Конспект урока геометрии по схеме на темц : "Теорема о трех перпендикулярах"

Конспект урока

Часть 1

Дата: 20.11.2017

Урок № 96

Класс: 10

Предмет: геометрия

ОУ:

Тема урока: Практикум по теме «Решение задач на применение теоремы о трех перпендикулярах, на угол между прямой и плоскостью»

УМК: Л.С. Атанасян «Геометрия 10-11»

Место урока в системе уроков по теме (всего уроков на тему/номер урока по теме): 17\ 8-9

Тип урока: урок закрепления нового материала

Дидактические единицы учебного материала, которыми ученик должен владеть для успешной работы на уроке

Дидактические единицы учебного материала, которые ученик изучит на уроке

Представлять, понимать

Знать

Уметь

методы решения задач на применение теоремы о трех перпендикулярах, на угол между прямой и плоскостью

перпендикулярные прямые в пространстве,  признак перпендикулярности прямой и плоскости, угол между прямой и плоскостью

теорема о трех перпендикулярах

Доказывать теорему о трех перпендикулярах, решать задачи по теме

Планируемые предметные результаты урока

Ученик должен знать

Ученик должен уметь

Уровень А

Уровень В

Уровень А

Уровень В

Понятия перпендикулярных прямых в пространстве.

Формулировку признака перпендикулярности прямой и плоскости, уметь доказывать

решать простейшие задачи по теме

Решать задачи по теме, уметь доказывать теорему о трех перпендикулярах.

Метапредметная направленность урока заключается в формировании умения выявлять затруднение и его преодолевать посредством включения учащихся в соответствующую деятельность

Личностная направленность урока заключается в формировании самостоятельности учащихся посредством организации деятельности по самостоятельному преодолению затруднений

Технология обучения

Форма обучения

Метод обучения

Информационно-коммуникационная

Фронтальная, индивидуальная

Словесная и наглядная передача информации одновременно всем учащимся, обмен информацией между учителем и детьми

Дидактические средства обучения

мультимедийное оборудование, презентация

Источники информации:

1)      для учителя

2)      для обучающихся

Геометрия. 10-11 классы. Учебник. Атанасян Л.С. и др. (2013, 255с.);

Геометрия. 10-11 классы. Учебник. Атанасян Л.С. и др. (2013, 255с.);

Цель урока: (определяется планируемыми результатами и способами их достижения)

Задачи урока: (конкретизация цели)

Закрепить изученный теоретический материал на практике, обосновать необходимость теоремы о трех перпендикулярах; Сформировать видение изученной закономерности в различных ситуациях: при решении задач на доказательство или задач, требующих найти численное (буквенное) значение, какого – либо элемента;

Способствовать развитию общения как метода научного познания, аналитико-синтетического мышления, смысловой памяти и произвольного внимания; Развивать навыки исследовательской деятельности (выдвижение гипотез, анализ и обобщение полученных результатов). Развивать у учащихся коммуникативные компетенции (культуру общения, умение работать в группах, элементы ораторского искусства);

Часть 2.

Характеристики этапов урока
1.	2.	3.	4.	5.	6.
Этап урока, время	Цели этапа	Предметные учебные действия, формируемые или актуализируемые на этапе	Универсальные учебные действия, формируемые на этапе	ФОУД	Используемые на этапе СО
1.Актуализация опорных знаний, умений и способов деятельности, 10 мин	Повторить ранее изученный материал.	умение формулировать признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорему о трех перпендикулярах	Умение формулировать затруднение	Ф	Презентация
2.Закрепление полученных знаний, 25 мин	формирование умения выявлять затруднение и его преодолевать самостоятельно через организацию деятельности по решению задач	Умение решать Задачи типа:. Дано: МВ ┴ АВСК, АВСК – прямоугольник. Доказать: . Дано:  BD ┴ (ABC), BD = 9 см, АС = 10 см, ВС = ВА = 13 см. Найти: а) расстояние от точки D до АС; б) S.	Умение структурировать знания	Ф И	Презентация
4.Подведение итогов урока, 5 мин	Оценить результаты своей деятельности на уроке		Оценка – выделение и осознание учащимися того, что уже усвоено и что еще нужно усвоить, осознание качества и уровня усвоения	Ф

Характеристики этапов урока
1.	7.	8.
Этап урока, время	Деятельность учителя (с указанием конкретных методов и приемов обучения, средств и форм контроля, учебно-познавательных и учебно-практических задач, решаемых на данном этапе)	Деятельность учащихся	Продукт деятельности учащихся
1.Актуализация опорных знаний, умений и способов деятельности, 10 мин	Учитель организует фронтальную работу учащихся по следующим направлениям: теоретические вопросы по определению перпендикулярности прямой и плоскости, формулировка и доказательство теоремы о трех перпендикулярах	Учащиеся отвечают на вопросы учителя, доказывают теорему	Ответы на вопросы учителя, доказательство теоремы
2.Закрепление полученных знаний, 25 мин	Учитель организует деятельность учащихся по решению задач у доски.	Учащиеся решают задачи и отвечают на вопросы учителя	Ответы на вопросы учителя, записи в тетрадях
3.Подведение итогов урока, 5 мин	Через систему вопросов учитель организует оценку учащимися своей деятельности, задает домашнее задание	Учащиеся оценивают свою деятельность, записывают домашнее задание	Ответы на вопросы учителя

Ход урока

1. Актуализация знаний

 Учитель. Дома вы должны были выучить доказательство теоремы о трех перпендикулярах, рассмотренное на прошлом уроке

Учащиеся отвечают на теоретические вопросы устно. После демонстрации правильных ответов ими проводится самооценка своего устного ответа.

Вопросы:

1.      Угол между прямыми  равен 90º. Как называются такие прямые?

/перпендикулярные/

2.      Верно ли утверждение: «Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости»?

/да/

3.      Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

/Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости./

4.      Как определяется расстояние от точки до прямой на плоскости?

/как длина перпендикуляра, поведенного из точки к данной прямой./

5.      Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах.

Теорема.

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к е проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Обратно: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.

          2. Применение теории на практике.

Учитель: На экране представлена следующая задача:

Задача 1.

Дано: МВ ┴ АВСК, АВСК – прямоугольник.

Доказать: .

Задача 2.

Дано: , = 90º, AD ┴ (АВС).

Доказать: CBD – прямоугольный.

 

      3. Осмысление содержания и последовательности применения практических действий при выполнении предстоящих заданий.

Учитель: А теперь посмотрим на чертеже, всем хорошо известного, куба АВСDA₁B₁C₁D_1, как применяется теорема о трех перпендикулярах при решении задач следующего типа:

Как определить вид диагонального сечения куба, проведенного через диагонали параллельных граней?

 

Ученики: Диагональ А₁В – есть наклонная к плоскости АВСD, отрезок АВ – есть проекция этой наклонной, отрезок ВС перпендикулярен наклонной, значит, плоскость сечения А₁ВСD₁ является прямоугольником.

Задача 2. На изображении куба построить несколько прямых, перпендикулярных диагонали куба.)

Учитель: Перейдем к решению более сложных задач. Не надо бояться пойти по ложному пути, вспомните девиз нашего урока: «Наиболее удобный путь становится известным лишь после того, как мы испробуем все пути».

Решение задачи подразделяется на следующие задания: усвоение условия, продумывание плана, идеи решения, коллективное обсуждение идеи решения, оформление решения. Эти задания у доски выполняет не один человек, а несколько учащихся.

Задача

Дано:  BD ┴ (ABC), BD = 9 см, АС = 10 см, ВС = ВА = 13 см.

Найти: а) расстояние от точки D до АС; б) S.

Решение:

а) 1. DB – перпендикуляр, АС и DA – наклонные, так как ВА = ВС – проекции, то DA=DC.

2. равнобедренный, DK – высота, медиана и биссектриса, DK – расстояние от точки D до АС.

3. , , ВК =, ВК =  =  = 12 (см).

4. DBK,, DK = , DK =  =  = 15 (см).

б) S = ·AC·DK, S =  ·10·15= 75 (см²).

Ответ: 15 см, 75 см².

Задача №158

Через вершину В ромба АВСD проведена прямая ВМ перпендикулярно к его плоскости. Найти расстояние от точки М до прямых, содержащих стороны ромба, если АВ = 25 см;

< ВАD = 60º; ВМ = 12,5 см.

Решение:

Проведем ВК ┴ AD.  ВК – проекция наклонной МК на плоскость ромба; AD  ┴ ВК, то AD  ┴ МК (по теореме о трех перпендикулярах). Длина МК – расстояние от точки М до прямой AD . МЕ – расстояние от точки М до прямой DC.

Из треугольника АВК: ВК = АВsin60º =  .

МВК – прямоугольный ( = 90º), так как МВ ┴ (АВС); МК =  = 25 (см).

ВК = ВЕ (как высоты ромба);  (по двум катетам, как прямоугольные); МЕ = МК = 25 (см).

Расстояние от точки М до прямых АВ и ВС равны длине перпендикуляра МВ, то есть 12,5 см.

Ответ: 25 см; 25 см; 12,5 см; 12,5 см.

Учитель: На этом урок заканчивается, у вас сейчас перемена , продолжим на следующем уроке!