определяться целью занятий, быть ориентировано на дальнейшее развитие учащихся, на подготовку их к обучению в средних и старших классах;

· обязательна непрерывность и системность включения всех учащихся начальных классов в разные виды внеклассной работы по математике.

Принципы построения содержания внеурочной деятельности :

1) материал должен излагаться так, чтобы раскрыть ребенку ведущие, общие свойства данной области действительности, подлежащей дальнейшему изучению;

2) практические умения и навыки необходимо строить на базе соответствующих теоретических сведений;

3) в содержание внеурочной деятельности включаются определенные системы упражнений, обеспечивающие овладение способом анализа материала и средствами моделирования открываемых свойств, а также упражнения по использованию детьми уже готовых моделей для открытия новых свойств материала;

4) при подборе материала обязательно нужно учитывать индивидуальные особенности развития младших школьников.

При таком построении учебного процесса познавательная деятельность младших школьников приобретает иной характер, чем при обычном обучении, у них развивается способность теоретического мышления, что помогает совершенствованию математических знаний, умений и навыков.

Рекомендуются следующие формы проведения внеурочной деятельности с учащимися:

• творческие исследовательские проекты;

• математические кружки, спецкурсы;

• математические игры, конкурсы, викторины и олимпиады;

• математические вечера, спектакли, постановки;

• математические экскурсии;

• внеклассное чтение математической литературы;

• математические рефераты и сочинения;

• школьная математическая печать;

• консультации, конференции;

• подготовка справочников.

Краткое описание некоторых форм проведения внеурочной деятельности:

Математический кружок.

Математический кружок, как правило, проводится с учащимися 2-3 классов, проявляющими интерес к математике. Основной принцип работы кружка - постепенное увеличение нагрузки за счет повышения сложности заданий. Для тех, кто не в состоянии справляться с такими нагрузками, но очень хочет, можно организовать другие формы занятий.

В содержание кружковой работы входит решение задач и примеров повышенной трудности, специальные упражнения на развитие математических способностей, упражнения занимательного характера: математические фокусы, игры, инсценировки, "занимательные" квадраты, исторические сведения. На занятиях учитель проводит беседы, углубляющие имеющиеся (или сообщающие новые) теоретические сведения. Это чередуется выступлениями самих учащихся. Все эти задания должны быть направлены на повышение общей математической культуры учащихся.

Планируя работу математического кружка надо помнить, что должна быть определенная система всех занятий. План работы составляют на весь учебный год и распределяют материал так, чтобы он был связан с изучаемыми на уроках темами. Например, если в эту неделю изучили "Деление числа на произведение" и связанные с ними примеры, то на занятиях кружка надо рассмотреть аналогичные задания, но повышенной трудности.

Занятия кружка целесообразно проводить еженедельно, продолжительностью не более 45 минут.

Математический вечер

Математический вечер организуется для учащихся нескольких параллельных классов в виде соревнующихся команд.

В зависимости от формы (конкурс, КВН и др.) в период подготовки вечера членами кружка выпускается математическая газета, выбирается жюри, составляются задания для участников (задания для команд, викторина и т.п.), предлагается участникам подготовить вопросы друг другу.

Большой интерес для учащихся представляют радиогазета, видеосюжеты на математические темы, которые демонстрируются в день проведения вечера.

В плане проведения вечера целесообразно предусмотреть:

1) организационный момент, где ведущий сообщает о порядке проведения вечера;

2) беседу о математике;

3) соревнование команд;

4) математическую коллективную игру;

5) индивидуальный конкурс на лучшего математика;

6) подведение итогов.

Для проведения вечера, утренника и т.п. материалы учитель может найти в журнале "Начальная школа" и других изданиях.

Математической уголок

В результате проведения различных форм классной и внеклассной работы по математике накапливается материал, который нужно сосредоточить с определенном месте. Для этого оформляются математические уголки.

В математическом уголке целесообразно накапливать следующий материал:

1) тетрадь, в который записываются задачи на различные темы, составленные самими учащимися;

2) альбом с вырезками из газет, журналов и т.п., в которых отражены числовые данные из разной области деятельности людей (статистические данные по стране, области, городу, и др.);

3) сборник интересных математических сведений под названием "Знаете ли вы, что ...";

4) плакаты с сообщениями об олимпиадах, викторинах, о победителях математических мероприятий;

5) математические инструменты (по необходимости) и наглядные пособия.

В математическом уголке периодически организуются выставка тетрадей и других работ учащихся. В связи с усилением роли учебного труда полезно вывешивать нормы оценок по математике, различные памятки типа "Как решать задачу?", "Как запоминать правило?", образцы оформления письменных работ и другие.

Для успешной работы уголка выделяют ответственных учеников, которые отвечают за определенное направление работы, исходя из плана учителя.

В работе математического уголка отражается деятельность учащихся и поэтому большая часть инициативы должна принадлежать им.

Математические викторины, олимпиады

Викторины проводят с целью повышения интереса учащихся к математике, для выявления любителей математики, лучшего математика. Тема викторины и время его проведения намечаются заранее (например: решение задач, письменные вычисления, геометрические задания и др.). Объем заданий зависит от уровня математической подготовки учащихся (обычно предлагают 8-10 заданий). Задания выполняются устно или письменно и оцениваются очками.

До проведения викторины учитель ведет разъяснительную работу среди учащихся о ее целях и задачах. При проведении викторины он выступает в качестве ведущего. Читает задания, определяет качество ответов и при необходимости их анализирует. В качестве помощников он может привлечь учащихся более старших классов в качестве жюри, который оценивает ответы и подсчитывает очки.

Чаще всего викторина проводится так, что на определенный срок (например, неделю) предлагается несколько вопросов, заданий. Эти задания могут быть предложены через стенную газету либо оформлены на специальном плакате. Дети в течение указанного срока оформляют ответы и с указанием фамилий, класса сдают учителю или кладут в специальные конверты (кармашки), прикрепленные возле стенгазеты или плаката. Итоги подводятся либо учителем, либо членами кружка.

В викторине должны быть вопросы различной трудности, чтобы в ней могло участвовать большинство учащихся.

Олимпиады в школах проводятся раз в год с целью повышения интереса учащихся к математике, расширения их кругозора, выявления наиболее способных учащихся, повышения общего уровня преподавания математики в начальных классах. Она проводится в основном для третьеклассников.

Школьные олимпиады проводятся в два тура. В первом туре, с более легким заданием, обычно участвуют большинство учащихся. Тех учащихся, которые наберут не менее 70% из возможных, допускают к участию в решающем, втором туре. Победители становятся кандидатами для участия в районной или городской математической олимпиаде. При проведении олимпиад задания даются из различных разделов математики: арифметики, элементов алгебры и геометрии. Задания предлагаются в одном варианте и выполняются только письменно, с подробным объяснением решения.

Математическая газета

Математическая газета имеет целью развитие интереса к математике.

Инициативная группа из 3-4 человек или редколлегия вовлекает учащихся в работу по сбору материала. Отбором материала в соответствии с вычислительными навыками читателей-учащихся руководит учитель. Газета должна содержать материал как для сильных, так и для средних и слабых учащихся.

К оформлению газеты привлекаются учащиеся, а иногда и родители. Организатором выпуска газет может стать математический кружок. Первый номер газеты должен быть особенно красочным и содержательным, оформлен соответствующими рисунками.

Если мало материала для выпуска математической газеты, можно организовать математический уголок в общешкольной или классной газете, поместив в нем математические загадки, головоломки, задачи, ребусы и т.п. Интерес к газете возрастает, если газетный материал используется в классе. Например, учащимся, справившимся с решением газетных головоломок или задач, можно дать на уроке время для их объяснения классу, или же учитель на уроке разбирает с классом какую-нибудь интересную задачу, головоломку, вводя таким образом занимательную математику в классные занятия.

В содержании газеты могут быть задачи, ребусы, головоломки, загадки и другой занимательный материал. Интерес для учащихся представляет исторические сведения из математики, из математической жизни класса, школы. Газеты целесообразно сохранять и в будущем использовать на уроках как наглядные пособия.

Математические экскурсии

В реализации практической направленности обучения и усиления внеклассной работы по математике большое значение имеют экскурсии. В их планировании и проведении полезно соблюдать следующие рекомендации:

1. Организация и проведение экскурсий слагаются из следующих этапов:

1) подготовка к экскурсии учителя и составление плана,

2) подготовка детей - участников экскурсии,

3) работа детей во время экскурсии,

4)подведение итога экскурсии и использование наблюдений и материалов, собранных во время экскурсии.

2. Руководителю экскурсии заранее следует посетить место проведения экскурсии, осмотреть объекты, побеседовать с теми специалистами, которые помогут провести экскурсию.

3. В плане проведения экскурсии определяют ее цели и организационные вопросы. Все это потом доводится до сведения учащихся в виде подробного инструктажа (куда и зачем идем, что будем делать, что и как записывать и т.п.).

4. В ходе экскурсии руководитель контролирует выполнение учащимися поставленных перед ними задач и занятость каждого участника.

5. При подведении итогов, кроме прочего, выясняют, что нового узнали дети.

Вопрос № 8.

Организация деятельности учащихся на уроке открытия новых знаний

Актуализация знаний учащихся – это часть урока, смысл которой состоит как в проверке и контроле, так и в подготовке к изучению нового материала. Прежде всего, учитель сосредотачивает внимание учащихся на основных идеях, правилах, которые лягут в основу изучения последующего материала. Учителю важно понять индивидуальные особенности выполнения заданий каждым учеником, особенности формирования учебных навыков.

Познавательная активность и интерес на уроке существенно зависят от проведения этой части урока.

Большое значение для формирования интереса и сосредоточения мысли имеет форма постановки целей и задач урока. Постановка целей и задач занимает обычно мало времени, но создаёт направленность учебной деятельности и имеет большое воспитательное воздействие.

Открытие нового, его последующее закрепление и включение в систему знаний – важная часть в структуре урока, позволяющая формировать у учащихся метапредметные универсальные учебные действия.

Первичное закрепление и включение в систему знаний учебного материала – важная часть в структуре урока, позволяющая формировать у учащихся метапредметные универсальные учебные действия. Первичное закрепление как система упражнений, самостоятельных работ, специальных заданий, проводится как часть урока после открытия нового. В процессе закрепления сосредотачивается внимание на главных, опорных пунктах материала, связи теоретических положений с практической учебной деятельностью, на процессе формирования универсальных учебных действий. Учитель здесь получает обратную связь, информацию о том, насколько успешно идёт формирование знаний, умений и навыков, универсальных учебных действий. Такой анализ помогает подобрать соответствующие виды упражнений и самостоятельных работ для овладения учебным материалом.

Тренировочные упражнения – это систематизация, обобщение, воспроизведение учебного материала по темам, разделам, курсам. Сложность здесь в выделении основных идей и подборе упражнений и заданий. Учитель заранее намечает план повторения, какие вопросы будут заданы учащимся, какой материал они будут воспроизводить по памяти, какой – пользуясь учебником и справочной литературой, какие тренировочные или творческие упражнения будут даны. Решение проблемных задач и ситуаций, выполнение творческих заданий значительно активизирует деятельность учащихся.

Подведение итогов урока – это относительно самостоятельная часть урока, которая заключается в напоминании главных идей изученного и сосредоточении внимания на связи теоретических положений с упражнениями. Эту часть урока нельзя недооценивать. За 1-3 минуты учащиеся с помощью учителя воспроизводят основное содержание урока, говорят о трудностях в работе и путях их устранения.

Домашнее задание – это один из видов самостоятельной деятельности учащихся. Учитель, сообщая домашнее задание, разъясняет основные идеи и способы его выполнения. Главная задача учителя состоит в том, чтобы помочь ученикам организовать свой домашний учебный труд. Учитель должен быть уверен, что каждый ученик знает, как его нужно выполнять, умеет пользоваться учебной литературой. Инструкция о выполнении домашнего задания должна даваться чётко, кратко, последовательно. Полезно спросить нескольких учеников о том, как они поняли задание, или дать образец выполнения задания.

Вопрос № 9.

Организация деятельности учащихся при закреплении знаний, умений и навыков.

На уроке комплексного применения знаний и умений учащиеся обучаются применять полученные знания и навыки в жизненных условиях, что формирует творческую активность в решении различных жизненных проблем и задач.

На уроке обобщения и систематизации знаний учащиеся не только повторяют пройденный материал, но и приводят понятия в стройную систему, предусматривающую раскрытие и усвоение связей и отношений между ее элементами.

Структура урока комплексного применения знаний и умений (урока закрепления).

1) Организационный этап.

2) Проверка домашнего задания, воспроизведение и коррекция опорных знаний учащихся. Актуализация знаний.

3) Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.

4) Первичное закрепление

а) в знакомой ситуации (типовые)

б) в изменённой ситуации (конструктивные)

5) Творческое применение и добывание знаний в новой ситуации (проблемные задания)

6) Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению

7) Рефлексия (подведение итогов занятия)

Познавательная активность и интерес на уроке существенно зависят от проведения этой части урока.

Закрепление как система упражнений, самостоятельных работ, специальных заданий, проводится часть урока на уроках комплексного применения знаний и умений или на уроках обобщения. В процессе закрепления сосредотачивается внимание на главных, опорных пунктах материала, связи теоретических положений с практической учебной деятельностью, на процессе формирования универсальных учебных действий. Учитель здесь получает обратную связь, информацию о том, насколько успешно идёт формирование знаний, умений и навыков, универсальных учебных действий. Такой анализ помогает подобрать соответствующие виды упражнений и самостоятельных работ для овладения учебным материалом.

Вопрос № 10.

Понятие множества. Способы задания множеств. Отношения между множествами

В математике часто рассматривают группы объектов как единое целое: натуральные числа, треугольники, многогранники и т.д. Все эти совокупности объектов называются множествами.

Их обозначают прописными буквами латинского алфавита: А, В, С и т.д.

Объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества, их обозначают строчными буквами латинского алфавита: а, в, с и т.д.

В математике выясняют: принадлежит ( ) элемент множеству или не принадлежит ( ) элемент множеству.

Виды множеств: пустое (), конечное, бесконечное.

Способы задания множества:

1) Перечислением его элементов.

2) С помощью характеристического свойства.

Напр., А – множество треугольников с четырьмя сторонами ; А=

В = .- множество букв в слове математика.

Если множество конечное, то можно подсчитать количество элементов в этом множестве,

Напр. (В) = 6.

Числовые множества:

– натуральные числа;

– целые числа;

Q – рациональные числа;

R – действительные числа.

Числовые множества можно изображать на координатной прямой.

Числовые множества можно задавать в символическом виде.

Напр.,

0 2

Отношения между множествами.

Отношения между двумя множествами удобно изображать с помощью кругов Эйлера. Возможны 3 случая:

1) Все элементы множества В являются элементами множества А; 2)Некоторые элементы множества В являются элементами множества А;

3)У множества В нет элементов, которые входят во множество А.

1) Если множество В А, то говорят, что множество В является подмножеством множества А.( все элементы множества В являются элементами множества А).Пустое множество является подмножеством любого множества. Любое множество является подмножеством самого себя.

Если множество А содержит n элементов, то у него подмножеств.

Понятие подмножество является обобщением понятия части и целого.

2) Если В А и А В, то говорят, что А=В. 3) N Z Q R

Вопрос № 11.

Пересечение множеств. Нахождение числа элементов в пересечении двух множеств.

Пересечение множеств А и В – это множество, состоящее из общих элементов множеств А и В.

Свойства пересечения;

1.Коммутативное свойство:

АВ=ВА;

2.Ассоциативное свойство:

АВС = АВС;

3.Дистрибутивные свойства:

а) (АВ)С=(АС)(ВС);

б) (АВ)С=(АС)(ВС).

Число элементов в пересечении:

n(АВ)= n(А)+n(В) – n(А=

=n(А- n(А\ В)- n(В\ А)=

= n(А) – n(А\ В)=

= n(В) – n(В\А)

Вопрос № 12.

Объединение множеств. Нахождение числа элементов в объединении двух множеств.

Объединение множеств А и В – это множество, состоящее из всех элементов множеств А и В.

Свойства объединения.

объединения.

1.Коммутативное свойство:

АВ=ВА.

2.Ассоциативное свойство:

АВС=АВС.

3.Дистрибутивные свойства:

а) (АВ)С=(АС)(ВС);

б) (АВ)С=(АС)(ВС).

Число элементов в объединении

n(А=n(А)+n(В) – n(АВ)=

= n(А) + n(В\ А)=

=n(В) + n(А\ В)=

= n(А\ В)+ n(АВ)+ n(В\ А)

Вопрос № 13.

Разность множеств. Нахождение числа элементов в разности двух множеств.

Разность множеств А и В – это множество, которое состоит из элементов множества А, которые не входят во множество В.

Если А, то А \ В называют дополнением В до А.

Свойства разности:

1.(А\В)\С=(А\С)\В

2.(АВ)\С=(А\С)(В\С)

3.(А\В)С=(АС)\(ВС)

4.А\(ВС)=(А\В)(А\С)

5.А\(ВС)=(А\В)(А\С)

Число элементов в разности

n(А\ В)= n(А- n(АВ)- n(В\ А)=

=n(А)- n(АВ)

Аналогично, n(В\А)= n(А- n(АВ)- n (А \ В)=

=n(В)- n(АВ)

Вопрос № 14.

Совместные действия над множествами.

1.Операция пересечения сильнее операций объединения и вычитания. 2.Операции объединения и вычитания равномощны.

Возможны случаи:

Вопрос № 15.

Классификация элементов данного множества.

Классификация – это действие распределения объектов по классам на основании сходства объектов внутри класса и их отличия от объектов других классов.

В математике – это разбиение множества Х на попарно не пересекающиеся подмножества, удовлетворяющее трём условиям:

1)Ни один из классов не может быть пустым;

2)Классы попарно не пересекаются;

3)Объединение классов равно самому множеству Х.

I.Разбиение множества на классы при помощи одного или нескольких свойств.

1.При помощи одного свойства множество разбивается на две группы:

а) первый класс – элементы, обладают этим свойством;

б) второй класс – элементы не обладают этим свойством.

При этом основания (признаки) для классификации могут быть разными.

2.При помощи двух свойств множество разбивается

а) на 3 класса двумя способами: например,

а.1.) Х – множество натуральных чисел;

свойство 1: быть кратным 3,

свойство 2: быть кратным 6.

Решение: – числа, кратные 6; – числа, кратные 3, но не кратные 6;

– числа, не кратные 6 и не кратные 3( не кратные 3).

а.2.) Х множество треугольников;

свойство 1: быть прямоугольным;

свойство 2: быть тупоугольным.

Решение: – треугольники, прямоугольные; – треугольники, тупоугольные; – треугольники не прямоугольные и не тупоугольные.

б) на 4 класса: например,

Х – множество натуральных чисел;

Свойство 1: быть кратным 3;

Свойство 2: быть кратным 5.

Решение: – числа, кратные 3 и 5; – числа, кратные 3, но не кратные 5;

– числа, кратные 5 и не кратные 3; – числа не кратные 3 и не кратные 5.

II. Разбиение множества на классы, которые называют классами эквивалентности.

Определение: Отношение хRу на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Отношение эквивалентности разбивает множество на классы, которые называют классами эквивалентности.

Принцип разбиения на классы при помощи отношения эквивалентности очень важен.

Во-первых, элементы одного класса – взаимозаменяемы;

Во-вторых, свойства, присущие какому-то классу можно изучать по одному какому-то представителю этого класса.

В-третьих, разбиение на классы эквивалентности используется для введения новых понятий.

Например.

Рассмотрим отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3» на множестве Х= }. Оно разбивает множество на попарно непересекающиеся подмножества == }, == == }, объединение которых равно Х.

В данном случае разбиение на классы эквивалентности используется для введения нового понятия «быть кратным трём».

Вопрос № 16.

Декартово произведение множеств. Нахождение числа элементов в декартовом произведении двух множеств.

Определение 1. Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех пар , первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В.

Определение 2. Декартовым произведением множеств , …, называется множество всех кортежей длины n, первая компонента которых принадлежит множеству , вторая – множеству , …, n –я – множеству.

Свойства операции нахождения декартова произведения множеств:1. Свойством коммутативности не обладает;

2. Свойством ассоциативности тоже не обладает;

3.Она дистрибутивна относительно объединения и вычитания множеств, т.е. для любым множеств А, В, С выполняются равенства:

(АВ)С=(АС)(ВС); (А\В)С=(АС)\(ВС)

Декартово произведение множеств - можно изображать на координатной плоскости.

Декартовым произведением множеств - будет являться множество точек плоскости (х; у), первая координата которых х.

Изображение декартова произведения на координатной плоскости.

Рассмотрим все возможные случаи:

1);

2) ;

3)− 2 отрезка, параллельных оси Ох;

4) - прямоугольник.

В математике рассматривают декартово произведение трёх, четырёх и вообще n множеств.

Нахождение элементов декартова произведения конечных множеств используется при решении комбинаторных задач:

Например.

№ 1.У Маши 4 блузки и 3 юбки. Сколько различных комплектов одежды она может составить?

Решение.

Способом перебора, строя дерево возможных вариантов.

Блузки: б к с ж

/ | \ / | \ / | \ / | \

Юбки ч к б ч к б ч к б ч к б

Ответ: 12 комплектов.

Способом перебора, с помощью таблицы.

Блузки

Ответ: 12 комплектов.

№ 2. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3?

Решение: Способом перебора.

Ответ: 9 чисел: 11, 12, 13, 21,22,23,31,32,33.

Число элементов в декартовом произведении конечных множеств находится по формуле:

n (АВ) = n(А) n(В)

Вопрос № 17.

Понятие бинарного отношения на множестве. Способы задания отношений; их свойства. Отношение эквивалентности.

Отношение порядка.

В математике изучают связи между элементами одного множества. Называют их отношениями. Отношения многообразны:

· между понятиями — это отношения рода и вида, части и целого;

· между предложениями — отношения следования и равносильности;

· между числами — «больше», «меньше», «равно», «больше на ...», «больше в ...», «следует за» и др.

Если рассматривают отношения между двумя элементами, то их называют бинарными; отношения между тремя элементами — тернарными; отношения между п элементами — n -арными.

Все названные выше отношения являются бинарными. Примером тернарного отношения может служить отношение между точками прямой — «точка х лежит между точками у и z ».

Изучение отношений между объектами важно для познания как самих объектов, так и для познания реального мира в целом. В начальном курсе математики рассматриваются в основном бинарные отношения. Определение. Бинарным отношением на множестве Х называется всякое подмножество декартова произведения Х Х.

Условимся отношения обозначать буквами R , S , Т, Р и др. Если R - отношения на множестве Х, то, согласно определению, хRу є Х×Х.

С другой стороны, если задано некоторое подмножество множества Х×Х, то оно определяет на множестве Х некоторое отношение R. Утверждение о том, что элементы х и у находятся в отношении R , можно записывать так: (х, у) є R или х R у. Последняя запись читается:

«Элемент х находится в отношении R с элементом у».

Отношение можно задать:

1)с помощью характеристического свойства;

2)с помощью графа;

3) с помощью таблицы;

4) перечислением пар;

5) с помощью графика.

Для отношения xRy можно задать и ему обратное .

Понятием отношения, обратного данному отношению, часто пользуются при начальном обучении математике.

Например, чтобы предупредить ошибку в выборе действия, с помощью которого решается задача: «У Пети 7 карандашей, что на 2 меньше, чем у Бори. Сколько карандашей у Бори?» — ее переформулируют: «У Пети 7 карандашей, а у Бори на 2 больше. Сколько карандашей у Бори?» Видим, что переформулировка свелась к замене отношения «меньше на 2» обратным ему отношением «больше на 2».

Свойства отношений:

рефлективность, симметричность, антисимметричность, транзитивность, связность.

Отношение эквивалентности, его связь с разбиением множества на классы.

1)Определение1: Отношение на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Рассмотрим отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3» на множестве Х= }. Оно разбивает множество на попарно непересекающиеся подмножества == }, == == }., объединение которых равно Х. Т.е. отношение эквивалентности разбивает множество на классы, которые называют классами эквивалентности.

Принцип разбиения на классы при помощи отношения эквивалентности очень важен.

Во-первых, элементы одного класса –взаимозаменяемы;

Во-вторых , свойства, присущие какому-то классу можно изучать по одному какому-то представителю этого класса.

В-третьих, разбиение на классы эквивалентности используется для введения новых понятий.

Например, в данном случае для введения понятия «быть кратным трём». Вообще, любое понятие которым оперирует человек – это некоторый класс эквивалентности, например, «книга», «стол» , «дом».

Отношение порядка

Определение 2: Отношение на множестве Х называется отношением порядка, если оно обладает свойством антисимметричности и транзитивности.

Например, отношение «меньше» на множестве натуральных чисел, отношение «короче» на множестве отрезков.

Если отношение порядка связно, то оно является отношением линейного порядка.

Например, отношение «меньше» на множестве натуральных чисел.

Множество Х называется упорядоченным, если на нём задано отношение порядка. А если это отношение линейного порядка, то про множество Х говорят, что оно линейно упорядоченно, а отношение линейно упорядочивает множество Х.

Вопрос № 18.

Понятие соответствия. Способы задания соответствий. Соответствие, обратное данному соответствию. Взаимно однозначные соответствия.

В математике изучаются взаимосвязи между элементами двух множеств. Например, между множеством выражений и множеством их значений; множеством фигур и множеством их площадей; множеством уравнений и множеством их корней.

Определение: Соответствие между элементами множеств Х и У - это подмножество декартова произведения множеств Х Х

Способы задания соответствий:

1. С помощью характеристического свойства,

2. С помощью графа,

3. С помощью таблицы,

4. С помощью перечисления пар,

5. С помощью графика.

Иногда приходится рассматривать соответствие, обратное данному.

2) Соответствия называются взаимно однозначными, если каждому элементу из множества Х соответствует единственный элемент из множества У и наоборот.

Графики взаимно однозначных соответствий симметричны относительно прямой у=х.

Понятие взаимно однозначности позволяет определить отношение равномощности множеств.

Определение: Множества Х и У наз. равномощными, если между нами можно установить взаимно однозначное соответствие.

Равномощные конечные множества называются равночисленными.

Понятие равчисленности используется для введения понятий

«равно», «больше на…», «меньше на…».

Если бесконечное множество равномощно множеству N , то его называют счётным.

Вопрос № 19.

Числовые функции. Способы их задания и свойства. Прямая и обратная пропорциональность, их свойства и графики.

Числовой функцией называется такое соответствие между числовым множеством Х и множеством R действительных чисел, при котором каждому числу из множества Х соответствует единственное число из множества R.

Множество Х называют областью определения функции.

Множество чисел вида f(х) для всех х из множества Х называют областью значений функции f.

Способы задания:

· с помощью формулы;

· с помощью таблицы;

· с помощью графика.

Определение. Функция f называется возрастающей на некотором промежутке А, если для любых чисел , из множества А выполняется условие: f( ) f( ).

Определение. Функция f(х) называется убывающей на некотором промежутке А, если для любых чисел , из множества А выполняется условие: f( ) f( ).

По графику возрастающей функции движемся слева направо снизу вверх.

По графику убывающей функции движемся слева направо сверху вниз.

Прямая и обратная пропорциональность, их свойства.

Прямая пропорциональность

Обратная пропорциональность

Задаётся формулой у= k x, где k- постоянное число, коэффициент пропорциональности.

При k возрастает,

при k 0, у- убывает.

График прямая линия.

Свойство =

Задаётся формулой у= , где k- постоянное число , коэффициент пропорциональности

При k- убывает.

при k- 0, у- возрастает. График гипербола.

Свойство =

В начальных классах используют свойства прямой и обратной пропорциональности при решении текстовых задач различными способами:

а) методом приведения к единице;

б) методом функционального подхода - через кратное отношение однородных величин.

Например:

№ 1. Решите задачу двумя способами.

Из 12 кг свежих яблок получается 3 кг сушёных. Сколько килограммов свежих яблок надо взять, чтобы получить 6 кг сушёных?

Решение

1)(12:3) 6=24(кг)

2) 12 (6:3) =24(кг)

Ответ: 24кг свежих яблок надо взять, чтобы получить 6 кг сушёных.

№2. Решите задачу двумя способами: Два участка имеют одинаковую площадь. Ширина первого 30 м, а ширина второго – 60 м. Найти длину первого участка, если длина второго 120 м.

Решение

1)(120 60):30=240(м)

2)120 (60:30)=240(м)

Ответ: 240 м длина первого участка.

Вопрос № 20.

Объём и содержание математических понятий. Отношения между понятиями

Математические понятия обладают рядом особенностей:

1) они в реальности не существуют( созданы умом человека);

2)это идеальные объекты, отражающие реальные предметы и явления.

Множество объектов, обозначаемых одним термином (словом или группой слов) называется объёмом понятия.

Любой математический объект обладает определёнными свойствами:

существенными и несущественными.

Содержание понятия – это множество всех существенных свойств объекта, отражённых в этом понятии.

Между объёмом и содержанием существует взаимосвязь: чем больше объём, тем меньше содержание.

Например, Содержание понятия квадрат больше, чем у понятия прямоугольник, а объём меньше.

Если объёмы двух понятий совпадают, то говорят, что они тождественны.

Если объёмы понятий связаны отношением включения, то говорят, что понятия находятся в отношении «Рода и вида».

Видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия.

Отношения между понятиями удобно устанавливать с помощью кругов Эйлера.

Понятия могут находиться и в отношении «Целого и части». Например: Отрезок – это часть прямой.

Часть может и не обладать некоторыми свойствами целого.

Вопрос № 21.

Определение математического понятия. Виды определений. Структура определения через род и видовые отличия.

Определение – это предложение, разъясняющее суть нового термина

( или обозначения).

В математике используют определения:

Неявные – это определения через отношение предмета к своей противоположности

Явные – это определения, раскрывающие существенные признаки предмета.

· Остенсивные (через показ объектов)

· Контекстуальные (через текст)

- через род и видовое отличие;

- через часть целого;

- генетические и др.

В определениях математических понятий указываются такие свойства объектов, которые дают возможность распознать однозначным образом эти объекты, т. е. установить относительно любого объекта, принадлежит ли он к объему данного понятия или нет.

Структура определения через род и видовое отличие:

Определение через род и видовое отличие состоит из двух понятий: определяемого и определяющего, а сама операция включает в себя два приема:
1) подведение определяемого понятия под более широкое по объему родовое понятие (род) и
2) указание видового отличия, т.е. признака, отличающего определяемый предмет (вид этого рода) от других видов, входящих в данный род

Определяемое понятие = Родовое понятие + видовое отличие.

Определяющее понятие.

Определяемое понятие - понятие, существенные признаки которого отыскиваются.

Определяющее понятие – понятие, посредством которого определяется неизвестное понятие

Определение должно быть соразмерным, должно быть ясным, не должно содержать порочного круга.

Распознавание объектов с помощью определения через род и видовые отличия – это коньюнкция родового понятия и видовых отличий.

Задачи на распознавание математических объектов целесообразно применять на этапе контроля знаний, для выяснения сформированности того или иного понятия.

Вопрос № 22.

Высказывания и высказывательные формы. Смысл слов «и», «или». Правила нахождения множеств истинности составных высказывательных форм.

Математические предложения – это предложения, относительно которых можно сказать истинны они или ложны.

Элементарные предложения – это высказывания и высказывательные формы(предикаты).

Множество значений х, при которых высказывательная форма А(х) превращается в истинное называется множеством истинности высказывательной формы А (х), причём Х.

Составные предложения( содержащие логические связки(«и», «или») : коньюнкция(АВ) и дизъюнкция(АВ).

Способы установления значения истинности составных высказываний:

С помощью таблицы истинности

А	В	АВ	АВ
И	И	И	И
И	Л	Л	И
Л	И	Л	И
Л	Л	Л	Л

Нахождение множества истинности составных высказывательных форм:

= ;.

Вопрос № 23.

Структура высказываний, содержащих кванторы.

Способы установления истинности таких высказываний.

Предложения, содержащие кванторы:

а)общности (): (любой, всякий, каждый, все);

б) существования ()(существует, найдётся, некоторые, хотя бы один).

Способы установления истинности высказываний, содержащих кванторы:

	Истинность	Ложность
А	Доказывается	Показывается с помощью контр -примера
А	Показывается с помощью примера	Доказывается

Вопрос № 24.

Правила построения отрицаний высказываний различной структуры

Отрицанием высказывания А называется высказывание «не А», которое истинно, если высказывание А ложно, и ложно, когда высказывание А истинно.

Правила построения отрицаний( опровержений) высказываний различной структуры

1.Если высказывания элементарные: .с помощью частицы «не» перед сказуемым.

2.Если высказывания составные: по правилам Де-Моргана. ;

3.Если высказывание, содержит квантор, то сначала заменяется квантор, а затем строится отрицание элементарного высказывания:

;

Вопрос № 25.

Отношения логического следования и равносильности между высказывательными формами. Необходимые и достаточные условия. .

Если из истинности А следует истинность В, то говорят, что из А следует В (АВ).

Это предложение читается:

· Из А следует В;

· В следует из А;

· А достаточно для В;

· В необходимо для А;

· Если А, то В;

· Любое А есть В.

Т _В Т _А

Истинность АВ устанавливается доказательством,

ложность показывается с помощью контр примеров.

Если АВ ВА, то А В.

Читается:

1. А равносильно В;

2.А необходимо и достаточно для В.

3.А тогда и только тогда, когда В.

Истинность устанавливается доказательством, ложность показывается с помощью контр-примера.

Вопрос № 26.

Понятие умозаключения. Дедуктивные умозаключения.

Индуктивные умозаключения. Аналогия.

Умозаключение — это форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений выводится новое суждение.

Любое умозаключение состоит из посылок и заключения .

Посылками умозаключения называют исходные суждения, из которых выводится новое суждение.

Заключением называется новое суждение, полученное логическим путём.

В основе каждого дедуктивного рассуждения лежит определённое правило вывода.

Простейшие схемы дедуктивных умозаключений:

1.Правило заключения: Если АВ(х), то А(а)В(а).

2.Правило отрицания: Если АВ(х), то не ВА(а).

3.Правило силлогизма: Если АВ(х)и ВС(х), то АС(х).

Применение этих правил гарантирует, что рассуждение будет

дедуктивным, т.е. позволяет из истинных посылок выводить истинное заключение.

Индуктивные умозаключения.

1.Полная индукция (рассмотрение всех возможных случаев).

2.Математическая индукция- это метод доказательства, основанный на теореме:

Если утверждение А(n) c натуральной переменной n истинно для n =1 и из того, что оно истинно для n = k (k-произвольной число), следует, что оно истинно для следующего числа n = k+1, то утверждение А(n) истинно для любого натурального числа n.

Метод математической индукции состоит из двух частей:

1. Доказывают, что утверждение А(n) истинно для n =1, т.е. истинно высказывание А(1);

2. Предполагают, что А(n) истинно для n = k, и, исходя из этого предположения, доказывают, что утверждение А(n) истинно и для

n = k+1, т.е. что истинно высказывание А(k)

Т.е. если А(1) истинное высказывание, то можно сделать вывод о том, что утверждение А(n) истинно для любого натурального числа n.

3.Неполная индукция- это умозаключение, в котором на основании того, что некоторые объекты класса обладают определённым свойством, делается вывод о том, что этим свойством обладают все объекты данного класса.

Неполная индукция не является дедуктивным умозаключением, так как рассуждая по такой схеме можно прийти к ложному выводу.

Например,

3+5< 3

при а=1 и в=2, 1+2 > )

Аналогия – это умозаключение, в котором на основании сходства двух объектов в некоторых признаках и при наличии дополнительного признака у одного из них делается вывод о наличии такого же признака у другого объекта.

Аналогия помогает открывать новые знания, способы доказательства или использовать усвоенные способы деятельности в изменённых условиях.

Вывод по аналогии носит характер предположения, гипотезы и поэтому нуждается либо в доказательстве, либо в опровержении.

Например, число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3 ).

В начальном курсе математики большинство предположений доказываются дедуктивно.

Пусть, например, требуется решить уравнение: 7x=14. Для нахождения неизвестного множителя используется правило: «Если значение произведения разделить на один множитель (известный), то получим другой (значение неизвестного множителя)».

Это правило (общее суждение) – общая посылка. В данном уравнении произведение равно 14, известный множитель 7. Это частная посылка.

Заключение: «нужно 14 разделить на 7, получим 2».

Особенность дедуктивных рассуждений в начальных классах заключается в том, что они применяются в неявном виде, т. е. общая и частные посылки в большинстве случаев опускаются (не проговариваются), ученики сразу приступают к действию, которое соответствует заключению.

Для сознательного выполнения дедуктивных умозаключений необходима большая подготовительная работа, направленная на усвоение вывода, закономерности, свойства в общем виде, связанная с развитием математической речи учащихся. Например, довольно длительная работа по усвоению принципа построения натурального ряда чисел позволяет учащимся овладеть правилом:

«Если к любому числу прибавить 1, то получим следующее за ним число; если из любого числа вычтем 1, то получим предшествующее ему число».

Составляя таблицы +1 и – 1, ученик фактически пользуется этим правилом как общей посылкой, выполняя тем самым дедуктивные рассуждения. Примером дедуктивных умозаключений в начальном обучении математике является и такое рассуждение:

«4<5 потому, что 4 при счете называется раньше, чем 5». В данном случае общая посылка: если одно число называется при счете раньше другого, то это число меньше; частная посылка: 4 при счете называют раньше, чем 5; заключение: 4<5.

Дедуктивные рассуждения имеют место в начальном курсе математики и при вычислении значений выражений. В качестве общей посылки выступают правила порядка выполнения действий в выражениях, в качестве частной посылки – конкретное числовое выражение, при нахождении значения которого учащиеся руководствуются правилом порядка выполнения действий.

Процесс выполнения любого задания должен всегда представлять цепочку суждений (общих, частных, единичных), для обоснования истинности которых учащиеся используют различные способы.

Учитывая, что дедуктивные умозаключения доступны не всем младшим школьникам, в начальных классах используются и другие способы обоснования истинности суждений, которые в строгом смысле нельзя отнести к доказательствам.

К ним относятся эксперимент, вычисления и измерения.

Эксперимент обычно связан с применением наглядности и предметных действий.

Например, ребенок может обосновать суждение 7 > 6, выложив в одном ряду 7 кругов, под ним – 6. Установив между кругами первого и второго ряда взаимно–однозначное соответствие, он фактически обосновывает свое суждение (в первом ряду один круг без пары, «лишний», значит, 7>6). Ребенок может обращаться к предметным действиям и для обоснования истинности полученного результата при сложении, вычитании, умножении и делении, при ответе на вопросы: «На сколько одно число больше (меньше) другого?», «Во сколько раз одно число больше (меньше) другого?». Предметные действия могут быть заменены графическими рисунками и чертежами. Например, для обоснования результата деления 7:3=2 (ост.1) он может использовать рисунок:

Для формирования у учащихся умения обосновывать свои суждения полезно предлагать им задания на выбор способа действия (при этом оба способа могут быть: а) верными, б) неверными, в) один верным, другой неверным). В этом случае каждый предложенный способ выполнения задания можно рассматривать как суждение, для обоснования которого учащиеся должны использовать различные способы доказательств.

Например, при изучении темы «Единицы площади» учащимся предлагается задание :

Во сколько раз площадь прямоугольника АВСD больше прямоугольника КМЕО? Запиши ответ числовым равенством.

Маша записала такие равенства: 15:3=5, 30:6=5.

Миша – такое равенство: 60:12=5.

Кто из них прав? Как рассуждали Миша и Маша?

Для обоснования суждений, высказанных Мишей и Машей, учащиеся могут использовать как способ дедуктивных рассуждений, где в качестве общей посылки выступает правило кратного сравнения чисел, так и практический. В этом случае они опираются на приведенный рисунок.

Предлагая способ решения задачи, учащиеся также высказывают суждения, используя для их доказательства математическое содержание, данное в сюжете задачи. Прием выбора готовых суждений активизирует эту деятельность. В качестве примера можно привести такие задания:

Туристы в первый день прошли 18 км, во второй день, двигаясь с той же скоростью, они прошли 27 км. С какой скоростью шли туристы, если они затратили на весь путь 9 ч?

Миша записал решение задачи так:

1) 18:9=2 (км/ч)

2) 27:9=3 (км/ч)

3) 2+3=5 (км/ч)

Маша – так:

1) 18+27=45 (км)

2) 45:9=5 (км/ч) Кто из них прав: Миша или Маша?

Сколько картофелин собрали с 10 кустов, если с трех собрали по 7 картофелин, с четырех по 9, с шести по 8, а с семи по 4 картофелины? Маша решила задачу так:

1)73=21 (к.)

2) 47=28 (к.)

3) 21+28=49 (к.)

Ответ: 49 картофелин собрали с 10 кустов.

А Миша так решил задачу:

1)9 •4=36 (к.)

2) 86=48 (к.)

3) 36+48=84 (к.)

Ответ: 84 картофелины собрали с 10 кустов. Кто из них прав?

№ 3. Вставь числа в «окошки», чтобы получились верные равенства:

: 6 = 27; :7= 40 (ост. 4)

Учащиеся высказывают общее суждение: «если значение частного умножим на делитель, то получим делимое». Частное суждение: «значение частного – 27, делитель – 6». Заключение: «27 6».

Теперь в качестве общей посылки выступает алгоритм устного умножения, находится результат:162.Высказывается суждение: 162:6=162.

Истинность этого суждения можно проверить, выполнив деление.

Аналогично поступают со второй записью.

Составь верные равенства, используя числа: 6, 7, 8, 48, 56.

Учащиеся высказывают суждение:

68=48 (обоснование – вычисления) 56 - 48=8 (обоснование – вычисления)

86=48 (для обоснования суждения можно воспользоваться общей посылкой: «от перестановки множителей значение произведения не изменится»).

48:8=6 (тоже возможна общая посылка и т.д.).

Таким образом, в большинстве случаев для обоснования истинности суждений в начальном курсе математики учащиеся обращаются к вычислениям и дедуктивным рассуждениям. Так, обосновывая результат при решении примера на порядок действия, они пользуются общей посылкой в виде правила порядка действий, затем выполняют вычисления.

Измерение как способ обоснования истинности суждений обычно применяется при изучении величин и геометрического материала.

Например, суждения: «синий отрезок длиннее красного», «стороны квадрата равны», «одна сторона прямоугольника больше другой» дети могут обосновать измерением.

Вопрос № 27.

Методика проведения подготовительного периода при изучении нумерации в пределах 10. Методика изучения нумерации чисел первого десятка.

В изучении концентра «Десяток» выделяют три этапа: подготовительный период, изучение нумерации, изучение сложения и вычитания.

Подготовительным периодом принято называть период изучения некоторых вопросов до введения числа 1, т.е. до начала нумерации. В этот период учитель проверяет уровень математических знаний учащихся: умеют ли они считать, понимают ли смысл слов "больше", "меньше", "столько же" и какие пространственные представления у них имеются: слева - справа, вверху - внизу, впереди - позади и т.д. Все это делается в непринужденной беседе, используя предметы, картинки, палочки и др.

Полезно так же проверить знание цифр, геометрических фигур, их названий.

Основное внимание на уроках подготовительного периода (обычно 4-5 уроков) должно быть сосредоточено на выяснении, пополнении и систематизации у детей знаний, умений и навыков.

В подготовительный период рассматриваются такие вопросы:

1. Счет предметов. При счете упражняются в такой последовательности:

а) предметы в классе; б) объемные игрушки; в) предметные картинки;

г) счетные палочки; д) рисунки учебника. Полезно попытаться использовать и обратный счет:10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Выполняя упражнения в счете предметов, дети должны понять, что счет не зависит, в каком порядке мы считаем; при счете нельзя пропускать предметы, нельзя один и тот же предмет назвать дважды.

2. Больше? Меньше? Столько же? При изучении этой темы основной целью ставится научить детей практически выяснять, в какой из двух сравниваемых групп предметов больше (меньше) или в них поровну предметов.

Учитель начинает обучать приёму преобразования неравночисленных множеств в равночисленные и обратно.

3. Порядковые отношения: «стоять перед», «находиться между», «следовать за» и порядковые значения чисел.

Учитель просит нескольких учащихся встать в один ряд друг за другом и вопросами вида «Кто стоит первым?», и т.д. разъясняет смысл этих терминов. Дети должны понять, что если при счете порядок не имел значение, то здесь порядковые номер предмета зависит от порядка, в котором производился счет предметов. После работы с другими наглядными пособиями работают по рисункам учебника.

4.В подготовительный период учащиеся знакомятся с тетрадью и ее разлиновкой, другими учебными пособиями. Начинается подготовка к письму; после показа учителем на доске дети выполняют работы по образцу, данному в учебнике. В этот период с помощью родителей учащиеся должны сделать индивидуальное наборное полотно, кружки, квадраты и т.п.

Основные предметные задачи подготовительного периода:

Учить выделять свойства предметов(цвет, форма, размер).

Развивать пространственные представления.

Развивать умения сравнивать, классифицировать предметы по цвету, форме, размеру.

Формирование умения сравнивать предметы по размеру. Уточнить понятие размера (выше-ниже, шире-уже, длиннее – короче)

Закрепить умение выражать в речи признаки сходства и различия.

Формировать умение выделять общие и различные признаки предметов.

Формировать умение проводить сравнение и классификацию предметов.

Сформировать у учащихся умение выделять часть из множества предметов по характеристическому признаку.

Выделение темы "Десяток" в особый концентр объясняют следующими причинами:

1) Десять - основание десятичной системы счисления и числа от 1 до 10 образуются в процессе счета, получают название и обозначение.

2) Арифметические действия связаны с операциями над множествами. Сложение и вычитание в пределах 10 формируют навыки работы с конкретными множествами, т.к. у них число элементов не превосходят 10.

3) Используя небольшие числа, многие понятия легче демонстрировать практическими действиями для более эффективного их формирования (например, понятия равенства, неравенства, сложение, вычитание, натуральное число).

4) В концентре «Десяток» изучаются темы, которые являются основой для изучения последующих вопросов.

Например, 20+30=50 сводится к 2 дес.+3 дес.=5 дес.

При изучении нумерации чисел первого десятка учащиеся должны овладеть следующими знаниями, умениями и навыками:

· усвоить последовательность чисел от 1 до 10 и уметь вести счет в прямом и обратном направлении;

· знать, как образуется каждое число из предыдущего и следующего за ним числа;

· уметь сравнивать любые два числа, т.е. устанавливать, какое из них больше (меньше) другого и уметь записывать знаками ">", "<", "=";

· научиться воспринимать на слух и с опорой на наглядность простейшие задачи, связанные со сложением и вычитанием; знать элементы задачи и уметь их решать;

· научиться читать цифры, правильно и аккуратно писать их в тетради.

При изучении нумерации идет процесс формирования понятия числа. Учащиеся должны понять, что число 4 обозначает число элементов множеств, состоящих из четырех любых предметов: парты, столы, машины, люди, кружки, палочки и т.д.

Для образования чисел используются также упражнения:

1. Присчитывание и отсчитывание по 1. Этот прием выполняется с предметами.

2. Образование числовых последовательностей («числовых лесенок»).

3. Решение задач с помощью иллюстраций.

После ознакомления с понятием задачи учащиеся работают над составлением и их решением с помощью иллюстраций, записывая при этом решение в виде примера: 3+1=4.

4. Знакомство с печатной и письменной цифрой.

Изучаемые числа обозначают сначала печатными цифрами, которые выставляют на наборном полотне рядом с соответствующим множеством предметов. Учитель поясняет: можно сказать три квадрата, три куклы, три

машины, а можно обозначить число 3 вот таким знаком, такой цифрой. (Показывает.) Для закрепления используют взаимообратные упражнения:

а) учитель называет число предметов, учащиеся показывают цифрой;

б) учитель показывает цифру, учащиеся предметы.

Знакомя с письменной цифрой, учитель объясняет и показывает образец написания на доске. Дети повторяют объяснение вслух, рисуя при этом цифру в воздухе или обводя образец, данный учителем в тетрадях.

5. Сравнение последовательных чисел натурального ряда и записи вида 4>3, 3<4 вводятся с опорой на сравнение предметных множеств.

6. Развитие математических способностей надо начинать с первых уроков. Учитель подбирает упражнения на развитие внимания, восприятия. На этом этапе учитель начинает отрабатывать прием наблюдения. Особое внимание обращается развитию математической речи – подробные повторения (хором, индивидуально) за учителем, без учителя, объяснение своих записей и т.д.

Изучая числа первого десятка, учащиеся знакомятся и с числом нуль. Учащиеся выполняют ряд упражнений в отсчитывании предметов по одному до тех пор, пока не останется ни одного. Число 0 должно быть осознано учащимися как количественная характеристика пустого множества (т.е. такого множества, которое не содержит ни одного элемента). Дети должны понять, что число 0 меньше любого из чисел натурального ряда, оно меньше одного на 1, а потому должна стоять в ряду чисел перед числом 1.

В концентре "Десяток" основным методом обучения является метод беседы. При этом наилучших результатов можно получить, используя технологию поэтапного формирования умственных действий.

Вопрос № 28.

Методика изучения нумерации чисел в пределах 100.

В концентре «Сотня» изучаются следующие вопросы: нумерация чисел, сложение и вычитание, умножение и деление.

Эти вопросы выделяются в особый концентр по следующим причинам:

· учащиеся знакомятся с новой счетной единицей - десятком и новым понятием - понятием разряда;

· учащиеся овладевают приемами устных и письменных вычислений на основе свойства арифметических действий, связи между их компонентами и результатом;

· учащиеся усваивают таблицы сложения и умножения и соответствующие случаи обратных действий - вычитания и деления;

· вводятся составные задачи и продолжается работа над простыми задачами;

· изучаются математические выражения, продолжается изучение геометрического материала.

В результате изучения нумерации в пределах 100, учащиеся должны овладеть следующими знаниями, умениями и навыками:

· научиться считать предметы десятками и усвоить образование, название двузначных чисел;

· усвоить порядок следования чисел при счете, используя предшествующее и последующее число;

· уметь сравнивать числа, опираясь на их место в натуральной последовательности, а также на десятичный состав чисел;

· уметь читать и записывать числа в пределах 100.

Нумерация в концентре «Сотня» изучается в два этапа:

1) устная нумерация; 2) письменная нумерация.

Подготовительной работой к изучению нумерации в пределах 100 является повторение нумерации в пределах 10: образование числа (присчитывание и отсчитывание по 1), последовательность чисел от 1 до 10, прямой и обратный счет. Каждый раз учитель говорит: эти же приемы мы будем использовать при изучении нумерации чисел больше 10, но там вместо единиц мы будем употреблять десятки.

Изучение устной нумерации в пределах 100 начинается с формирования у учащихся понятия о десятке. Предлагается отсчитать десять палочек и завязать их в пучок. Можно сказать «десять», «десяток» - т.е. десять единиц образуют десяток. Отсчитав по 10 палочек, мы получим еще 1 десяток и будет 2 десятка и т.д. Практически выясняем, что эти десятки можно складывать и вычитать как простые единицы.

Аналогично рассматриваются следующие числа второго десятка, после чего надо обратить внимание детей на то, что в названиях чисел от 11 до 19 первая часть слова обозначает число единиц, а в числе 20 первая часть слова обозначает число десятков.

При изучении письменной нумерации учитель использует абак, где в кармашках верхнего ряда ставятся палочки, нижнего ряда – цифры. Кроме этого большую помощь оказывает более раннее ознакомление с нумерационной таблицей и общей схемой разбора числа.

Предлагая нумерационную таблицу, учитель говорит, что к концу обучения в 4 классе мы будем знать эту таблицу полностью, сегодня начнем с ней работать и постепенно будем усваивать то, что пока нам доступно.

Нумерация чисел от 20 до 100 идет по такому же плану.

При изучении нумерации учащиеся знакомятся с разрядом и разрядным числом. После этого знакомятся с представлением числа в виде суммы разрядных слагаемых.

На знании разрядного состава числа основано решение примеров вида 10+2=12, 12-2=10, 12-10=2.

Учащиеся знакомятся с понятиями: однозначное и двузначное число, четное и нечетное число.

Вопрос № 29.

Методика изучения нумерации чисел в пределах 1000.

Нумерация в пределах 1000 и арифметические действия выделяются в особый концентр по следующим причинам:

· здесь заканчивается изучение нумерации чисел первого класса, класса единиц (сотни, десятки, единицы), что является основой для изучения нумерации многозначных чисел;

· закрепляются знания устных и письменных приемов вычислений;

· вводятся устные приемы умножения и деления;

· далее продолжается решение составных задач с новыми величинами, изучение геометрического и алгебраического материала.

В результате изучения нумерации чисел в пределах 1000 учащиеся должны:

· уметь читать и записывать трехзначные числа;

· понимать образование чисел из сотен, десятков, единиц;

· усвоить названия разрядных единиц, их соотношение и уметь представлять число как сумму разрядных слагаемых;

· уметь применять знание нумерации при устных вычислениях.

Методика изучения нумерации в пределах 1000 аналогична методике изучения нумерации в пределах 100. Разница только в том, что здесь добавляется еще один разряд - разряд сотен.

Перед изучением нумерации в пределах 1000 учитель посвящает один урок повторению всех видов упражнений по нумерации в пределах 100, работает по общей схеме разбора числа, повторяет все термины.

На следующем уроке учащиеся знакомятся с новой счетной единицей сотней. В практике часто используют палочки или пучки палочек, можно также использовать наглядное пособие «Квадраты и полоски». Можно также использовать полоски с кругами.

С помощью наглядных пособий учащиеся отсчитывают 10 десятков и заменяют их одной сотней, затем отсчитывают 10 сотен и заменяют их одной тысячей.

При хорошо развитом восприятии и воображении достаточным оказывается и рисунок учебника.

При изучении письменной нумерации в абаке появляется еще один кармашек с надписью «Сотни». Продолжается работа по нумерационной таблице. Основные виды упражнений такие, какие указаны в общей схеме разбора числа.

Для закрепления нумерации в пределах 1000 вводятся величины: километр, килограмм, грамм и соотношения между ними.

Вопрос № 30.

Методика изучения нумерации многозначных чисел.

Нумерация многозначных чисел и действия над ними выделяются в особый концентр по следующим причинам:

· многозначные числа образуются, называются, записываются с опорой и на понятие разряда, и на понятие класса;

· арифметические действия, в основном, выполняются с использованием письменных вычислений.

В результате изучения нумерации многозначных чисел учащиеся должны:

· усвоить названия и последовательность чисел натурального ряда в пределах класса миллионов, понять, как они образуются, знать их десятичный состав;

· знать названия классов (класс единиц, класс тысяч, класс миллионов) и разрядов внутри каждого класса (единицы, десятки, сотни, единицы тысяч, десятки тысяч и т.д.);

· научиться читать, записывать, сравнивать, упорядочивать числа от 0 до 1000000; представлять любое число в виде суммы его разрядных слагаемых;

· уметь переносить все приемы работы над числами, изученными в предыдущих концентрах, в данный концентр.

· устанавливать закономерность — правило, по которому составлена числовая последовательность, - и составлять последовательность по заданному или самостоятельно выбранному правилу (увеличение/ уменьшение числа на несколько единиц, увеличение/уменьшение числа в несколько раз);

· группировать числа по заданному или самостоятельно установленному признаку;

· читать, записывать и сравнивать величины (массу, время, длину, площадь, скорость), используя основные единицы измерения величин и соотношения между ними (килограмм - грамм; час - минута, минута - секунда; километр - метр, метр - дециметр, дециметр - сантиметр, метр - сантиметр, сантиметр - миллиметр).

Выпускник начальных классов получит возможность научиться:

1. классифицировать числа по одному или нескольким основаниям, объяснять свои действия;

2. выбирать единицу для измерения данной величины (длины, массы, площади, времени), объяснять свои действия.

Изучение нумерации многозначных чисел начинают с повторения нумерации чисел в пределах 1000. Повторяются все виды упражнений по общей схеме разбора числа, повторяется работа с нумерационной таблицей, все термины, относящиеся к нумерации. Наиболее удобным наглядным пособием для изучения многозначных чисел являются русские счеты.

Как демонстрационный материал учитель может использовать пособие, сделанное из миллиметровой бумаги, где 1 полоска со сторонами 10 мм и 100 мм показывает 1000 (единицы - 1 мм²). Однако, ими единицы практически трудно показать, но для изучения чисел с более высокими разрядами они незаменимы. 10 таких полосок изображают число 10000.

После ознакомления с числами 10000, 100000, учащиеся знакомятся классами: 1 класс - класс единиц, 2 класс - класс тысяч (читают по учебнику). Затем сравнивают 1 и 2 классы и устанавливают их сходство и различие: в каждом классе по три разряда, единицы каждого разряда в 10 раз больше предыдущей, но в 1 классе считают и группируют единицы, а в 2 классе - тысячи.

Далее изучаются числа 2 класса. Работа, в основном, ведется по нумерационной таблице. Выставляя соответствующие цифры, учитель обращает внимание на особенности записи чисел 2 класса: три нуля в конце обозначают отсутствие единиц 1, 2, 3 разрядов, т.е. отсутствие единиц 1 класса, но не отсутствие самих разрядов или класса. Рассматривая десятичный состав чисел 2 класса, учащиеся говорят: 392000 - это 3 сотни тысяч, 9 десятков тысяч и 2 единиц тысяч. Повторяют также другие упражнения по общей схеме разбора числа.

На следующем этапе изучаются числа, состоящие из единиц первого и второго класса. Первые упражнения проводятся по нумерационной таблице, куда выставляются карточки с цифрами. Учащимся надо показать порядок чтения таких чисел, показывая это стрелкой.

Класс тысяч			Класс единиц
Сотни тысяч	Десятки тысяч	Единицы тысяч	Сотни	Десятки	Единицы
9	2	3	4	2	7
девятьсот двадцать три тысячи четыреста двадцать семь

В дальнейшем при разборе числа ограничиваются названием общего числа разрядных единиц: 923427 - это 923427 единиц; 92342 десятка; 9234 сотни; 923 тысячи; 92 десятки тысяч; 9 сотен тысяч.

Для закрепления нумерации многозначных чисел рассматриваются, в частности, такие упражнения:

а) устное сложение и вычитание вида 17350-350, 40000+60 и т.п.;

б) во сколько раз увеличится число, когда в его записи справа приписывается один нуль? два нуля? три нуля? (аналогично: если отбросить);

в) увеличь число в 100 раз: 57, 146, 90. Уменьши в 10 раз числа: 340, 500, 9800;

г) вычислить: 60 100+309, 9800:10-80;

д) сравни числа: 38000 и 3800.

Дополнительно к упражнениям учебника можно предложить следующие задания:

1. Запишите: а) 371 ед. в 1 классе; б) 90 ед. во 2 классе; в) 250 ед. во 2 классе; г) 8 ед. во 2 классе. Прочитать числа.

2. Запишите: а) 7 ед. во 2 классе и 6 дес. в 1 классе; б) 208 ед. во 2 классе и 80 ед. в 1 классе; в) 102 ед. в 3 классе, 102 ед. во 2 классе и 2 ед. в 1 классе. Прочитать числа. Объяснить их состав.

3. Запишите: 7 ед. 8 разряда, 4 ед. 6 разряда, 3 ед. 3 разряда. Прочитайте эти числа.

4. Запишите числа и объясните их состав: двести пять тысяч шестьдесят четыре; двести двадцать семь тысяч шестьсот; триста тысяч семь; шесть миллионов пять тысяч три; пятьсот тысяч шесть и др.

Работа по изучению нумерации завершается отработкой навыков по применению общей схемы разбора числа.

Схема разбора числа

1. Прочитайте число (9409 - девять тысяч четыреста девять).

2. Назовите число единиц каждого разряда и каждого класса ( 9 ед.1 разряда, или 9 ед; 4 ед. 3 разряда, или 4 сотни; 9 ед. 4 разряда, или 9 тысяч; 409 ед. 1 класса и 9 ед. 2 класса).

3. Назовите общее число единиц каждого разряда (9409 ед., 940 дес.,

94 сот., 9 тыс.).

4. Замените число суммой разрядных слагаемых (9409=9000+400+9).

5. Назовите число, предшествующее при счете данному, и число, следующее при счете за данным (9408, 9410).

6. Назовите наименьшее и наибольшее числа, которые имеют столько же разрядов, что и данное число

( 1000, 9999).

7. Укажите, сколько всего цифр понадобилось для записи данного числа и сколько среди них различных (всего 4 цифры, различных 3).

8. Используя все цифры данного числа, запишите наименьшее и наибольшее числа (4099, 9940).

Использование этих упражнений позволяет поэтапно усваивать и запоминать необходимые моменты (особенно терминологию).

Изучение нумерации многозначных чисел завершается ознакомлением учащихся с классами миллиардов и триллионов.

Отметим, что наиболее ответственной при изучении нумерации является усвоение терминологии. Это нужно в будущем для правильного объяснения письменных вычислений и, особенно важно в связи с изучением десятичных дробей в 5 классе (из-за незнания терминов, например, учащиеся не различают "десяток" и "десятые" и т.д.).

На уроках при изучении нумерации полезно использовать различный материал, взятый из жизни города и государств.

Скачать материал

Скачать материал "Конспект для самостоятельной подготовки к экзамену по ТОНКМ с методикой преподавания"

Как учитель может зарабатывать на Инфоуроке?

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 665 176 материалов в базе

Найти материалы

Скачать материал

Другие материалы

docx

Конспект урока. Русский язык. 2 класс. Тема "Форма и содержание слова. Способы проверки орфограмм слабых позиций". Использование групповых видов работ.

21.03.2020
225
0

docx

Технологическая карта урока по обучению грамоте "Строчная буква з" (письмо)

Рейтинг: 5 из 5

21.03.2020
252
1

pptx

Презентация на тему: «Шоколад: вред или польза?»

21.03.2020
381
4

docx

Сценарий внеклассного занятия "ПУТЕШЕСТВИЕ В СТРАНУ ЗДОРОВЬЯ" (1-4 классы)

21.03.2020
250
2

docx

Исследовательская работа "Газированные напитки - вред или польза?"

21.03.2020
10325
218

docx

Исследовательская работа "Моя будущая профессия - стоматолог" направление: социокультурное

Рейтинг: 1 из 5

21.03.2020
5629
57

docx

Тест по математике 3 класс

21.03.2020
354
1

docx

Итоговый тест по русскому языку 4 класс

Рейтинг: 1 из 5

21.03.2020
675
1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Скачать материал
- 21.03.2020 3356
- DOCX 2.5 мбайт
- 63 скачивания
- Рейтинг: 5 из 5
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Афанасьева Анна Викторовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Автор материала

Афанасьева Анна Викторовна
- На сайте: 7 лет и 1 месяц
- Подписчики: 4
- Всего просмотров: 301683
- Всего материалов: 134