Конспект урока геометрии на тему "Усеченная пирамида"

Усеченная пирамида

Цели урока:

Образовательные: изучить понятие усеченной пирамиды и площадь поверхности усеченной пирамиды;

развивать логическое и образное мышление, навыки контроля и самоконтроля;

воспитывать культуру умственного труда, интерес к изучению математики.

Развивающие: развитие внимания, познавательной активности, памяти, мышления;

Воспитательные: воспитание аккуратности, внимательности, культуры математической речи.

Задачи:

·         дать понятие усеченной пирамиды;

·         рассмотреть различные виды усеченных пирамид;

·         доказать формулу нахождения площади поверхности усеченной пирамиды;

·         научиться применять полученный знания при решении задач;

·         Сформулировать алгоритм построения

·         Рассмотреть задачи на построение, доказательство и решение задач с пирамидой

·         Развивать умение работать самостоятельно

·         Воспитывать математическую грамотность, внимание.

Оборудование:Геометрия. 10-11 классы : учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др., доска,  карточки с заданиями

Структура урока:

1.       Оргмомент. (2 минуты)

2.       Актуализация знаний. (8 минут)

3.       Изучение нового материала. (10  минут)

4.       Закрепление. Решение задач. (18 минут)

5.       Первичный контроль()

6.       Домашнее задание  (2 минуты)

7.       Подведение итогов урока. (3 минуты)

Ход урока:

1.Организационный момент. 

Приветствие. Что мы изучали на наших последних уроках, что было задано на дом?

2.Актуализация опорных знаний:

Вопросы к классу:

1. Что называется пирамидой? Правильной пирамидой? Пирамидой называется многогранник, одна из граней которого многоугольник (основание), а все остальные грани – треугольники с общей вершиной (боковые грани) Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в центр основания.

2. Что называется площадью боковой поверхности пирамиды? Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей всех боковых граней. 

 3. Что называется площадью полной поверхности пирамиды? Площадью полной поверхности называется сумма площадей всех боковых граней и основания.

4. Что называется равнобедренной и прямоугольной  трапецией? Трапеция, у которой боковые стороны равны, называетсяравнобедренной трапецией (реже равнобокой или равнобочной трапецией). Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

5. Как найти площадь трапеции? Площадь трапеции в самом простом виде –произведение полусуммы оснований на высоту.

6. Устно решите задачи (а, б) (карточки)

Дано: ABCD - трапеция; ∠BAD = 45°. ВС = 6 см, AD = 8 см.

Найти: S - ?

Решение:

     

(Ответ: S = 7 см²)

Задача 2 (устно)Дано: ABCD - трапеция. АВСК - квадрат. ВС = 4√3 см. ∠CDK = 30°. Найти: AD - ?

Решение:  (Ответ: )

3. Изучение нового материала

 Задание (вызывается ученик к доске).

Изобразить произвольную пирамиду P_{A1A2 ... Аn} (ученик работает на доске, класс в тетрадях). Учитель: «Возьмем произвольную пирамиду Р_{А1А2 ... Аn} и проведем секущую плоскость β, параллельно плоскости α основания пирамиды и пересекающую боковые ребра в точках В₁, В ₂, ... В_n. Плоскость β разбивает пирамиду на два многогранника. Многогранник, гранями которого являются n-угольники А₁А₂, ... А_n и В₁В₂, ... В_n (нижнее и верхнее основания), расположенные в параллельных плоскостях, и n-четырехугольников А₁А₂В₂В₁, А₂А₃В₃В₂, ... А_nА₁В₁В_n (боковые грани), называется усеченной пирамидой.

Отрезки A₁B₁, А₂В₂, ... А_nВ_n называются боковыми ребрами усеченной пирамиды. Усеченную пирамиду с основаниями А1А2...Аn и В1В2...Вn обозначают так: А1А2...Аn В1В2...Вn. Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой усеченной пирамиды».

По рис. 83 (стр.71 учебника) назовите верхнее и нижнее основания, боковые грани и ребра усеченной пирамиды, высоту усеченной пирамиды.

Вопрос: Докажите, что боковая грань усеченной пирамиды - трапеция? А1А2В2В1 — трапеция (А1В1 || А2В2).

Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Основания правильной усеченной пирамиды - правильные многоугольники, а боковые грани - равнобедренные трапеции. Высоты этих трапеций называются апофемами. Как найти сумму площадей ее боковых граней?

Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.

 где р₁ и р₂ - периметры оснований, h - апофема.

Теорема

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему

4. Закрепление. Решение задач.(из учебника) 

№ 268 (решает учитель, дети в тетрадях)

Дано: MABCD - правильная пирамида, А1В1С1 || АВС, МО1 : O1O = 1 : 2, NK - апофема, NK = 4 дм, Syc.пиp. = 186 дм2

Найти: ОО1 - ?

Решение: Рассмотрите ΔМКО. Так как NO1 || KO, то МО1 : МО = O1N : OK, значит, стороны В1С1 : ВС = МО1 : МО. В1С1 = 1 : 3. Пусть В1С1 = х, ВС = 3х. Имеем    (не удовлетворяет условию задачи);В1С1 = 3 (см), NО = 1,5 (см); ВС = 9 (см), ОК = 4,5 (см); KF = OK – NO1 = 3. Из ΔKNF по теореме Пифагора   (Ответ: √7 дм.)

 № 269.(один ученик у доски)Дано: АВСА1В1С1 — усеченная пирамида. АВ = ВС = АС = 4 см; A1B1 = B1C1 = A1C1 = 2 см; АА1 = 2 см.Найти: МК- ? A\F\ - ?

Решение: Пусть О и О1 - центры оснований пирамиды.1) Из ΔАВС имеем: АВ = R√3, R = АО. 2) Из ΔА1B1C1 находим  3) EK = ОK - OE, ОЕ = O1М, отсюда 4) Из ΔAA1F имеем:   5) Из ΔМЕКимеем:  (Ответ: )

5. Первичный контроль

Тест Оценка ставится в зависимости от суммы баллов, набранных учеником, причем правильный ответ оценивается в 2 балла, неправильный - в 1, ответ «не знаю» оценивается в 0 баллов.

Примерная шкала оценок.

Оценки: 3       4        5

Баллы: 3-7   8-10   12

 Ответы

Вариант I в г в б б в

Вариант II в а г б б г

Вариант I

1. Из данных утверждений выберите верное: а) все ребра правильной пирамиды равны; б) площадь поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему; в) боковые грани усеченной пирамиды - трапеции; г) утверждения a-в не верны.

2. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, все грани которой наклонены к основанию под углом 60°, а в основании лежит прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 6 см.

а) 9 см2, б) 10 см2, в) 12 см2, г) другой ответ.

3. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 5 см, а плоский угол при вершине пирамиды 60°. Найдите боковое ребро пирамиды.

а) 6 см, б)  в) 5 см, г)  д) другой ответ.

4. В основании пирамиды SABC лежит равнобедренный треугольник ABC, в котором ВС = 12 см, а АВ = АС = 10 см. Найдите площадь сечения ASM, если оно перпендикулярно плоскости основания, а все боковые ребра пирамиды равны 10 см.

а)  б)  в) 31 см2, г) другой ответ.

5. Боковые ребра пирамиды SABC равны между собой. SD - высота пирамиды. Точка D лежит внутри ΔABC. ТреугольникABC:

а) прямоугольный;

б) остроугольный;

в) тупоугольный;

г) недостаточно данных.

6. Найдите площадь диагонального сечения правильной усеченной четырехугольной пирамиды, если ее высота равна √2 см, а стороны основания 1 см и 4 см.

а) 10 см2, б) 2,5 см2, в) 5 см2, г) другой ответ.

Вариант II

1. Из данных утверждений выберите верное: а) все грани правильной пирамиды равны; б) площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению суммы периметров оснований на апофему; в) боковые грани усеченной пирамиды - трапеции; г) утверждения а-b не верны.

2. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, все грани которой наклонены к основанию над углом 45°, а в основании лежит квадрат с диагональю, равной 18√2 см.

а) 324√2 см2, б) 162√2 см2, в) 81√2, г) другой ответ.

3. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4√3 см, а плоский угол при вершине пирамиды равен 90°. Найдите высоту пирамиды,

а) 2√2 см, б) 3√2 см, в) √2 см, г) 4√2 , д) другой ответ.

4. В основании пирамиды ABCD, все боковые ребра которой равны √74 см, лежит прямо угольник со сторонами АВ = 8 см и ВС = 6 см. Найдите площадь сечения MSN, если оно перпендикулярно плоскости основании, а ВМ : МС = 2 : 1.

а) 14√l4 см, б) 14√15 см, в) 15√15 см, г) другой ответ.

5. Боковые ребра пирамиды SABC равны между собой. SD - высота пирамиды. Точка D - середина ребра ВС. ТреугольникAВС:

а) прямоугольный,

б) остроугольный,

в) тупоугольный,

г) недостаточно данных.

6. Площадь диагонального сечения в правильной усеченной четырехугольной пирамиды равна 20 см2, а стороны основания 2 см и 8 см. Найдите ее высоту.

а) 4√2 см, б) 3√2 см, в) 4√2 см, г) другой ответ

6.Подведение итогов

Какие новые геометрические тела мы начали с вами изучать?

С какими новыми понятиями вы познакомились?

Что интересного вы узнали на уроке?

7.Домашнее задание: п.34, № 270