Конспект урока по алгебре на тему "Теорема Виета" (8 класс)

Тема урока: «Теорема Виета»

Цели урока: познакомить учащихся с теоремой Виета, сформулировать теорему, обратную теореме Виета

            Задачи урока:

• Обучающая: установить зависимость между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами; научить применять теорему Виета, и обратную ей теорему для приведенных квадратных уравнений на практике при решении различных задач.
• Развивающая: продолжить развитие познавательного интереса к изучению алгебры; развивать умение анализировать, наблюдать, сопоставлять, логически мыслить; продолжить развитие элементов творческой деятельности учащихся, через вовлечение их в работу частично поискового характера, развитие навыков взаимоконтроля и самоконтроля.
•  Воспитывающая: воспитание умения слушать и слышать другого, уважение к мнению товарища; воспитание у учащихся таких нравственных качеств, как настойчивость, аккуратность, инициативность, точность, привычка к систематичному труду, самостоятельность, активность; воспитание культуры общения

Структура урока:

1. Организационный этап (1 мин)

2. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся (3 мин)

3. Актуализация знаний. Постановка проблемы (5 мин) 

4. Первичное усвоение новых знаний (10 мин)

5. Физкультминутка, гимнастика для глаз (1 мин)

6. Первичная проверка понимания (15 мин)

7. Самостоятельная работа  с последующей проверкой. (5 мин)

8. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению  (2 мин)

9. Рефлексия (подведение итогов урока) и объявление поурочного балла. (3мин)

Тип урока: Урок новых знаний. 

              Методы и формы обучения: наблюдение, анализ, создание проблемной ситуации;  индивидуальная, групповая, в парах и фронтальная работа.

 Оборудование: ноутбук, интерактивная доска,  мультимедийный проектор, авторская презентация, учебник «Алгебра» 8 класс, Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.

Ход урока:

1) Организационный этап. (1 мин)

Учитель и ученики приветствуют друг друга. Проверяется готовность к уроку. Ученики садятся, открывают тетради и записывают дату и тему урока.

2) Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся. (3 мин)

Учитель сообщает цели и задачи урока. Класс разбит на три группы. Работают все самостоятельно в тетрадях и по одному ученику от каждой группы у доски.

Задание   Указать коэффициенты квадратных уравнений (Слайд 2)

1. 2х² – 5х + 10 = 0

2. 2 + х + х² = 0

3. 7 х² = 0

4. 5х² – 4х = 3

5. 6х - х² = 0

6. 3 - х² = 0

Назвать номер уравнения, которое является приведенным квадратным уравнением, неполным квадратным уравнением.

Повторить определения квадратного уравнения, неполного и приведенного квадратных уравнений.

3)       Актуализация знаний. Постановка проблемы. (5 мин)

Задание. «Заполните таблицу и сделайте вывод». (Слайд 3)

Три  ученика от каждого ряда у доски (остальные на местах) решают предложенные квадратные уравнения, находят сумму и произведение корней, проверяют своё решение.(Слайд 4)

№	Уравнения	х1	х2	х1 + х2	х1 * х2
1.	х2 – 2х – 3 = 0	3	- 1	2	- 3
2.	х2 + 5х – 6 = 0	- 6	1	- 5	- 6
3.	х2 – х – 12 = 0	4	- 3	1	- 12
4.	x2 + px + q = 0			- p	q

Анализируют решение, делают вывод, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Высказывают свои мнения и предположения по последнему уравнению. Делают вывод.

Учащиеся формулируют утверждение: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

4) Первичное усвоение новых знаний. (10 мин)

Далее учащиеся записывают теорему Виета. (Слайд 5)

Если  и - корни уравнения , то справедливы формулы , т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Учитель: Вспомните из курса геометрии, какая теорема называется обратной данной?

Учащиеся: Теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением – условие теоремы, и называется теоремой, обратной данной.

Учащиеся формулируют теорему, обратную теореме Виета:

Если  числа  m и n таковы, что их сумма равна – p, а произведение равно q, то  эти числа являются корнями уравнения .(Слайд 6)

Учитель. Пример. Найти подбором корни уравнения (Слайд 7)

. D > 0    .             6 = 1*6 = 2*3 = –2*(–3) = –1*(–6)

 Значит числа  и  -  положительные. Необходимо найти два положительных числа, произведение которых  равно 6, а сумма равна 5.

Подбираем,  = 2, = 3 – корни данного уравнения.

Далее один из учащихся знакомит с исторической справкой о Франсуа Виете.(Слайд 8) (Двое учеников готовят доказательство теорем на доске(закрывается))

    Франсуа Виет (1540-1603) — замечательный французский математик, положивший начало алгебре как науке о преобразовании выражений, о решении уравнений в общем виде, создатель буквенного исчисления.

Виет первым стал обозначать буквами не только неизвестные, но и данные величины. Тем самым ему удалось внедрить в науку великую мысль о возможности выполнять алгебраические преобразования над символами, т. е. ввести понятие математической формулы

Франсуа Виет показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, который применим к любым соответствующим величинам, т. е решить задачу в общем виде. Это положило начало коренному перелому в развитии алгебры: стало возможным буквенное исчисление.

Демонстрируя силу своего метода, ученый привел в своих работах запас формул, которые могли быть использованы для решения конкретных задач.

Знаменитая теорема, устанавливающая связь коэффициентов многочлена с его корнями, была обнародована в 1591 году. Теперь она носит имя Виета.

Теорема Франсуа Виета стала ныне самым знаменитым утверждением школьной алгебры. Теорема Виета достойна восхищения, тем более что ее можно обобщить на многочлены любой степени.

Далее двое учеников  знакомят с доказательством теоремы Виета и теоремы, обратной теореме Виета.(Слайд 9, 10)

5)      Физкультминутка (1 мин)

1. Упражнения для глаз с использованием геометрических фигур

Цель: расширение зрительной активности, снятие утомления на уроке.

1. На слайде изображены различные цветные фигуры (треугольник, круг, квадрат). (Слайд 11)

Во время физминутки дается задание последовательно перемещать взгляд с одной фигуры на другую (самостоятельно) или по названию фигуры (цвета) учителем. Упражнение можно выполнять сидя и стоя.

2.  Упражнения: «8», «знак бесконечности»

Цель: снятие зрительного напряжения.

Задание 1: нарисуйте движениями глаз на доске цифру 8. (Слайд 12)

Задание 2: нарисуйте движениями глаз на доске знак бесконечности ∞. (Слайд 13)

8        ∞

6)      Первичная проверка понимания (15 мин)

(Теорема Виета. Теорема, обратная теореме Виета (Слайд  14)) 

Выполняют устно из учебника номер № 580 (а – г)

Найти сумму и произведение корней:

Доказать, что корни существуют (Найти дискриминант)

а) х² – 37х + 27 = 0           D > 0,       х₁ + х₂ = 37,          х₁ * х₂ = 27,

б) у² + 41х – 371 = 0         D > 0,       х₁ + х₂ = - 41,        х₁ * х₂ = - 371,

в) х² – 210х = 0                 D > 0,       х₁ + х₂ = 210,         х₁ * х₂ = 0,

г) у² – 19 = 0                     D > 0,       х₁ + х₂ = 0,             х₁ * х₂ = - 19.

№ 583 (б – объясняет учитель, а, в, г – решают ученики)

Найти подбором корни уравнения:

б) х² + 11х – 12 = 0

D = 121 + 4*12 = 169 > 0  => 2 корня    х₁ + х₂ = –11 ,          х₁ * х₂ = –12,

–12 = – 4*3 = – 3*4 = – 2* 6 = –6*2 = – 1*12 = – 12*1 => х₁ = –12,  х₂ = 1.

а) х² – 9х + 20 = 0      D = 81 – 80 = 1 > 0     х₁ = 4,  х₂ = 5.

в) х² + х – 56 = 0        D = 1 + 4*56 = 225 > 0     х₁ = – 8,  х₂ = 7.

г) х² – 19х + 88 = 0    D = 361 – 4*88 = 9 > 0     х₁ = 8,  х₂ = 11.

№ 582 (а, б)

Найти корни уравнения и выполнить проверку по теореме, обратной теореме Виета:

а) х² – 15х – 16 = 0

D = 225 + 64 = 289

х₁ = 16,  х₂ = – 1.

Проверка: х₁ + х₂ = 16 + (– 1) = 15,

                   х₁ * х₂ = 16 *(–1) = – 16,

б) х² – 6х – 11 = 0

D = 36 + 44 = 80

х₁ = 3 + 2  5,  х₂ = 3 – 2  5.

Проверка: х₁ + х₂ = 3 + 2  5 + 3 – 2  5 = 6,

                   х₁ * х₂ = (3 + 2  5) *(3 – 2  5) = – 11.

7)      Самостоятельная работа  с последующей проверкой (Слайд 15 ) (5 мин)

Найти подбором корни уравнения:

1.      х2 – 15х + 36 = 0	1. х2 – 17х + 30 = 0	1. х2 – 11х + 24 = 0
2.      х2 + 9х + 20 = 0	2. х2 + 13х + 12 = 0	2. х2 + 12х + 20 = 0

Учащиеся обмениваются тетрадями и проверяют ответы по ключу (Слайд 16)

1. х2 – 15х + 36 = 0 D = 81     х1 = 3,  х2 = 12.	1. х2 – 17х + 30 = 0 D = 169     х1 = 2,  х2 = 15.	1. х2 – 11х + 24 = 0 D = 25     х1 = 8,  х2 = 3
2. х2 + 9х + 20 = 0 D = 1    х1 = – 4,  х2 = – 5.	2. х2 + 13х + 12 = 0 D = 121     х1 = – 1,  х2 = – 12.	2. х2 + 12х + 20 = 0 D = 64     х1 = – 10,  х2 = – 2.

8) Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению. (Слайд 17) (2 мин)

Учитель проводит инструктаж по выполнению домашнего задания, которое носит дифференцированный характер, сопровождаемое комментариями.

п. 24, № 581 (а)

№ 582(г)

№ 584

Дополнительно № 596 (а, б, в)

9) Рефлексия (подведение итогов урока) и объявление поурочного балла. (3мин)

Продолжите фразу (Слайд 18):

«Сегодня на уроке я узнал (а) ...»

«Сегодня на уроке я научился (ась) …»

«Сегодня на уроке я познакомился (ась) …»

«Сегодня на уроке я повторил (а) …»

«Сегодня на уроке я закрепил (а) …»